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1.2. 数列极限


第二节

数列的极限

一、数列极限的定义 二、收敛数列的性质

一、概念的引入
1、割圆术: “割之弥细,所 失弥少,割之又 割,以至于不可 割,则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽

一、概念的引入
1、割圆术: “割之弥细,所 失弥少,割之又 割,以至于不可 割,则与圆周

合 体而无所失矣” ——刘徽

一、概念的引入
1、割圆术: “割之弥细,所 失弥少,割之又 割,以至于不可 割,则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽

一、概念的引入
1、割圆术:
“割之弥细,所 失弥少,割之又 割,以至于不可 割,则与圆周合 体而无所失矣”

——刘徽

一、概念的引入
1、割圆术:
“割之弥细,所 失弥少,割之又 割,以至于不可 割,则与圆周合 体而无所失矣”

——刘徽

一、概念的引入
1、割圆术:
“割之弥细,所 失弥少,割之又 割,以至于不可 割,则与圆周合 体而无所失矣”

——刘徽

一、概念的引入
1、割圆术:
“割之弥细,所 失弥少,割之又 割,以至于不可 割,则与圆周合 体而无所失矣”

——刘徽

一、概念的引入
1、割圆术:
“割之弥细,所 失弥少,割之又 割,以至于不可 割,则与圆周合 体而无所失矣”

——刘徽

一、概念的引入
1、割圆术:
“割之弥细,所 失弥少,割之又 割,以至于不可 割,则与圆周合 体而无所失矣”

——刘徽

一、概念的引入
1、割圆术:
“割之弥细,所 失弥少,割之又 割,以至于不可 割,则与圆周合 体而无所失矣”

——刘徽

正六边形的面积 A 1

正十二边形的面积 A 2
?? ??

R

正 6 ? 2 n ? 1 形的面积 A n
A1 , A 2 , A 3 , ? , A n , ?

S

2、截丈问题:
“一尺之棰,日截其半,万世不竭”
第一天截下的杖长为 X1 ? 1 2 ;

第二天截下的杖长总和

为 X2 ? 1 2

1 2 ?

?

1 2 1
2

;

??

??
Xn ?
1

第 n 天截下的杖长总和为 Xn ?1? 1 2
n

2

2

???

1 2
n

;

二、数列的定义
定义:按自然数1,2,3, ?编号依次排列的一列数

x1 , x 2 , ? , x n , ?

(1)

称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数 列的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n } .

例如

2 ,4 ,8 , ? , 2 , ? ;

n

{2 }
{ 1 2
n

n

1 1 1 1 , , ,? , n ,? ; 2 4 8 2

}

1 , ? 1 ,1 , ? , ( ? 1 )

n?1

,? ;
n?1

{( ?1)
{

n ?1

}
n? 1

1 4 n ? ( ? 1) 2, , ,? , 2 3 n
3, 3? 3 ,? ,

,? ;
3?

n ? ( ?1) n

}

3?

??

3 ,?

注意: 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 x 1 , x 2 , ? , x n , ? .
x3
x1

x2 x4

xn

2.数列是整标函数 x n ? f ( n ).

三、数列的极限
观察数列 {1 ? ( ? 1) n
n?1

} 当 n ? ? 时的变化趋势

.

三、数列的极限
观察数列 {1 ? ( ? 1) n
n?1

} 当 n ? ? 时的变化趋势

.

三、数列的极限
观察数列 {1 ? ( ? 1) n
n?1

} 当 n ? ? 时的变化趋势

.

三、数列的极限
观察数列 {1 ? ( ? 1) n
n?1

} 当 n ? ? 时的变化趋势

.

三、数列的极限
观察数列 {1 ? ( ? 1) n
n?1

} 当 n ? ? 时的变化趋势

.

三、数列的极限
观察数列 {1 ? ( ? 1) n
n?1

} 当 n ? ? 时的变化趋势

.

三、数列的极限
观察数列 {1 ? ( ? 1) n
n?1

} 当 n ? ? 时的变化趋势

.

三、数列的极限
观察数列 {1 ? ( ? 1) n
n?1

} 当 n ? ? 时的变化趋势

.

三、数列的极限
观察数列 {1 ? ( ? 1) n
n?1

} 当 n ? ? 时的变化趋势

.

三、数列的极限
观察数列 {1 ? ( ? 1) n
n?1

} 当 n ? ? 时的变化趋势

.

三、数列的极限
观察数列 {1 ? ( ? 1) n
n?1

} 当 n ? ? 时的变化趋势

.

三、数列的极限
观察数列 {1 ? ( ? 1) n
n?1

} 当 n ? ? 时的变化趋势

.

三、数列的极限
观察数列 {1 ? ( ? 1) n
n?1

} 当 n ? ? 时的变化趋势

.

三、数列的极限
观察数列 {1 ? ( ? 1) n
n?1

} 当 n ? ? 时的变化趋势

.

问题: 当 n 无限增大时, x n 是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定?

通过上面演示实验的观察:
当 n 无限增大时 , xn ? 1 ? ( ? 1) n
n?1

无限接近于

1.

问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它?
? xn ? 1 ?

( ? 1)

n?1

1 n

?

1 n

给定

1 100

, 由

1 n

?

1 100

, 只要 n ? 100 时 , 有 x n ? 1 ? 1 1000 1 10000

1 100

,

给定

1 1000

,

只要 n ? 1000 时 ,

有 xn ? 1 ?

,

给定

1 10000

, 只要 n ? 10000 时 , 有 x n ? 1 ?

,

1 给定 ? ? 0 , 只要 n ? N ( ? [ ]) 时 , 有 x ? 1 ? ? 成立 . n ?

一 般 地 , 无 论 给 定 的 正 数 ?多 么 小, 总 存 在 着 一 个 正 整 数 N, 使 得 当 n ? N时 , 不 等 式 xn ? 1 ? ? 都 成 立 。

这就是“当n无限增大时,xn无限地接近 于1”的实质和精确的数学描述。

定义

如果对于任意给定的正数 ? (不论它多么

小),总存在正整数 N ,使得对于 n ? N 时的一切

x n ,不等式 x n ? a ? ? 都成立,那末就称常数 a 是
数列 x n 的极限,或者称数列 x n 收敛于 a ,记为

lim x n ? a ,
n? ?

或 xn ? a

( n ? ? ).

如果数列没有极限,就说数列是发散的. 采用逻辑符号将 lim x n ? a 的定义可缩写为:
n? ?

?

N 定义 ? ? ? 0 , ? N ? 0 , 当 n ? N 时 , 有 x n ? a ? ? .

定义

如果对于任意给定的正数 ? (不论它多么

小),总存在正整数 N ,使得对于 n ? N 时的一切

x n ,不等式 x n ? a ? ? 都成立,那末就称常数 a 是
数列 x n 的极限,或者称数列 x n 收敛于 a ,记为

lim x n ? a ,
n? ?

或 xn ? a

( n ? ? ).

注 ①此定义习惯上称为极限的ε—N定义,它用两个 动态指标ε和N刻画了极限的实质,用|xn-a|<ε 定量地刻画了xn 与a 之间的距离任意小,即任给 ε>0标志着“要多小”的要求,用n >N表示n充分 大。这个定义有三个要素(1),正数ε,(2),正数 N,(3)不等式|xn-a|<ε(n >N)

定义

如果对于任意给定的正数 ? (不论它多么

小),总存在正整数 N ,使得对于 n ? N 时的一切

x n ,不等式 x n ? a ? ? 都成立,那末就称常数 a 是
数列 x n 的极限,或者称数列 x n 收敛于 a ,记为

lim x n ? a ,
n? ?

或 xn ? a

( n ? ? ).

②定义中的ε具有二重性:一是ε的任意性,二是 ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn 逼近a 时要 经历一个无限的过程(这个无限过程通过ε的任意 性来实现),但这个无限过程又要一步步地实现, 而且每一步的变化都是有限的(这个有限的变化通 过ε的相对固定性来实现)。

③定义中的N是一个特定的项数,与给定的ε有关。

重要的是它的存在性,它是在ε相对固定后才能确定
的,且由|xn-a|<ε来选定,一般说来,ε越小,N越

大,但须注意,对于一个固定的ε,合乎定义要求的 N不是唯一的。用定义验证xn 以a 为极限时,关键在 于设法由给定的ε,求出一个相应的N,使当n >N 时,不等式|xn-a|<ε成立。
在证明极限时ε,n,N之间的逻辑关系如下图所示

|xn-a| < ε

n



N

④定义中的不等式|xn-a|< ε(n >N)是指下面 一串不等式
| x N ? 1 ? a |? ? | x N ? 2 ? a |? ?

| x N ? 3 ? a |? ?

??

都成立,
| x N ? a |? ?

而对 | x 1 ? a |? ? ? ?
则不要求它们一定成立.

⑤由于ε是任意给定的正数,自然

? ?
, 2 3

,?, ?

2



也都是任意给定的正数,它们本质上与ε起同样 的作用。在以后的学习中,常用到这些等价的形 式。

数列极限的几何意义
? ? ? 0, ?N ,

使得 N 项以后的所有项
( a ? ? , a ? ? )内

x N ? 1 , x N ? 2 , x N ? 3 ,? ?

都落在a点的ε邻域

因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点
2?

a??
x 2 x1
x N ?1

a??

a

x N ?2

x3

x

这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个 点外都能凝聚在点a的任意小邻域内,同时也表明数 列xn中的项到一定程度时变化就很微小,呈现出一 种稳定的状态,这种稳定的状态就是人们所称谓的 “收敛”。
注意: 数列极限的定义只用来证明极限,未给出求 极限的方法.若要求极限,首先要先证明极限的存 在性,然后才能求极限值。

例1

证明 lim

n ? ( ? 1) n

n?1

n? ?

? 1.

n?1 ? 虽然是可以任意小的正数,但使用定义证题 1 n ? ( ? 1) xn ? 1 ? 证 ?1 ? 时,对于给定的 ? ,总暂时认为它是固定的,按照这 n n 个? 找出使不等式成立的N. 解不等式

?? ? 0, 要 x n ? 1 ? ? , 只要

1 n

? ?, 或 n ?

1 ?

所以, 取N


?

? ?,
1 ?

则当n ? N时,

n ? ( ?1) n

n ?1

?1 ? ?

即 lim

n ? ( ? 1) n

n?1

n? ?

? 1.

利用定义验证数列极限,有时遇到的不 等式|xn-a|<ε不易考虑,往往采用把 |xn-a|放大的方法。若能放大到较简单的式 子,就较容易从一个比较简单的不等式去寻 找项数指标N.

放大的原则:
①放大后的式子较简单 ②放大后的式子以0为极限

例2 证明数列 x n ? cos ( n ? 1、 、 ? ) 以 0为 2 3 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 n 2 定? 极限.? 0 , 寻找N,但不必要求最小的N. 证 ?? ? 0, 要使 x n ? 0 ? 由于
1
1 n cos n? 2 ?0 ? 1 n

1

n?

1 n
cos

cos
n? 2

n? 2
?

? 0 ? ?.
1 n

只要 ? ? , 或 n ? , 取N ? [ ], 为了简化解不等式的运算,常 则当n ? N时, n ? ? 常把 x n ? a 作适当地放大. 1 n? 1 n? ? 0 有 cos ? 0 ? ? . 即 lim cos
n 2
n? ?

1

1

n

2

例3 设x n ? 0, 且 lim x n ? a ? 0,
n? ?

求证 lim

n? ?

xn ?

a.
a? )



任给 ? ? 0 ,

? lim x n ? a , ( 对 ? ? 1 n? ?

? ? N 使得当 n ? N 时恒有 x n ? a ? ? 1 ,

从而有

xn ?

a ?

xn ? a xn ? a

?

xn ? a a

?

?1 a

? ?

故 lim

n? ?

xn ?

a.

四、数列极限的性质
1.有界性
定 义 : 对 数 列 x n , 若 存 在 正 数M , 使 得 一 切 自 然 数 n, 恒 有 xn ? M 成 立 , 则 称 数 列 xn有 界 , 否则, 称为无界.

例如, 数列 x n ?

n n?1

; 有界

数列 x n ? 2 . 无界
n

数 轴 上 对 应 于 有 界 数 列 的 点xn 都 落 在 闭 区 间

[? M , M ]上 .

定理1


收敛的数列必定有界.
设 lim x n ? a ,
n? ?

由定义,

取 ? ? 1,

则 ? N , 使得当 n ? N 时恒有 x n ? a ? 1 ,
? | x n | ? | x n ? a ? a |? | x n ? a | ? | a |? 1 ? | a |
记 M ? max{ x 1 , ? , x N ,1 ? | a |},

则对一切自然数

n , 皆有 x n ? M ,

故 ? x n ?有界 .

注意:有界性是数列收敛的必要条件.

有界性定理的推论:无界数列必发散. 即 无界数列的极限不存在 .

收敛的数列必有界.

有界的数列不一定收敛.
无界的数列必发散 .

发散的数列不一定无界.
反例 : x n ? ( ? 1) .
n

2.唯一性
定理2 [分析] 每个收敛的数列只有一个极限. 直接证明较困难,采用反证法

由数列极限的几何意义, ? ? ? 0 , ? N , 当 n ? N 时
xn ? (a ? ? , a ? ? )

在a的任一ε邻域内聚集着xn中的无穷多个点,而在 该邻域之外至多有xn中的有限个点
(
a

) (
b

)

证明:(反证法)
b?a 2
? N 1 , N 2 .使得

设 lim x n ? a , 又 lim x n ? b ,
n? ? n? ?

a≠b 不妨设 a < b
取? ? ? 0
由 lim x n ? a , 及 lim x n ? b ,
n? ? n? ?

当 n ? N 1时恒有 x n ? a ?

b?a 2

;

?

xn ?

a?b 2
b?a 2 ;

当 n ? N 2时恒有 x n ? b ?

?

xn ?

a?b 2

取 N ? max

? N 1 , N 2 ?, 则当 n ? N 时 ,同时有
xn ? a?b 2

xn ?

a?b 2

矛盾,这说明结论成立

例4 证明数列x n ? ( ?1) n ? 1 是发散的. 证
设 lim x n ? a ,
n? ?

由定义,

对于 ? ?
1 2

1 2

,

则 ? N , 使得当 n ? N 时 , 有 x n ? a ? 即当 n ? N 时 , x n ? ( a ?
而 x n 无休止地反复取

成立 ,

1 2

,a ?

1 2

),

区间长度为1.

1 , ? 1 两个数 ,

不可能同时位于长度为1的区间内.
事实上 , { x n }是有界的 , 但却发散 .

3. 保号性
定理3 若 lim x n ? a , a ? 0 ( a ? 0 ), 则 ? N ? 0 ,
n ? ??

当 n ? N 时 , 有 x n ? 0 ( x n ? 0 ).



设 lim x n ? a , 且 a ? 0 , 则由极限的定义
n ? ??

,

取 ? ?

a 2

? 0 时 , ? N ? 0, 当 n ? N 时 , 有 | xn ? a | ? ? ? a 2 ,

由绝对值不等式的知识, 立即得
0? a? a 2 ? xn .

a <0 的 情形类似可 证, 由学生 自己完成 .

保号性定理的推论:
若 xn ? 0 ( xn ? 0) , 且
n ? ??

lim x n ? a 存在 ,



a ? 0 (a ? 0) .

由保号性定理, 运用反证法证明

4. 子数列的收敛性 子数列的概念
在数列 {xn}: x1 , x2 , ? , xn , ? 中, 保持各
项原来的先后次序不变, 自左往右任意选取无穷

多项所构成的新的数列, 称为原数列的一个子数
列, 记为 { x n }.
k

x n1 , x n 2 , ? ? , x n k , ? ?

在 { x n k }中, x n k 是第 k 项,而 x n k 在 { x n }中是第 n k 项, 显然 n k ? k

定理4

若数列 xn 收敛于a ,则它的任一子数列 也收敛,且极限也是a

证 设数列
?
?
n? ?

?x ? 是数列
nk

? x n ? 的任一子数列.

lim x n ? a ,

任给定 ? ? 0, ? N ? 0,使 n ? N 时 , 恒有 x n ? a ? ? .

取 K ? N,

则当 k ? K 时 ,
?
?

有 nk ? n K ? n N ? N ,

x nk ? a ? ? .
k??

lim x n k ? a .

这一定理表明的是收敛的数列与其子数列之间 的关系。由此可知,若数列xn 有两个子数列收敛 于不同的极限值,则xn一定是发散的。
如 x n ? ( ? 1)
n?1

{ x 2 k ? 1 }收敛于 1

{ x 2 k }收敛于 ? 1

子数列收敛定理往往用来证明或判 断数列极限不存在.

例5

对于数列xn 若x2 k ? a( k ? ? ) x2 k ?1 ? a( k ? ? )
则xn ? a( n ? ? )

lim 证 ? ? ? 0 由 k? ? x2k ? a知

? K 1 , 使当 k ? K 1时,有
k??

| x 2 k ? a |? ?

再由 lim x 2 k ? 1 ? a 知

? K 2 , 使当 k ? K 2时,有
取 N ? max{ 2 K 1 , 2 K 2 ? 1 }

| x 2 k ? 1 ? a |? ?



? ? ? 0 ? N 使当 n ? N 时
即 lim x n ? a
n? ?

恒有 | x n ? a |? ?

问. 如何判断数列极限不存在?
方法1. 找一个趋于∞的子数列; 方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列. 练习

试证数列 ?cos n ? ?不收敛.

证 因为 ?cos n ? ? 的奇子数列 ? 1, ? 1, ? 1, ?
收敛于 ? 1,

而偶子数列 1 , 1 , 1 , ? 收敛于 1,
所以数列 ?cos n ? ? 不收敛.

五.小结
数列:研究其变化规律;
数列极限:极限思想,精确定义,几何意义; 收敛数列的性质:有界性唯一性.

数列的极限

思考题
1 “ ? ? ? 0 , ? N ? 0 , 当n ? N 时,恒有
xn ? a ? 1 3

? ”是数列{ xn }收敛于a的( C

).

A. 充分但非必要条件 C. 充分必要条件 2
n? ? n? ?

B. 必要但非充分条件 D. 既非充分也非必要条件

若 lim a n ? K , 则 lim a 2 n ? ( A ).
B. 2K

A. K

C.

K 2

D. 不确定

作业
习题1-2 (30页)
3. (2) (4) 4. 5. 6.


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