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2.2.1.2椭圆及其标准方程(2)


椭圆及其标准方程(2)

椭圆的标准方程
定 义 平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹
y y P F1
O

不 同 点





F2 x
O

P
x

F2

F1

标准方程 焦点坐标

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
F1 ? -c , 0?,F2 ? c , 0?

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 b a
F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断

a 2 ? b2 ? c 2 (a ? c ? 0, a ? b ? 0)

哪个分母大,焦点就在哪个轴上

例题讲解
例1
x2 y2 若方程 ? ? 1表示焦点在y轴上的椭圆, k ? 2 3? k 5 2?k ? k的取值范围是 .2

变式 (1)若方程
x2 y2 ? ?1 k ? 2 3? k
x2 y2 ? ? ?1 k ? 2 3? k

表示椭圆呢?
5 2 ? k ? 3且k ? 2

(2)若方程

表示椭圆呢?

例题讲解
例2 的右焦点 F2 作垂直 于 x 轴的直线 AB ,交椭圆于 A, B 两点,F1 是 椭圆的左焦点。 (1)求 ?AF1B 的周长;
?AF1B 的周长 (2)如果 AB 不垂直于 x 轴, 有变化吗?为什么?
x2 y 2 已知经过椭圆 25 ? 16 ? 1

例题讲解
例3 若点 P 是椭圆 的两个焦点,
x2 y 2 ? ? 1上一点, F1 , F2 是椭圆 9 4

(1)求 ?PF1F2 的周长; (2)若 ?F1PF2 ? 90?,求 PF1 ?PF2 和 PF1 ? PF2 ; (3)若 ?F1PF2 ? 30?,求 ?F1PF2 的面积;

例题讲解
例4 已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2, 从圆上任意一点P向x轴作垂线段PP’,求线段 PP’中点M的轨迹。
解 设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为? x0 ,y0 ?
y0 则x ? x0,y ? , 2
2 0 2 0

y
2 2

? P ( x0 , y0 )在圆x ? y ? 4上, ?x ? y ? 4
将x 0 ? x , y0 ? 2 y代入上述方程

P
M

?

x

O

P’

得 :x 2 ? 4 y2 ? 4 x2 即: ? y2 ? 1 4

双动点法

变式训练
1.已知一个圆的圆心为坐标原点,半径 为2,从这个圆上任意一点P向x轴作垂线 段PP’,延长P’P至M,使P’M=2 P’P,求点 M的轨迹.
y
? ?

M

MP ? M

O

P’

x

2.已知一个圆的圆心为坐标原点,半径 y2 x2 ? ?1 为2,从这个圆上任意一点P向x轴作垂线 1. 16 4 段PP’.求线段PP’上使PM=2MP’的点M 2 2 x y 的轨迹。 2. ? ?1 4 4 3. 已知一个圆的圆心为坐标原点,半径 92 2 为2,从这个圆上任意一点P向y轴作垂线 3. y ? x ? 1 4 4 段PP’.求PP’上PP’=-3P’M的点M的轨迹. 9

例5. 设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0), 4 直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是 ? , 9 求点M的轨迹方程。
y M

分析:先设出点M的坐标为 (x,y),再根据已知两点 坐标写出直线AM,BM的斜 率,并由直线AM,BM的斜
B X

A

O

4 率之积是 ? ,建立x,y之 9

间的关系式,从而得出点M 的轨迹方程。

直接法

变式训练
设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0), 直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是 1 ?1, ?2, ? , 2 时,求点M的轨迹方程。 3

点A,B的坐标分别是(-1,0), (1,0),直线AM,BM相交于 点M,且直线AM的斜率与直线BM 的斜率的商是2,那么点M的轨迹 是什么?为什么?

1.利用中间变量求点的轨迹方程的方法—— 双动点法。 2. 生成椭圆的方法: (1)到两定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 F1F2 )的点的轨迹; (2)圆按某一方向作伸缩变换得到椭圆 ;

(3)到两个定点连线的斜率之积是一个负常数 的点的轨迹。

课堂练习
1. 三角形ABC的三边a、b、c成等差数列,A、C 的坐标分别为(-2,0),(2,0),求顶点B的轨迹. x2 y2 ?? 4, ? ? 1( y ? 0), 轨迹是去掉两点 0?的椭圆. 16 12
y

2. 一动圆过点B(-3,0),而且与


A M

C : ( x ? 3) ? y ? 64 内切,
2 2
2 2

B

-3

3C

x

求该动圆圆心M的轨迹方程.

x y ? ? 1. 16 7


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