当前位置:首页 >> 数学 >>

河南省中原名校2015届高三上学期第一次摸底数学试卷(理科)


河南省中原名校 2015 届高三上学期第一次摸底数学试卷 (理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)已知集合 A={y|y=|x|﹣1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是() A.﹣3∈A B.3?B C.A∩B=B D.A∪B=B 2. (5 分)

已知 A.﹣1 B. 1 ,其中 i 为虚数单位,则 a+b=() C. 2 D.3

3. (5 分)设随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,4) ,若 P(ξ<2a﹣3)=P(ξ>a+2) ,则 a 的 值为() A. B. C. 5 D.3

4. (5 分)某程序框图如右图所示,则输出的 n 值是()

A..21

B.22

C..23

D..24

5. (5 分)己知函数 f(x)=lnx﹣ ,则函数 f(x)的零点所在的区间是() A..(0,1) B.(1,2) C..(2,3) D.(3,4)

6. (5 分)如图,在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落 到阴影部分的概率为()

A.

B.

C.

D.

7. (5 分)若

,α 是第三象限的角,则

=()

A.2

B.

C.﹣2

D.

8. (5 分)已知 a>0,x,y 满足约束条件

,若 z=2x+y 的最小值为 1,则

a=() A. B. C. 1
*

D.2

9. (5 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N ) ,且 an=2n+λ,若数列{Sn}在 n≥7 时为 递增数列,则实数 λ 的取值范围为() A. (﹣15,+∞) B. 二、填空题: (本大题共 4 小 题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上. ) 3 13. (5 分)设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为 m)则该几何体的体积为 m .

14. (5 分)如果双曲线 线的离心率为.



=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x +2 相切,则双曲

2

15. (5 分) 已知平行四边形 ABCD 中, AB=1, E 是 BC 边上靠近点 B 的三等分点, AE⊥BD, 则 BC 长度的取值范围是.

16. (5 分)己知函数 f(x)= +f(a3)+…+f(a10)=.

,{an}为 a1=1,d=2 的等差数列,则 f(a1)+f(a2)

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (12 分)在△ ABC 中,记角 A,B,C 的对边为 a,b,c,角 A 为锐角,设向量 =(cosA, sinA) , =(cosA,﹣sinA) ,且 ? = (I)求角 A 的大小及向量 与 的夹角; (II)若 a= ,求△ ABC 面积的最大值.

18. (12 分)设 ξ 为随机变量,从棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的八个顶点中任取 四个点,当四点共面时,ξ=0,当四点不共面时,ξ 的值为四点组成的四面体的体积. (1)求概率 P(ξ=0) ; (2)求 ξ 的分布列,并求其数学期望 E(ξ) . 19. (12 分)己知四棱锥 P﹣ABCD,其中 底面 ABCD 为矩形侧棱 PA⊥底面 ABCD,其中 BC=2,AB=2PA=6,M,N 为侧棱 PC 上的两个三等分点,如图所示: (Ⅰ)求证:AN∥平面 MBD; (Ⅱ)求二面角 B﹣PC﹣A 的余弦值.

20. (12 分)己知曲线 C1:y=﹣x +1(y≤0)与 x 轴交于 A,B 两点,点 P 为 x 轴上方的一 个动点,点 P 与 A,B 连线的斜率之积为﹣4 (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C2 的方程; (Ⅱ)过点 B 的直线 l 与 C1,C2 分别交于点 M,Q(均异于点 A,B) ,若以 MQ 为直径的 圆经过点 A,求△ AMQ 的面积. 21. (12 分)已知函数 f(x)= a(x﹣1)﹣2lnx(a 为常数) (Ⅰ)当 a=1 对,求 f(x)单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间(0,1)上无零点,求 a 的最大值.

2

四、选做题(共 1 小题,满分 10 分) 【选修 4-l:几何证明选讲】 22. (10 分)如图,⊙O 是△ ABC 的外接圆,D 是
2

的中点,BD 交 AC 于 E.

(Ⅰ)求证:DC =DE?DB; (Ⅱ)若 CD=2 ,O 到 AC 的距离为 1,求⊙O 的半径 r.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.己知抛物线 y=x +m 的顶点 M 到直线
2

(t 为参数)的距离为 1

(Ⅰ)求 m : (Ⅱ)若直线 l 与抛物线相交于 A,B 两点,与 y 轴交于 N 点,求|S△ MAN﹣S△ MBN|的值.

【选修 4-5:不等式选讲】

24.己知长方体的三条棱长分别为 a、b、c,其外接球的半径为 (Ⅰ)求长方体体积的最大值; (Ⅱ)设 =(1,3, ) , =(a,b,c) ,求 ? 的最大值.

河南省中原名校 2015 届高三上学期第一次摸底数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)已知集合 A={y|y=|x|﹣1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是() A.﹣3∈A B.3?B C.A∩B=B D.A∪B=B 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 集合. 分析: 先求出集合 A,从而找出正确选项. 解答: 解:∵|x|≥0,∴|x|﹣1≥﹣1; ∴A={y|y≥﹣1},又 B={x|x≥2} ∴A∩B={x|x≥2}=B. 故选 C. 点评: 注意描述法所表示集合的元素.

2. (5 分)已知 A.﹣1 B. 1

,其中 i 为虚数单位,则 a+b=() C. 2 D.3

考点: 复数代数形式的混合运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 先化简复数,再利用复数相等,解出 a、b,可得结果. 解答: 解: 由 另解:由 得 a+2i=bi﹣1, 所以由复数相等的意义知 a=﹣1, b=2, 所以 a+b=1 得﹣ai+2=b+i(a,b∈R) ,则﹣a=1,b=2,a+b=1.

故选 B. 点评: 本题考查复数相等的意义、复数的基本运算,是基础题. 3. (5 分)设随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,4) ,若 P(ξ<2a﹣3)=P(ξ>a+2) ,则 a 的 值为()

A.

B.

C. 5

D.3

考点: 正态分布曲线的特点及曲线 所表示的意义. 专题: 计算题. 分析: 根据随机变量符合正态分布,又知正态曲线关于 x=3 对称,得到两个概率相等的 区间关于 x=3 对称,得到关于 a 的方程,解方程即可. 解答: 解:∵随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,4) , ∵P(ξ<2a﹣3)=P(ξ>a+2) , ∴2a﹣3 与 a+2 关于 x=3 对称, ∴2a﹣3+a+2=6, ∴3a=7, ∴a= , 故选 A. 点评: 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,本题主要考查曲线关于 x=3 对称,考查关于直线对称的点的特点,本题是一个基础题,若出现是一个得分题目. 4. (5 分)某程序框图如右图所示,则输出的 n 值是()

A..21

B.22

C..23

D..24

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序框图,写出每次循环 n,p 的值,当 p>40 时退出循环,输出 n 的值为 23. 解答: 解:执行程序框图,有 p=1,n=2 第一次执行循环体,n=5,p=11 p>40 不成立,第 2 次执行循环体,n=11,p=33

p>40 不成立,第 3 次执行循环体,n=23,p=79 p>40 成立,退出循环,输出 n 的值为 23. 故选:C. 点评: 本题主要考察了程序框图和算法,属于基础题.

5. (5 分)己知函数 f(x)=lnx﹣ ,则函数 f(x)的零点所在的区间是() A..(0,1) B.(1,2) C..(2,3) D.(3,4)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 将 x=1,x=2 代入函数的表达式,从而得出 f(1)f(2)<0,进而求出零点所在的 区间. 解答: 解:∵f(1)=ln1﹣ =﹣ <0, f(2)=ln2﹣ =ln >0,

∴f(1)f(2)<0, 故选:B. 点评: 本题考查了老师的零点问题,特殊 值代入是方法之一,本题属于基础题. 6. (5 分)如图,在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落 到阴影部分的概率为()

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

几何概型. 计算题;概率与统计. 用定积分计算阴影部分的面积,利用几何概型的概率公式求出概率. x 解:由题意,y=lnx 与 y=e 关于 y=x 对称, (e﹣e )dx=2(ex﹣e )
x x

∴阴影部分的面积为 2

=2,
2

∵边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形的面积为 e , ∴落到阴影部分的概率为 .

故选:C. 点评: 本题考查几何概型,几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到.

7. (5 分)若

,α 是第三象限的角,则

=()

A.2

B.

C.﹣2

D.

考点: 三角函数的化简求值. 专题: 计算题;转化思想.

分析: 将表达式式

中的正切化成正余 弦,由

,求出



即可得到结论. 解答: 解:由 ,α 是第三象限的角,

∴可得

.





故选:C. 点评: 本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、 同角的三角函数关系等知识 以及相应的运算能力,还要注意条件中的角 α 与待求式中角 用. 的差别,注意转化思想的应

8. (5 分)已知 a>0,x,y 满足约束条件

,若 z=2x+y 的最小值为 1,则

a=() A. B. C. 1 D.2

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 先根据约束条件画出可行域,设 z=2x+y,再利用 z 的几何意义求最值,只需求出 直线 z=2x+y 过可行域内的点 B 时,从而得到 a 值即可. 解答: 解:先根据约束条件画出可行域, 设 z=2x+y, 将最大值转化为 y 轴上的截距, 当直线 z=2x+y 经过点 B 时,z 最小, 由 故选:B. 得: ,代入直线 y=a(x﹣3)得,a=

点评: 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组, 以及简单的转化思想和数形结合的 思想,属中档题.借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、 化归思想.线性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定. 9. (5 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N ) ,且 an=2n+λ,若数列{Sn}在 n≥7 时为 递增数列,则实数 λ 的取值范围为() A. (﹣15,+∞) B. 考点: 数列的求和. 专题: 函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 分析: 由已知写出等差数列的通项公式,然后由 f(x)= f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a10)可求. 解答: 解:∵{an}为 a1=1,d=2 的等差数列, ∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1. 又 f(x)= ∴f(x)+f= = . , 得到 f(x)+f=20,则
*

∴f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a10) =f(1)+f(3)+…+f(17)+f(19) =5×20=100. 故答案为:100. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了函数 f(x)= 够推出 f(x)+f=20,是中档题. 三、解答题: (本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (12 分)在△ ABC 中,记角 A,B,C 的对边为 a,b,c,角 A 为锐角,设向量 =(cosA, sinA) , =(cosA,﹣sinA) ,且 ? = (I)求角 A 的大小及向量 与 的夹角; (II)若 a= ,求△ ABC 面积的最大值. 的性质,关键是能

考点: 平面向量数量积的运算;数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: (I)在△ ABC 中,由 ? = 求得 cos2A= ,可得 A 的值.再根据两个向量的数 量积的定义求得向量 与 的夹角. (II)由条件利用余弦定理以及基本不等式求得 bc 的最大值,可得△ ABC 面积 bc?sinA 的 最大值. 解答: 解: (I)在△ ABC 中,由 ? = 求得 cos2A= ,可得 再根据 可得向量 与 的夹角< , >= (II)∵a= 求得 bc≤10+5 . 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义, 余弦定理以及基本不等式的应用, 属于基 础题. 18. (12 分)设 ξ 为随机变量,从棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的八个顶点中任取 四个点,当四点共面时,ξ=0,当四点不共面时,ξ 的值为四点组成的四面体的体积. (1)求概率 P(ξ=0) ; ,A= .
2 2 2



=cos< , >,求得 cos< , >= ,

,由余弦定理可得 a =5=b +c ﹣2bc?cosA≥2bc﹣

bc, 的最大值为

,当且仅当 b=c 时取等号,故△ ABC 面积 bc?sinA=

(2)求 ξ 的分布列,并求其数学期望 E(ξ) . 考点: 离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率. 专题: 综合题;概率与统计. 分析: (1) 求出从正方体的八个顶点中任取四个点, 共有 =70 种情况, 当四点共面时,

共有 12 种情况,即可由概率公式求得概率. (2)四点不共面时,四面体的体积有以下两种情况:①四点在相对面且异面的对角线上; ②四点中有三个点在一个侧面上,另一个点在相对侧面上,求出相应的概率,从而求出随 机变量的分布列与数学期望. 解答: 解: (1)从棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的八个顶点中任取四个点,共有 =70 种情况,当四点共面时,共有 12 种情况, ∴P(ξ=0)= = .

(2)四点不共面时,四面体的体积有以下两种情况: ①四点在相对面且异面的对角线上,体积为 1﹣4× = ,这样的取法共有 2 种; ②四点中有三个点在一个侧面上,另一个点在相对侧面上,体积为 ,这样的取法共有 70 ﹣12﹣2=56 种. ∴ξ 的分布列为 ξ P 数学期望 E(ξ)= . 0

点评: 本题考查概率的计算,考查离散型随机变量的分布列与期望,求概率是关键. 19. (12 分)己知四棱锥 P﹣ABCD,其中底面 ABCD 为矩形侧棱 PA⊥底面 ABCD,其中 BC=2,AB=2PA=6,M,N 为侧棱 PC 上的两个三等分点,如图所示: (Ⅰ)求证:AN∥平面 MBD; (Ⅱ)求二面角 B﹣PC﹣A 的余弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ) 连结 AC 交 BD 于 O, 连结 OM, 利用直线与平面平行的判定定理证明: AN∥ 平面 MBD; (Ⅱ)设平面 BCP 的法向量为 样求出平面 PAC 法向量 ,利用向量的垂直关系,求出法向量,同 ,利用空间向量的数量积,直接求解二面角

B﹣PC﹣A 的余弦值. 解答: (Ⅰ)证明:连结 AC 交 BD 于 O,连结 OM, ∵底面 ABCD 为矩形,∴O 为 AC 中点,∵M、N 为侧棱 PC 的三等份点,∴MN=CM, ∴OM∥AN,∵OM?平面 MBD,AN?平面 MBD,∴AN∥平面 MBD (4 分) . (Ⅱ)易知△ ABP 为等腰直角三角形,所以 BP 为外接圆的直径,所以 PB= ,PA=3 如图所示,以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A﹣xyz, 则 A(0,0,0) ,B(3,0,0) ,C(3,6,0) ,D(0,6,0) ,P(0,0,3) ,M(2,4,1) , N(1,2,2) , 设平面 BCP 的法向量为 ,∵ ,

并且

,∴

,令 x=1,得 y=0,z=1,

∴平面 MBD 的一个法向量为 设平面 PAC 法向量为 同理可得 (8 分)

, (6 分) ,

(10 分) 由图可知,二面角 B﹣PC﹣A 为锐角, ∴二面角 B﹣PC﹣A 的余弦值为 . (12 分)

点评: 本题考查直线与平面平行的判定定理, 二面角的平面角的求法, 考查空间想象能力 以及计算能力. 20. (12 分)己知曲线 C1:y=﹣x +1(y≤0)与 x 轴交于 A,B 两点,点 P 为 x 轴上方的一 个动点,点 P 与 A,B 连线的斜率之积为﹣4 (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C2 的方程; (Ⅱ)过点 B 的直线 l 与 C1,C2 分别交于点 M,Q(均异于点 A,B) ,若以 MQ 为直径的 圆经过点 A,求△ AMQ 的面积. 考点: 轨迹方程.
2

专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)利用点 P 与 A,B 连线的斜率之积为﹣4,建立方程,即可求动点 P 的轨迹 C2 的方程; (Ⅱ)其方程为 y=k(x﹣1) (k≠0) ,代入上半椭圆 C2 的方程,求出点 M 的坐标,同理得 出点 Q 的坐标,利用 AM⊥AQ,可得 ,即可求出△ AMQ 的面积.

解答: 解: (Ⅰ)不妨设点 A 在点 B 左侧,则 A(﹣1,0) ,B(1,0) 设 P(x,y) (y>0) ,则

整理得:

所以动点 P 的轨迹 C2 的方程为

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,上半椭圆 C2 的方程为



易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程为 y=k(x﹣1) (k≠0) , 2 2 2 2 代入 C2 的方程,整理得(k +4)x ﹣2k x+k ﹣4=0. (*) 设点 M 的坐标为(xM,yM) , ∵直线 l 过点 B,∴x=1 是方程(*)的一个根. 由求根公式,得 xM= ,从而 yM= ,

∴点 M 的坐标为(



) .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分) 同理,由 得点 Q 的坐标为(﹣k﹣1,﹣k ﹣2k) . 由题意可知 AM⊥AQ,且 .
2

∴ ∵k≠0,

,即

=0,

∴k﹣4(k+2)=0,解得 k=﹣ .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分)

∴ ∴ 所以△ APQ 的面积为 .…(12 分)

点评: 本题考查动点 P 的轨迹 C2 的方程,考查△ APQ 的面积,考查学生的计算能力,属 于中档题. 21. (12 分)已知函数 f(x)=a(x﹣1)﹣2lnx(a 为常数) (Ⅰ)当 a=1 对,求 f(x)单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间(0,1)上无零点,求 a 的最大值. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数的零点. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)当 a=l 对,函数 f(x)=a(x﹣1)﹣2lnx=x﹣1﹣2lnx,直接求导用导数研究 单调性即可. (2)若函数 f(x)在区间(0,1)上无零点,则对?x∈(0,1) ,f(x)>0 恒成立或者 f (x)<0 恒成立. 首先证明 a≤0,f(x)=a(x﹣1)﹣2lnx>0 恒成立; 其次证明函数 f(x)<0 在区间(0,1)上不可能恒成立,只有使对?x∈(0,1) ,f(x)> 0 恒成立. 从①当 a>2,②当 a≤2 两种情况入手. 解答: 解: (1)函数的定义域为(0,+∞) 当 a=1 时,函数 f(x)=x﹣1﹣2lnx,∴ 由 f'(x)>0 得 x>2,由 f'(x)<0 得 0<x<2 故 f(x)的单调递减区间为(0,2) ,单调递增区间为(2,+∞) (2)若函数 f(x)在区间(0,1)上无零点,则 对?x∈(0,1) ,f(x)>0 恒成立或者 f(x)<0 恒成立. 由 x∈(0,1) ,得 x﹣1<0,﹣2lnx>0, 故若 a≤0,f(x)=a(x﹣1)﹣2lnx>0 恒成立; 若 a>0, 首先证明函数 f(x)<0 在区间(0,1)上不可能恒成立, 令 ,则 x0∈(0,1) ,且 = 所以,函数 f(x)<0 在区间(0,1)上不可能恒成立, ∴故要使函数 f(x)在区间(0,1)上无零点,只要对?x∈(0,1) ,f(x)>0 恒成立. ∵ = ,

①当 a>2,即 即 f(x)在区间 此时 令

时,由 f'(x)>0 得 上单调递减,在区间

,由 f'(x)<0 得 上单调递增; ,



,∴



∴g(a)在 a>2 递减,故 g(a)<g(2)=0, 所以当 a>2 时,f(x)min<0,即对?x∈(0,1) ,f(x)>0 不恒成立, ∴a>2 不满足要求,∴a≤2, ②当 a≤2 时,即 时,由 f'(x)>0 得 ,由 f'(x)<0 得 ,

即 f(x)在区间(0,1)上单 调递减,故 f(x)>f(1)=0, 满足对?x∈(0,1) ,f(x)>0 恒成立,满足要求, 综上,a≤2,即 a 的最大值为 2. 点评: 本题主要考查函数与导数的综合应用, 带有参变量的题, 要对参量的取值进行讨论, 属于高档题. 四、选做题(共 1 小题,满分 10 分) 【选修 4-l:几何证明选讲】 22. (10 分)如图,⊙O 是△ ABC 的外接圆,D 是
2

的中点,BD 交 AC 于 E.

(Ⅰ)求证:DC =DE?DB; (Ⅱ)若 CD=2 ,O 到 AC 的距离为 1,求⊙O 的半径 r.

考点: 与圆有关的比例线段;相似三角形的判定;相似三角形的性质. 专题: 选作题. 分析: (I)先证明△ BCD∽△CED,可得 (II)OD⊥AC,设垂足为 F,求出 CF= ,从而问题得证; ,利用 DC =CF +DF ,建立方程,即可求
2 2 2

得⊙O 的半径. 解答: (I)证明:连接 OD,OC,由已知 D 是弧 AC 的中点,可得∠ABD=∠CBD ∵∠ABD=∠ECD ∴∠CBD=∠ECD ∵∠BDC=∠EDC ∴△BCD∽△CED

∴ ∴CD =DE?DB. (II)解:设⊙O 的半径为 R ∵D 是弧 AC 的中点 ∴OD⊥AC,设垂足为 F 在直角△ CFO 中,OF=1,OC=R,CF= 在直角△ CFD 中,DC =CF +DF ∴ ∴R ﹣R﹣6=0 ∴(R﹣3) (R+2)=0 ∴R=3
2 2 2 2 2

点评: 本题是选考题,考查几何证明选讲,考查三角形的相似与圆的性质,属于基础题. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.己知抛物线 y=x +m 的顶点 M 到直线
2

(t 为参数)的距离为 1

(Ⅰ)求 m: (Ⅱ)若直线 l 与抛物线相交于 A,B 两点,与 y 轴交于 N 点,求|S△ MAN﹣S△ MBN|的值. 考点: 参数方程化成普通方程;直线与圆锥曲线的关系. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (1)利用点到直线的距离公式即可得出; 2 (2)当 m=3 时,直线与抛物线不相交,舍去.当 m=﹣1 时,抛物线的方程为 y=x ﹣1.

将直线 l 的一个标准参数方程

代入抛物线方程,利用根与系数的关系及其参数

的意义即可得出. 2 解答: 解: (1)抛物线 y=x +m 的顶点 M(0,m) , 由直线 (t 为参数) , . =1,

消去参数 t 得到的直线 l 的一般方程 则 M 到直线 l 的距离为

解得 m=﹣1,或 3. (2)当 m=3 时,直线与抛物线不相交,舍去. 当 m=﹣1 时,抛物线的方程为 y=x ﹣1.
2

将直线 l 的一个标准参数方程

代入抛物线方程可得:





,t1t2=﹣8. = .

∴|S△ MAN﹣S△ MBN|=

点评: 本题考查了直线的参数方程及其应用、 直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到 根与系数的关系、三角形的面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 【选修 4-5:不等式选讲】 24.己知长方体的三条棱长分别为 a、b、c,其外接球的半径为 (Ⅰ)求长方体体积的最大值; (Ⅱ)设 =(1,3, ) , =(a,b,c) ,求 ? 的最大值.

考点: 柯西不等式;平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用;不等式. 2 2 2 分析: (1) 由题意可知 a>0, b>0, c>0 且 a +b +c =9, 利用基本不等式求得 abc≤3 从而求得长方体体积的最大值. (2) ,根据柯西不等式,有 ,即 而得到 ? 的最大值. 解答: 解: (1)由题意可知 a>0,b>0,c>0 且 a +b +c =9, 由三个正数的基本不等式可得 即 abc≤3 ,当且仅当 a=b=c= 时,取等号, 所以长方体体积的最大值 . (2) ,根据柯西不等式,有 ,故有 当且仅当“ ”即“ ”时, 取得最大值 12. ,
2 2 2



,从



点评: 本题主要考查基本不等式、柯西不等式的应用,两个向量的数量积公式,属于基础 题.


相关文章:
河南省中原名校2015届高三上学期第一次摸底数学试卷(理科)
河南省中原名校 2015 届高三上学期第一次摸底数学试卷 (理科)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有...
河南省中原名校2015届高三上学期第一次摸底数学试卷(理科)
河南省中原名校 2015 届高三上学期第一次摸底数学试卷 (理科)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有...
河南省中原名校2015届高三上学期第一次摸底考试_数学(理)
河南省中原名校2015届高三上学期第一次摸底考试_数学(理)_数学_高中教育_教育专区。中原名校 2014-2015 学年上期第一次摸底考试 高三数学(理)试题 第 I 卷选择...
河南省中原名校2015届高三数学上学期第一次摸底考试 理
河南省中原名校2015届高三数学上学期第一次摸底考试 理_数学_高中教育_教育专区。河南省中原名校 2015 届高三数学上学期第一次摸底考试 理 (扫描版, 无答案) -...
河南省中原名校2015届高三上学期第一次摸底数学试卷(文科)
河南省中原名校 2015 届高三上学期第一次摸底数学试卷 (文科)一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有 一...
2015年河南省中原名校联盟高考数学模拟试卷(理科)
2015河南省中原名校联盟高考数学模拟试卷(理科)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目...
河南省中原名校2017届高三上学期第一次质检数学试卷(理科) Word版含解析
河南省中原名校2017届高三上学期第一次质检数学试卷(理科) Word版含解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。河南省中原名校2017届高三上学期第一次质检数学试卷(...
河南省中原名校2015届高三上学期第一次摸底数学试卷(文科)
河南省中原名校 2015 届高三上学期第一次摸底数学试卷 (文科)一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有 一...
2017届河南省中原名校高三上期第一次质量考评 理科数学试题(图片版)
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2017届河南省中原名校高三上期第一次质量考评 理科数学试题(图片版)_数学_高中教育_教育专区。 +...
更多相关标签:
河南省第一次党代会 | 河南省乡村教师访名校 | 河南省十大课改名校 | 国资委摸底僵尸企业 | 全国留守儿童摸底 | 农业普查住户摸底表 | 住户摸底表 | 农业普查清查摸底 |