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2015年高中数学同步检测:4.2.1《直线与圆的位置关系》(人教A版必修2)[来源:学优高考网76800]


数学·必修 2(人教 A 版) 4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系
基 础 达 标 1.若 PQ 是圆 x +y =9 的弦,PQ 的中点是(1,2),则直线 PQ 的方程是( A.x+2y-3=0 C.2x-y+4=0 B.x+2y-5=0 D.2x-y=0
2 2

)

解析:结合圆的几何性

质知直线 PQ 过点 A(1,2),且和直线 OA 垂直,故其方程为:y-2 1 =- (x-1),整理得 x+2y-5=0. 2 答案:B

2.过点(0,1)的直线与圆 x +y =4 相交于 A,B 两点,则|AB|的最小值为( A.2 B.2 3 C.3 D.2 5

2

2

)

解析:当圆心到直线距离最大时,弦长最短,易知当圆心与定点 G(0,1)的连线与直线 |AB| 2 2 AB 垂直时, 圆心到直线 AB 的距离取得最大值, 即 d=|OG|=1, 此时弦长最短, 即 ≥ R -d 2 = 4-1? |AB|≥2 3,故选 B. 答案:B

3.圆 x +y -4x=0 在点 P(1, 3)处的切线方程是( A.x+ 3y-2=0 B.x+ 3y-4=0 C.x- 3y+4=0 D.x- 3y+2=0

2

2

)

解析:圆心为 C(2,0),则直线 CP 的斜率为

3-0 =- 3,又切线与直线 CP 垂直,故 1-2

切线斜率为

3 3 ,由点斜式得切线方程:y- 3= (x-1)即 x- 3y+2=0. 3 3

答案:D

4.(2013·山东卷)过点(3,1)作圆(x-1) +y =1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直 线 AB 的方程为( ) B.2x-y-3=0 D.4x+y-3=0

2

2

A.2x+y-3=0 C.4x-y-3=0

答案:A

5.直线 x-2y-3=0 与圆(x-2) +(y+3) =9 交于 E,F 两点,则△EOF(O 是原点)的 面积为( A. 3 2 ) 3 B. 4 C.2 5 6 5 D. 5

2

2

答案:D

6. (2014·广州一模)圆(x-1) +(y-2) =1 关于直线 y=x 对称的圆的方程为( A.(x-2) +(y-1) =1 B.(x+1) +(y-2) =1 C.(x+2) +(y-1) =1 D.(x-1) +(y+2) =1
2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

)

答案:A

y 2 2 7.若实数 x,y 满足(x-2) +y =3,那么 的最大值为( x A. 1 2 B. 3 3 C. 3 2 D. 3

)

解析:方程(x-2) +y =3 的曲线是以 A(2,0)为圆心,以 3为半径的圆,实数 x, y y 是圆上的点 P(x,y)的坐标,而 是直线 OP 的斜率,由下图可知当点 P 在第一象限且 OP 为圆 x 的切线时,k 最大.

2

2

?x-2? +y =3, ? ? 由 ?y =k, ? ?x
2

2

2

得(1+k )x +1-4x=0,

2

2

Δ =12-4k =0,有 k=± 3. y ∴k 最大即 最大为 3.故选 D. x 答案:D

8.直线 y=x+b 与曲线 y= 1-x 有两个公共点,则 b 的取值范围是________.

2

解析:曲线为 x +y =1(y≥0),表示单位圆的上半圆,由数形结合法,知 1≤b< 2.

2

2

答案:1≤b< 2

9.已知圆 C:(x-1) +(y-2) =25,直线 l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).

2

2

(1)求证:直线 l 恒过定点;

解析:直线 l 的方程可化为 (2x+y-7)m+x+y-4=0. ∵m∈R,
?2x+y-7=0, ? ∴? ? ?x+y-4=0, ?x=3, ? 解得? ? ?y=1.

∴直线 l 恒过定点 A(3,1).

(2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系;

解析:圆心 C(1,2),|AC|= ?3-1? +?1-2? = 5<5, ∴点 A 在圆 C 内. 从而直线 l 与圆 C 相交(无论 m 为何实数).

2

2

(3)当 m=0 时,求直线 l 被圆 C 截得的弦长.

解析:当 m=0 时,直线 l 的方程为 x+y-4=0, |1+2-4| 1 圆心 C(1,2)到它的距离为 d= = . 2 2 1 +1 2 ∴此时直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 r -d =2
2 2

1 25- =7 2. 2


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