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复数的有关概念


复数的有关概念
[重点难点] 1.复数的定义:形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数。a 叫做复数的实部,b 叫做复数的虚部。 复数的分类如下:

a+bi(a,b∈R) 2.复数相等的充要条件:设 a,b,c,d∈R, 则 a+bi=c+di a=c 且 b=d。特别地:a+bi=0 应当理解:(1)一个复数一旦实部、虚部确定,那么这个复数就唯一确定;反之一样。 (2)复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础。 3.复数的几何表示 (1)坐标表示:在复平面内以(a,b)为坐标的点 Z 表示复数 z=a+bi。 (2)向量表示:以原点 O 为起点,点 Z(a,b)为终点的向量 向量 的长度叫做复数 a+bi 的模,记作|a+bi|。V=| 表示复数 z=a+bi。 |=|z|= ≥0。 a=b=0。

理解: 10 向量可以平移, 只有位置向量

零向量除外可以与点 Z(a,b)以及复数 z=a+bi 有一一对应的关系。

20 两个复数不全是实数时不能比较大小,但它们的模可以比较大小。 例题选讲: 例 1.实数 m 取何值时,复数 z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i 是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数。 解:(1)当 m2-3m+2=0 即 m=1 或 m=2 时,z 为实数; (2)当 m2-3m+2≠0 即 m≠1 且 m≠2 时,z 为虚数;

(3)当

即 m=-1 时,z 为纯虚数。

例 2.已知复数 z=(3m2-5m+2)+(m-1)i (m∈R) 若 所对应的点在第四象限,求 m 的取值范围。

解:∵ =(3m2-5m+2)-(m-1)i ∴

解得 m>1。 ∴ m∈(1,+∞)为所求。

例 3.已知方程 2x2-(2i-1)x+m-i=0 有实根,求实数 m。 解:设实根为 x0, 则 2x02-(2i-1)x0+m-i=0,

即 2x02+x0+m-(2x0+1)i=0 ∴
-x

解得

∴ m=0 为所求。

例 4.已知 z1=3-4i, z2=2 -1+4i(x∈R), 且|z2|≤|z1|,求 x 的取值范围。 解:∵|z1|= =5, |z2|= 。∴ ≤5, 解之得 x≥-2。

例 5.设 z∈C,满足条件 1≤|z|≤2 且-1≤I(z)≤1。试画出复数 z 所对应的点 Z 的集合表示的图形。 解:

1

阴影区域为所求。 参考练习: 1.选择题: (1)a=0 是复数 z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的( ) A、必要但不充分条件 B、充分但不必要条件

C、充分必要条件

D、既不充分也不必要条件

(2)复数 z=(a2-2a+3)-(a2-a+

)i, (a∈R)在复平面内对应点位于( )

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 2.填空题: (1)已知复数 z=(3m2-5m+2)+(m-1)i (m∈R),若复数 z 所对应的点 Z 在虚轴上,m=_______。 (2)若 z=(1+2i)x-(1+i)(x∈R)的模小于 ,则 x 的取值范围是_________。

3.解答题: z=

+(m2-2m-15)i, (m∈R), m 取何值时,z 是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数。

4.已知复数 z 满足条件|z|=1 且 R(z)=参考答案:

。求复数 z。

1. 选择:(1)A i

(2)D 2. 填空:(1)

(2) (-

,2)

3. (1)m=5

(2)m≠5 且 m≠-3

(3)m=3

4. z=-

±

在线测试 选择题

1.复数

的值为( )

A、-2i

B、0

C、2i

D、-i

2.方程 z8=A、

i 的解对应复平面上 8 个点,则两相邻点间的距离是( ) B、 C、2D、 -1

3.对模为 1 的虚数 z,记 z1= A、z1>z2 B、z1=z2

, z2= C、z1<z2
2

,则 z1 与 z2 的关系为( ) D、不能比较大小 )条件

4.z1,z2∈{虚数},则(z1+z2)∈R,且(z1-z2)∈{纯虚数}是 z1 与 z2 共轭的(

A、充分不必要条件

B、必要不充分条件

C、既不充分也不必要条件

D、充要条件

5.设 z 为虚数,条件甲:z+ A、甲是乙的必要条件 C、甲是乙的充要条件

是实数,条件乙:|z|=1,则( ) B、甲是乙的充分条件 D、甲既不是乙的必要条件,也不是乙的充分条件 答案与解析

答案:1、A

2、A

3、B

4、D

5、C

解析:1.

=

=

+cos(-1170°)+isin(-1170°)=-i-i=-2i。故本题应选 A。 。故本题选 A。

2.单位圆上 8 个点,两点之间距离为

3.z1=

=

=

+

=z2。 故本题应选 B。

4.∵z1, z2∈{虚数}, ∴ z1,z2 都是虚数 ① 设 z1=a+bi, z2=c+di (b,d≠0),z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 由已知,得(z1+z2)∈R, 得 b+d=0, b=-d。 又∵ z1-z2=(a+bi)-(c+d)i=(a-c)+(b-d)i, ∵ (z1-z2)∈{纯虚数},即 a-c=0,a=c, ∴z1 与 z2 共轭。 ②如果 z1 与 z2 是共轭复数,那么 z1=a+bi,z2=a-bi, z1+z2=2a∈R,z1-z2=2bi, ∵b≠0, ∴ z1-z2 为纯虚数综合①,②知,本题应选择 D。 5.依据复数的概念及模长公式 设 z=a+bi (a,b 为实数,且 b≠0),

则 z+

=a+bi+

=(a+

)+(b-

)i

①若|z|=1,则

=1,即 a +b =1,于是 b-

2

2

=b-b=0,∴ z+

=a+

=2a。

②若 z+
2 2

为实数,则 b-

=b(1-

)=0 ∵ b≠0, ∴

=1,

即 a +b =1,∴ |z|=

=1。由①、②知甲是乙的充要条件,故本题应选 C。

分类讨论的思想方法 分类讨论是一种逻辑方法,也是一种数学思想,这种思想在人的思维发展中有着重要的作用。因此在近年 来的高考试题中,把它列为重要的思想方法之一来考查。下面将系统地介绍分类讨论的思想。

3

内容概要 (1)分类定义:设符合一定条件的全体对象组成集合 A,按对象的某一性质 P,将 A 分成若干个真子集 A1,A2,……,An,满足:

①A=

Ai; ②Ai∩Aj=

(i≠j,i,j=1,2,……,n),则称 A1,A2,……,An 是集合 A 的一个分类。

“按对象的某一性质 P”就是分类标准。条件 A= 条件 Ai∩Aj=

Ai(i=1,2,……,n)要求集合 A 中的全体对象一个也不遗漏。

(i≠j,i,j=1,2,……,n)要求集合 A 中的每一个对象划分后所属的 Ai 是唯一确定的。

有些问题一次分类仍不够,可对 Ai(i=1,2,……,n)再进行分类;这就构成对 A 的二级分类,依此类推,可以 有三级分类,四级分类…… (2)分类原则:由分类的定义可以知道,分类讨论时必须遵循如下原则。 ①施行分类的集合的全域必须是确定的; ②每一次分类的标准必须是同一的; ③分类必须是完整的,不出现遗漏; ④各子集域必须是互斥的,不出现重复; ⑤如需多次分类,必须逐级进行,不得越级。 (3)分类方法:用分类讨论的思想解答数学问题,一般是按如下过程操作。 ①明确讨论的对象,确定对象的全体; ②确定分类标准,正确进行分类; ③逐类进行讨论,获得阶段性的结果; ④归纳小结,综合出结论。 (4)有关分类讨论的数学问题:需要运用分类讨论的思想来解决的数学问题,引起分类讨论的原因大致 可归结为如下几种: ①涉及的数学概念是分类定义的; ②运用的数学定理、公式,或运算性质、法则是分类给出的; ③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性; ④数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值会导致不同结果的; ⑤较复杂的或非常规的数学问题,需要采取分类讨论的解题策略来解决的。 有关分类讨论思想的数学题之所以在高考试题中占有重要位置,是由于其具有明显的逻辑性、综合性、探 索性的特点,能体现“着重考查数学能力”的要求。从培养人的角度来看,这类数学问题对于训练思维的条理性 和深刻性有着重要的作用。 例 1:设 a≥0,在复数集 C 中解方程 z2+2|z|=a。 分析:本题是典型的用分类讨论解方程的问题。一般地,设 z=x+yi 代入原方程,由于有 2xy=0,首先分为 x=0 或 y=0 两种情况;在设定一个变量为零的前提下,讨论另一个变量为正、为零、为负的情况;进而研究对 于不同的 a 值,方程的解的情况。解题过程用了三级分类。 解:设 z=x+yi,代入原方程得 x2-y2+2 +2xyi=a
4

于是有 由(2)式知 x=0 或 y=0,可知如果方程有解,其解必为实数或纯虚数。下面进行讨论。 (1)若 y=0,原方程的实数解为 z=x,此时,(1)式可化为 x2+2|x|=a.........(3) 1)若 x=0,(3)式变为 0=a,故当 a=0 时,有 x=0,即 z=0;当 a>0 时,方程无解。 2)若 x>0, (3)式变为 x2+2x=a,即(x+1)2=1+a..........(4) 当 a=0 时,方程(4)无正根;当 a>0 时,方程(4)的正根有 x=-1+ 3)若 x<0,(3)式变为 x2-2x=a, 即(x-1)2=1+a.......(5) 当 a=0 时,方程(5)无负根;当 a>0 时,方程(5)的负根有 x=1, 即 z=1。 , 即 z=-1+ 。

(2)若 x=0,由于 y=0 的情况已经在前面讨论过,但需要考虑 y≠0,即求原方程的纯虚数解 z=yi(y≠0). 此时,(1)式可化为 -y2+2|y|=a................(6) 1) 若 y>0, (6)式变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a.........(7) 当 a=0 时,解方程(7)得 y=2, 即 z=2i;当 0<a≤1 时,方程(7)有正根 y=1± 当 a>1 时,方程(7)无实根,即原方程无解。 2)若 y<0,(6)式变为-y2-2y=a, 即 (y+1)2=1-a........(8) 当 a=0 时,方程(8)得 y=-2, 即 z=-2i; 当 0<a≤1 时,方程(8)有负根 y=-1± 当 a>1 时,方程(8)无实根,即原方程无解。 综上可知,原方程的实数解是:当 a=0 时,z=0; 当 a>0 时, z=± (1原方程的纯虚数解是:当 a=0 时, z=± 2i; 当 0<a≤1 时, z=± (-1+ ). )i, z=± (1)i。 ,即 z=(-1± )i; , 即 z=(1± )i;

而当 a>1 时,原方程无纯虚数解。 注:本题是“已知 z 是虚数,解方程 z+|z|=2+i”的发展题。如果仅把已知量“2+i”换成参变量 a,会熟知就 a 的不同取值讨论求解,仅需进行一级讨论,是高考中的容易题。进一步发展,将未知量“z”换成“z2”,情况就复 杂得多,因为要对 a 的不同取值,表示 z 的实部和虚部的 x,y 的零与非零,正与负交叉研究,达到三级讨论之 多,对考生的分类思想的考查提出了相当高的要求。 例 2.在 xOy 平面上给定曲线 y2=2x。设点 A 坐标为(a,0) , a∈R.求曲线上的点到点 A 距离的最小值 d,并 写出 d=f(a)的函数表达式。 分析:本题是求两点间距离的最小值问题,常规方法是建立两点间线段长的平方的函数,易知这是一个二 次函数,因此问题就成了求二次函数的最小值问题。但是由于所给曲线中变量 x 的取值范围的约束,必须考虑 顶点横坐标的范围。因此引起对 a 的取值的讨论。 解:设 M 为曲线 y2=2x 上的一点,则|MA|2=(x-a)2+y2=(x-a)2+2x=x2-2(a-1)x+a2=[x-(a-1)]2+(2a-1)..........(1) 由于曲线 y2=2x 限定 x≥0,对于(1)式,顶点的横坐标 x=a-1,由此作如下讨论: (1)a≥1 时,当 x=a-1 时函数有最小值 =2a-1, 即 d= .

(2)a<1 时,(1)式作为 x 的函数在区间[0,+∞)上单调递增,故其最小值在 x=0 处达到,此时

=[x-(a-1)]2+(2a-1)=a2,即 d=|a|.
2

综上所述,有 d=f(a)=

.

注:本题是“求抛物线 y=x 上到直线 y=2x-4 的距离最小的点的坐标,并求出这个距离”的变异。解题的基 本思路——建立目标函数。求二次函数的最小值考生是熟悉的,故入手并不难,加强能力考查的关卡设在隐含
5

条件 x≥0 及 A 的横坐标为参变量这两点上。由于它们之间是互相约束的,关键是从中找出正确的分类标准,从 而得到 d=f(a)的函数表达式。 例 3.在直角坐标系中,设矩形 OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为 O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2), 其中 t∈(0,+∞).求矩形 OPQR 在第一象限部分的面积 S(t)。 分析 :要求矩形 OPQR 在第一象限部分的面积 S(t),必须考虑各顶点的可能位置。由于 t 为正数,O 是坐标原点,显然点 P 在第一象限,点 R 在第二象限,但点 Q 的横坐标 1-2t 可正、可零、可负,即 Q 点可能在第一象限或在 y 轴上或在第二象限,需分类求解。 解:由于 Q 点的横坐标 1-2t 可正、可零、可负,故作如下讨论:

1)当 1-2t>0,即 0<t<

时,Q 点在第一象限,设 QR 与 y 轴相交于 K,见右上图。

直线 QR 的方程是 ∴S(t)=SOPQK=SOPQR-SOKR

= 但|OP|=

, 即 y-2=t(x+2t), 故点 K 的坐标是(0,2+2t2). ,|OR|=2 ,

∴S(t)=

· 2

-

(2+2t2)· 2t=2(1-t+t2-t3).

2)当 1-2t=0,即 t=

时,Q 点坐标为(0,

),见右中图。 ∴S(t)=SOPQ=

× × 1= .

3)当 1-2t<0,即 t>

时,Q 点在第二象限,设 PQ 与 y 轴相交于 L,见右下图。

直线 PQ 的方程是

=

,即 y-t=- (x-1).故点 L 的坐标是(0,t+ ).

∴ S(t)=SOPL=

(t+ )· 1=

(t+ ). 综上可知,矩形 OPQR 在第一象限的面积

S(t)= 本题的变异可以改变图形及有关条件,进一步可以联系向量或三角函数。例如:“已知 ΔABC 三个顶点的 坐标是 A(t,0), B(-t,0), C(t-1,t+1). 点 P(x, 0)是 AB 上的点,点 Q 是 BC 上的点,线段 PQ 把三角形的面积分成相 等的两部分。”把 y=|PQ|表示为 x 的函数 f(x)。

复数的四则混合运算
[重点]:复数的概念、复数的运算、复数的一些应用三部分。 复数的概念:复数的代数形式,复数的模,辐角,共轭复数,规定了复数的加,减,乘,除运算,利用复数的 相等求平方根,一元二次方程求根,复数的几何意义:点,向量与解析几何的联系。
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[难点]:一元二次方程根的讨论。 [例题讲解]: 例 2.已知: 解: ,求实数 x。



或 x≥8。

例 3.计算: 解:原式=

例 4.求 解:则

的平方根。

由复数相等的定义得 (1)2+(2)2,得(x2+y2)2=25 x2+y2=5 (舍去负值)........(3) ;(1)+(3),x2=3, x= , (3)-(1), y2=2, 。

∵ ∴

,∴ 的平方根为

或 。

例 5.已知:|Z+2-2i|=1,求:|Z|的最值。 解:|Z-(-2+2i)|=1,几何意义:Z 在复平面上对应的点集是以 O'(-2,2)为圆心,r=1 的圆。 |Z|的几何意义是⊙O'上的点与原点的距离; ∴ , 。 ,

例 6.说明|Z+1|+|Z-2|=2a(a∈R+)表示的曲线。 解:原式|Z-(-1)|+|Z-2|=2a, 几何意义是 Z 在复平面上对应的点 Z 与 F1(-1,0),F2(2,0)距离之和等于 2a 的轨迹,|F1F2|=3。

7

(1)当 2a>3 即

时,Z 的轨迹是以 F1,F2 为焦点,2a 为长轴的椭圆。

(2)当 2a=3 即

时,Z 的轨迹是线段 F1,F2。

(3)当 2a<3 即

时,Z 的轨迹不存在。

例 7.已知 a∈R,方程 x2+2x+a=0 的两根为 a、b,求|a|+|b|。 解:∵ a∈R,∴ 方程为实系数一元二次方程,可以用 Δ 来判定方程有无实根。 (1)当 Δ=4-4a≥0,即 a≤1 时,方程的根 a、b 为实数根。

由韦达定理 ∴

又∵ |a|+|b|≥0,

①当 0≤a≤1 时,|a|+|b|=2, ②当 a<0 时,|a|+|b|= (2)当 Δ=4-4a<0,即 a>1 时,方程的根 a、b 为虚根

。 。

例 8.已知

是实系数一元二次方程 ax2+bx+1=0 的根,求 a,b 的值。

解:

。 方法(1) ∵ 实系数一元二次方程虚根为一对共轭复数,



也是该方程的根。

由韦达定理:

解得:a=1,



方法(2),∵

是方根的根,代入原方程整理得:



由复数相等的定义得

解得 a=1,
8



[本周参考练习] 一、选择题: 1.下面四个命题,正确的是( ) 。 A、|Z|2=Z2 (Z∈C) B、 (Z∈C) C、|Z|<1 -1<Z<1 (Z∈C) D、|Z1-Z2|=0 Z1=Z2 (Z1,Z2∈C)

2.Z1,Z2∈C, 则 Z1+Z2∈R, 且 Z1· Z2∈R,是 Z1 与 Z2 共轭的( ) 。 A、充分但不必要条件 C、充要条件 B、必要但不充分条件 D、既不充分也不必要条件

3.复数

的共轭复数是( ) 。 A、3-4i

B、3+4i

C、

D、

4.关于 x 的一元二次方程 x2+(m+2i)x+2+mi=0 至少有一个实根,则 m 的取值范围是( ) 。 A、 C、 A、椭圆 A、椭圆 B、圆 B、双曲线 C、直线 B、 D、 D、线段 D、圆 的两个交点,则 P 与 Q 之间的距离为( ) 。

5.在复平面内,若|Z-1+2i|+|Z-1-2i|=4. 则复数 Z 的对应的点的轨迹是( ) 。 6.设 Z=x+yi(x,y∈R),则满足等式|Z+2|=-x 的复数 Z 对应的点的轨迹是( ) 。 C、抛物线

7.若 P、Q 是复平面内|Z|=2 与直线

A、 二、填空题

B、

C、

D、

1.设复数 Z1=2-i, Z2=1-3i, 则复数 2.-5-12i 的平方根是______。

的虚部等于________。

3.若 x∈C 且 x2+ix+6=5x+2i,则 x=______。

参考答案: 一、1~5:DCDAD

6. C 7. A

二、1.

2. 2-3i, -2+3i

3. 2, 3-i

在线测试 选择题 1.实数 m≠-1 时,复数(m -3m-4)+(m -5m-6)i 是( )。 A、实数 B、虚数 C、纯虚数 D、不能确定
2 2

2.若 x,y∈R,“x=0”是“x+yi”为纯虚数的是( )。 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3.下列式子或结论中正确的是(

)。 B、|cosθ +isinθ |= D、|cosθ +isinθ |的最大值是 ,最小值是零。

A、|1-3i|>|3cosθ +i?3sinθ | C、|5+2i|>|-1-6i| 4.如果 z=x+yi (x,y∈R),则有( )。 A、|z|≤|x|+|y|≤ C、|z|≤|x|+|y|< |z| |z|

B、|z|< D、|z|<

|z|≤|x|+|y| |z|<|x|+|y|

5.设 z1,z2∈C,z1= A、|z1-z2|=0 6.已知 f(z)=1A、-3+4i

的一个必要不充分条件是( )。 B、 C、z1=z2 D、|z1|=|z2| 的值是( )。 D、4+4i

,且 z1=2+3i,z2=5-i,则 B、3-4i C、4-4i

7.若复数 z 满足|z+3-4i|=2,则|z|的最小值和最大值分别是( )。 A、1 和 9
15 15

B、3 和 7

C、5 和 11 A、-256i

D、4 和 10 B、256i C、256 D、-256

8.(1+i) -(1-i) 的值是( )。

9.若

,则(z -z) 的值等于( )。

2

-1

A、-2

B、-1

C、1

D、±1

10.若 x -1=0 有一个虚根 A、0 B、1 C、3

3

,那么ω +ω +1 (n∈N)的值是( )。 D、0 或 3

2n

n

答案与解析

答案:1. D

2. B

3. A

4. A

5. D

6. C

7. B

8. A

9. B

10. D

复数的三角形式及乘除运算
二、学习要求: 1.熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化,会求复数的模、辐角及辐角主值. 2.深刻理解复数三角形式的结构特征,熟练运用有关三角公式化复数为三角形式. 3.能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围(最值). 4.利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算,并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题. 5.注意多种解题方法的灵活运用,体会数形结合、分类讨论等数学思想方法. 四、学习建议: 1.复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁,相比之下,代数形式在这些方面显得 有点力不从心,因此,做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.
10

前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示,即 Z=a+bi(a,b∈R).二是几何表示,复数 Z 既可以用复 平面上的点 Z(a,b)表示, 也可以用复平面上的向量 来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数 Z 的模和

辐角来表示,设其模为 r,辐角为 θ,则 Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0). 既然这三种方式都可以表示同一个复数,它们之间一定有内在的联系并能够进行互化.

代数形式 r=

三角形式

Z=a+bi(a,b∈R)

Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0)

复数三角形式的结构特征是:模非负,角相同,余弦前,加号连.否则不是三角形式.三角形式中 θ 应是复数 Z 的一个辐角,不一定是辐角主值. 例 1.下列各式是否是三角形式,若不是,化为三角形式: (1) Z1=-2(cosθ+isinθ) (2) Z2=cosθ-isinθ (3) Z3=-sinθ+icosθ (4) Z4=-sinθ-icosθ (5) Z5=cos60° +isin30° 分析:由三角形式的结构特征,确定判断的依据和变形的方向.变形时,可按照如下步骤进行:首先确定复数 Z 对应点所在象限(此处可假定 θ 为锐角),其次判断是否要变换三角函数名称,最后确定辐角.此步骤可简称 为“定点→定名→定角”.这样,使变形的方向更具操作性,能有效提高解决此类问题的正确率. 解:(1)由“模非负”知,不是三角形式,需做变换:Z1=Z(-cosθ-isinθ) 复平面上 Z1(-2cosθ,-2sinθ)在第三象限(假定 θ 为锐角),余弦“-cosθ”已在前,不需再变换三角函数名称, 因此可用诱导公式“π+θ”将 θ 变换到第三象限.∴Z1=Z(-cosθ-isinθ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)] (2)由“加号连”知,不是三角形式 复平面上点 Z2(cosθ,-sinθ)在第四象限(假定 θ 为锐角),不需改变三角函数名称,可用诱导公式 “2π-θ”或“-θ”将 θ 变换到第四象限. ∴ Z2=cosθ-isinθ=cos(-θ)+isin(-θ)或 Z2=cosθ-isinθ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ) 考虑到复数辐角的不唯一性,复数的三角形式也不唯一. (3)由“余弦前”知,不是三角形式 复平面上点 Z3(-sinθ,cosθ)在第二象限(假定 θ 为锐角),需改变三角函数名称,可用诱导公式



+θ”将 θ 变换到第二象限.

∴Z3(-sinθ,cosθ)=cos(

+θ)+isin(

+θ) 同理(4)Z4=-sinθ-icosθ=cos(

π-θ)+isin(

π-θ)

(5)Z5=cos60° +isin30° =

+

i=

(1+i)=

·

(cos

+isin

)=

(cos

+isin

)

小结:对这类与三角形式很相似的式子,如何将之变换为三角形式,对于初学者来讲是个难点.有了“定点→ 定名→定角”这样一个可操作的步骤,应能够很好地解决此类问题. 例 2.求复数 Z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值. 分析:式子中多 3 个“1”,只有将“1”消去,才能更接近三角形式,因此可利用三角公式消“1”.

解:Z=1+cosθ+isinθ=1+(2cos2

-1)+2i· sin

cos

=2cos

(cos

+isin

)........(1)

11

∵ π<θ<2π ∴

<

<π,

∴cos

<0

∴(1)式右端=-2cos

(-cos

-isin

)=-2cos

[cos(π+

)]+isin(π+

)]

∴ r=-2cos

, ArgZ=π+

+2kπ(k∈Z) ∵

<





π<π+

<2π, ∴argZ=π+

.

小结:(1)式右端从形式上看似乎就是三角形式.不少同学认为 r=2cos

, argZ=

或 ArgZ=

错误之处在于他们没有去考虑 θ 角范围,因此一定要用“模非负,角相同,余弦前,加号连”来判断是否为 三角形式.看了这道例题,你一定能解决如 Z1=1-cosθ+isinθ(π<θ<2π) ,Z2=1+cosθ-isinθ(π<θ<2π)等类似问题.

例 3.将 Z=

(

π<θ<3π)化为三角形式,并求其辐角主值.

分析:三角形中只有正余弦,因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化,再向三角形式转化.

解:

=

=

=

=cos2θ+isin2θ



π<θ<3π, ∴

<2θ<6π, ∴

π<2θ-4π<2π,∴ argZ=2θ-4π

小结:掌握三角变形是解决这类问题的根本.但在此之前的解题方向一定要明确,即要分析式子结构.比较其 与三角形式的异同,从而决定变形的方向,采用正确的方法.要求学生做好每道例题后的反思,并能由此及彼, 举一反三,达到熟练解决一类问题的目的,如 1-itgθ, tgθ+i, i-ctgθ 等. 2.复数 Z 的模|Z|的几何意义是:复平面上点 Z 到原点距离,复数模|Z1-Z2|的几何意义是:复平面上两点 Z1, Z2 之间距离.辐角几何意义是:以 x 轴正半轴为角始边, 以向量 所在射线为终边的角记为 ArgZ.在[0, 2π)范围

内的辐角称辐角主值,记为 argZ. 例 4.若 Z∈c,|Z-2|≤1,求|Z|的最大,最小值和 argZ 范围. 解:法一,数形结合 由|Z-2|≤1,知Z的轨迹为复平面上以(2,0)为圆心,1 为半径的圆面(包括圆周), |Z|表示圆面上任一点到原点的距离. 显然 1≤|Z|≤3, ∴|Z|max=3, |Z|min=1, 另设圆的两条切线为 OA,OB,A,B 为切点,由|CA|=1,|OC|=2 知

∠AOC=∠BOC=

,∴argZ∈[0,

]∪[

π,2π)

法二:用代数形式求解|Z|的最大,最小值,设 Z=x+yi(x,y∈R) 则由|Z-2|≤1 得(x-2)2+y2≤1, ∴ |Z|=
2 2


2

=

,

∵ (x-2) +y ≤1, ∴(x-2) ≤1, ∴-1≤x-2≤1, ∴1≤x≤3, ∴ 1≤4x-3≤9, ∴1≤|Z|≤3. 小结:在一题多解的基础上,分析比较各种方法的异同,如何做好方法的选择.各种方法的本质和优势,通 过分析与比较都一目了然.
12

例 5.复数 Z 满足 arg(Z+3)=

π,求|z+6|+|z-3i|最小值.

分析:由两个复数模的和取最小值,联想到一个点到两个定点距离和的最小 值,将之转化为几何问题来解决应比较简便.

解法一:由 arg(Z+3)=

π,知 Z+3 的轨迹是一条射线 OA,∠xOA=

π,而

|Z+6|+|Z-3i|=|(z+3)-(-3)|+|(Z+3)-(3+3i)| 将 B(-3,0)与 C(3,3)连结,BC 连线与 OA 交点为 D,取 Z+3 为 D 点,表示复数时, |Z+6|+|Z-3i|=|BD|+|DC|=|BC|=3 , ∴ 所求最小值=3 .

法二:由 arg(Z+3)=

π, 知 Z+3 的轨迹是射线 OA,则 Z 轨迹应是平行于 OA,

且过点(-3,0)的射线 BM, ∴ |Z+6|+|Z-3i|就表示射线 BM 上点到点 P(-6,0)和点 Q(0,3)距离之和,连结 PQ 与射线 BM 交于点 N,取 E 为 N 点表示复数时,|Z+6|+|Z-3i|=|PN|+|NQ|=|PQ|=3 ,

小结:两种方法的本质相同,都是将数学式子利用其几何意义转化成几何问题进行解决.如果纯粹用代数方 法求解,难度会很大.对有关最值问题,尤其是模(距离)和辐角主值最值问题,用数形结合方法显然较为简便. 例 6.已知|Z-2i|≤1,求 arg(Z-4i)最大值. 解:∵|Z-2i|≤1,∴点 Z 轨迹是以(0,2)为圆心,1 为半径的圆面,在其上任取一点 Z,连 Z 与点(0,4)

得一以(0,4)为起点,Z 为终点的向量,将起点平移到原点,θ 为其对应的辐角主值, arg(Z-4i)最大值为 3.两个复数相乘,积的模等于模的积,辐角为两辐角之和,其几何意义是模的伸缩及 对应向量的旋转. 两个复数相除,商的模等于模的商(除数不为零),辐角为两辐角之差,其几何意义 同乘法. 由复数三角形式乘除运算的几何意义,可解决向量或图形的旋转问题,如等腰、等边 三角形、直角三角形,平行四边形顶点间的几何何关系利用复数的乘除运算来表示. 复数三角形式较之代数形式,在乘除运算中非常方便,可顺利解决多项相乘(乘方), 相除及乘除混合运算. 例 7.若 与 分别表示复数 Z1=1+2 i, Z2=7+ i, 求∠Z2OZ1 并判断 ΔOZ1Z2 的形状.

π.

解:欲求∠Z2OZ1,可计算

=

=

=

=

∴∠Z2OZ1=



=



13

由余弦定理,设|OZ1|=k, |OZ2|=2k(k>0)|Z1Z2|2=k2+(2k)2-2k· 2k· cos 而 k2+( k)2=(2k)2,∴ΔOZ1Z2 为有一锐角为 60° 的直角三角形.

=3k2 ∴ |Z1Z2|=

k,

小结:此题中利用除法几何意义来解决三角形中角的大小问题,十分方便. 例 8.已知直线 l 过坐标原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上,若点 A(-1,0)和 B(0,8)关于 l 的对称点都在 C 上,求直线 l 与抛物线 C 的方程. 解:如图,建立复平面 x0y,设向量 、 对应复数分别为

x1+y1i, x2+y2i. 由对称性,|OA'|=|OA|=1, |OB'|=|OB|=8, ∴ x2+y2i=(x1+y1i)8i=-8y1+8x1i



设抛物线方程为 y2=2px(p>0)则有 y12=2px1, y22=2px2,

∴ x1=

, y12=p2, 又|OA'|=1,∴(

)2+p2=1, ∴p=

或-

(舍)

∴抛物线方程为 y2=

x,直线方程为:y=

x.

小结:对于解析几何的许多问题,若能借助于复数的向量来表示,常常有意想不到的功效.尤其涉及到特殊 位置,特殊关系的图形时,尤显其效. 五、易错点 1.并不是每一个复数都有唯一确定的辐角主值.如复数零的模为 0,辐角主值不确定. 2.注意 ArgZ 与 argZ 的区别.ArgZ 表示复数 Z 的辐角,而 argZ 表示复数 Z 的辐角主值. ArgZ=argZ+2kπ(k∈Z),argZ∈[0,2π), 辐角主值是[0,2π)内的辐角,但辐角不一定是辐角主值. 3.复数三角形式的四个要求:模非负,角相同,余弦前,加号连,缺一不可.任何一个不满足,就不是三角 形式. 4.注意复数三角形式的乘除运算中,向量旋转的方向. 六、练习

1.写出下列复数的三角形式 (1) ai(a∈R) 2.设 Z=(-3 +3

(2) tgθ+i(

<θ<π)

(3) -

(sinθ-icosθ)

i)n, n∈N,当 Z∈R 时,n 为何值?

3.在复平面上 A,B 表示复数为 α,β(α≠0),且 β=(1+i)α,判断 ΔAOB 形状,并证明 SΔAOB= 参考答案:

|d|2.

1.(1)ai=

(2)tgθ+i(

<θ<π)=-

[cos(

π-θ)+isin(

π-θ)]

(3)-

(sinθ-icosθ)=

[cos(

+θ)+isin(

+θ)]
14

2.n 为 4 的正整数倍 3.法一:∵α≠0,β=(1+i)α



=1+i=

(cos

+isin

), ∴∠AOB=

,



分别表示复数 α,β-α,

由 β-α=αi,得 法二:∵| 又| |=|α|, |

=i=cos

+isin

,∴∠OAB=90° , ∴ΔAOB 为等腰直角三角形. ∴| |=| | |2

|=|β-α|=|αi|=|α|, |α|,| |2+|

|=|β|=|(1+i)α|=

|2=|α|2+|α|2=2|α|2=|

∴ΔAOB 为等腰直角三角形,∴SΔAOB=

|

|· |

|=

|α|2.

在线测试 选择题

1.若复数 z=(a+i) 的辐角是 A、1 B、-1
2

2

,则实数 a 的值是( ) C、D、-

2.已知关于 x 的实系数方程 x +x+p=0 的两虚根 a, b 满足|a-b|=3, 则 p 的值是( )

A、-2

B、-

C、

D、1

3.设π <θ < A、2π -3θ

,则复数 B、3θ -2π

的辐角主值为( ) C、3θ D、3θ -π

4.复数 cos A、3

+isin B、12

经过 n 次乘方后,所得的幂等于它的共轭复数,则 n 的值等于( ) C、6k-1(k∈Z) D、6k+1(k∈Z)

5.z 为复数,(

)

|z-3|

=(

)

|z+3|

(

) 的图形是( )

-1

A 直线

B 半实轴长为 1 的双曲线

C 焦点在 x 轴, 半实轴长为 答案与解析

的双曲线右支

D 不能确定

15

答案:1、B 解析:

2、C

3、B

4、C

5、C

1.∵z=(a+i) =(a -1)+2ai, argz=

2

2

,∴

,∴a=-1,本题选 B.

2.求根 a,b=

(Δ =1-4p<0) ∵|a-b|=|

|=3,

∴ 4p-1=9, p=

,故本题应选 C.

3.

=

=cos3θ +isin3θ .

∵ π <θ <

,∴3π <3θ <

,∴π <3θ -2π <

,故本题应选 B.

4.由题意,得(cos

+isin

) =cos

n

+isin

=cos

-isin

由复数相等的定义 ,得

解得

=2kπ -

,(k∈Z),∴n=6k-1.

5. 依题意, 有 |z-3|=|z+3|-1, ∴ |z+3|-|z-3|=1.由双曲线定义, 此方程表示焦点(±3, 0), 2a=1, a= 的双曲线右支,故本题应选 C.

复数三角形式的运算· 疑难问题解析 1.复数的模与辐角:

(1)复数模的性质:|z1· z2|=|z1|· |z2| (2)辐角的性质:积的辐角等于各因数辐角的和. 商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 一个复数 n 次幂(n∈N)的辐角等于这个复数辐角的 n 倍. 注意:(1)辐角与辐角主值的区别,特别是解题过程中的不同点.如下面两个问题: 若 arg(2-i)=α,arg(3-i)=β,求 α+β 的值.(α+β∈(3π,4π))

若 arg(2-i)=α,arg(3-i)=β,求 arg[(2-i)(3-i)]的值. (2)两个复数乘积的辐角主值不一定等于两辐角主值的和,商的辐角主值不一定等于辐角主值的差. 2.关于数的开方

16

(1)复数的开方法则:r(cosθ+isinθ)的 n 次方根是

几何意义:



对应于复平面上的点

,则有:

所以,复数 z 的 n 次方根,在复平面内表示以原点为中心的正 n 边形的 n 个顶点. (2)复数平方根的求法. 求-3-4i 的平方根. 解法一 利用复数代数形式.设-3-4i 的平方根为 x+yi(x,y∈R),则有 (x+yi)2=-3-4i, 即(x2-y2)+2xyi=-3-4i, 由复数相等条件,得

∴-3-4i 的平方根是± (1-2i). 法二 利用复数的三角形式.

3.复数集中的方程. 关于实系数的一元二次方程的解法:设 ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c∈R,x1,x2 为它的两个根) (1)当△=b2-4ac≥0 时,方程有两个实数根 当△=b2-4ac<0 时,方程有一对共轭虚根

(4)二次三项式的因式分解:ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 形如 anxn+a0=0(a0,an∈C 且 an≠0)的方程叫做二项方程,任何一个二项方程都可以化成 xn=b(b∈C)的形式, 因此都可以通过复数开方来求根.

可以充分利用复数 z 的整体性质,复数 z 的三种表示方法及其转换来解方程. 已知方程 x2-4x+p=0 两虚数根为 α、β,且|α-β|=2 求实数 p 的值. 解法 1 ∵实系数一元二次方程虚根共轭设 α=a+bi, β=a-bi,(a,b∈R) ∴α+β=2a=4,∴a=2 又∵|α-β|=2, ∴|2bi|=2 得 b=± 1 即两根为 2+i,2-i 由韦达定理得:p=(2+i)(2-i)=5 法 2 由韦达定理可得:α+β=4,αβ=p 于是|α-β|2=|(α-β)2|=|(α+β)2-4αβ|=|42-4p|=4,
17

即|4-p|=1

又∵△=42-4p<0 p>4, ∴p-4=1, 得 p=5 说明 注意实系数一元二次方程有两个实根与有两个虚根的区别. 一等式成立.若有两个虚根则 上述等式不成立.因为|α-β|2≠(α-β)2.因此在解题时要重视复数与实数知识点之间的区别与联系,要避免出 现混淆与干扰. 已知方程 2x2+3ax+a2-a=0 有模为 1 的根,求实数 a 的值. 分析 已知方程有模为 1 的根,此根可能是实数,也可能是虚数,故求实数 a 要注意分域讨论. 解 (1)若所给方程有实根则△=(3a)2-4× 2(a2-a)=a2+8a>0, 即 a<-8 或 a>0 由条件得根必为 1 或-1, ①将 x=1 代入原方程可得 a2+2a+2=0a 无实数解.

(2)若所给方程有虚根则△=a2+8<0, 即-8<a<0

即 a2-a-2=0, ∴a=-1 或 a=2(舍) 已知方程 x2-(2i-1)x+3m-i=0 有实数根,求实数 m. 分析 求实数 m 的范围,若用判别式来判断是错误的,因为此方程的系数是复数. 利用求根公式或用韦达定理或选用复数相等,解方程组来求实数 m 均可以.现仅介绍一种方法. 解 ∵x,m∈R,方程变形可得,(x2+x+3m)-(2x+1)i=0

复数例题讲解与分析 例 1.已知 x, y 互为共轭复数,且(x+y) -3xyi=4-6i,求 x, y. [思路 1]:确定一个复数即分别确定它的实部、虚部或模与一个辐角,设 z=a+bi 或三角形式,化虚为实。 [解法 1]:设 x=a+bi(a,b∈R), 则 y=a-bi, 代入原等式得:(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i.
2



















[思路 2]:“x, y 互为共轭”含义?→x+y∈R, xy∈R,则(x+y)2-3xyi=4-6i

.

[解法 2]:∵x= ,∴x+y∈R, xy∈R, ∴由两复数相等可得: ∴由韦达定理可知:x,y 同是方程:z +2z+2=0 或 z -2z+2=0 的两根,
18
2 2



分别解两个一元二次方程则得 x,y……(略)。

例 2.已知 z∈C,|z|=1 且 z2≠-1,则复数





A、必为纯虚数 B、是虚数但不一定是纯虚数 C、必为实数 D、可能是实数也可能是虚数 [思路分析]:选择题,从结论的一般性考虑,若 z=± 1,显然 A、B 选项不成立,分析 C、D 选项,显然穷 举验证不能得出一般结论只能推演 解:[法 1] 设 z=a+bi, a,b∈R, a2+b2=1,a≠0.



=

=

=

∈R,故,应选 C。

[法 2] 设 z=cosθ+isinθ (θ∈R,且 θ≠kπ+

),



=

=

=

∈R。

[法 3] ∵z· =|z|2, ∴当|z|=1 时有 z· =1,



=

=

=

∈R.

[法 4] ∵当|z|=1 时有 z· =1, ∴

=

=

∈R.

[法 5] ∵复数 z 为实数的充要条件是 z= ,

而(

)=

, 又∵|z|=1 时, =





=

=

, ∴

∈R。

[评注]:复习中,概念一定要结合意义落实到位,一方面深化理解(比如复数定义:“形如 a+bi (a,b∈R)的 数叫复数”深入理解就有凡是复数都能写成这样,求一个复数,使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为 实;……。) 同时对一些概念的等价表达式要熟知。(比如:z=a+bi∈R z=a+bi 是纯虚数 a=0 且 b≠0 (a,b∈R) z+ =0 (z≠0) b=0(a,b∈R) z= z2≥0;

z2<0;…….)

在面对具体问题时要有简捷意识(比如该例方法 1,有同学可能会在算到

时不注意及时

化简分母又直接按两复数相除的运算法则进行),多方理解挖掘题目立意。 例 3.求使关于 x 的方程 x2+(m+2i)x+2+mi=0 至少有一个实根的实数 m. [思路分析]:根的判别式只适用实系数的一元二次方程,虚系数有实根用两复数相等,化虚为实。 解:设 x0 为方程的一个实根,则有

x02+mx0+2+(2x0+m)i=0

,解得:m=± 2
19



例 4.设 z∈C, arg(z+2)=

, arg(z-2)=

, 求 z。

[思路分析]:常规思路,设 z=a+bi, 由已知列关于 a,b 的方程求解;数形结合思想,由题设可知 z+2 对应的

点 A 在射线 OA 上,∠AOX=

,z-2 对应的点 B 应在射线 OB 上,

∠BOX=

,z 对应的点 Z 应在 AB 中点上,|AB|=4,AB//Ox 轴,∠AOB= i. x+xi, z2= y-1+( -y)i,



故而易得:z=-1+

例 5.设 x,y∈R, z1=2-

已知|z1|=|z2|,arg k∈Z}中元素的个数。

=

, (1)求(

)100=?

(2)设 z=

, 求集合 A={x|x=z2k+z-2k,

[思路分析]:理解已知,|z1|=|z2|,arg

=

含义?→

=i, 即 z1=z2i→两复数相等→x, y.

(1)解:∵|z1|=|z2|, ∴|

|=1,

又 arg

=

,



=|

|(cos

+isin

)=i, 即 z1=z2i,

∴ 2-

x+xi=[

y-1+(

-y)i]i



, x=y=

+

, ∴ (

)100=(

+

i)100=(-

+

i)50=

=-

-

i.

[简评] 10 本题的解法体现了等价转化和整体的思想方法,如果把两个已知条件割裂开来去考虑,则需要 解关于 x, y 的二元二次方程组,其运算肯定很麻烦;

20 在计算题中对 1 的立方根之一:w=1+ +

+

i 的特性要熟知即 w3=

3

=1,

=

=w2,1+w+w2=0,

=0, 关于此点设计问题是命题经常参考的着眼点。

(2) [思路分析]: 由(1)知 z= 可怎么理解呢? (z2)k+(z2)-k, z2k+

+
2k

i, z 的特性: z3=-1= , ……

3

, |z|=1,

=

; z=cos

+isin

, z2=w, ……, z2k+z-2k

20

解[法 1]:令 w=-

+

i,则 z2k+z-2k=wk+w-k,

∵w3=1,而 k∈z, ∴k=

当 k=3m 时,z2k+z-2k=(w3)m+(w3)-m=2, =-1,

当 k=3m+1 时,z2k+z-2k=w3m· w+w-3m· w-1=w+w-1=w+

当 k=3m+2 时,z2k+z-2k=w3m· w2+w-3m· w-2=w2+w-2=w3· w-1+w-3· w=w-1+w=-1, 综上可知,集合 A 中有 2 个元素。

[法 2]:∵|z|=1, ∴

=

,

∴z2k+z-2k=z2k+

2k

=cos

+isin

+cos

-isin

=2cos

=

由此可判定集合 A 中有 2 个元素。

例 6.设复数 z=cosθ+isinθ(0<θ<π), w= [思路分析]:欲用已知,需化简 w,

, 并且|w|=

, argw<

,求 θ。(93 年全国理)

解:w= =tg2θ(sin4θ+icos4θ)

=

=

∴ |w|=|tg2θ|

由|w|=

得 tg2θ=±

.

∵ 0<θ<π, 故有(i)当 tg2θ=

,得 θ=

或 θ=

. 此时 w=

(cos

+isin

),∴argw=

<

,合题意。

(ii)当 tg2θ=-

时,得 θ=

π 或 θ=

π,此时,w=

(cos

π+isin

π).

∴argw=

π>

, 不合题意,舍去, 故综合(i), (ii)知,θ=

或 θ=

.

[简评] 10 复数与三角的综合题目是命题的一个方向,其中应用三角公式“1±cosa 的升幂式”及“诱导公式” 化复数代数形式为标准三角形式应用频率较高。 20 此题在 w 的化简中亦可利用 |z|=1, z· =|z|来化简:

w= 变换。

=

=

=……以下略,这样可省去较为繁锁的三角
21

例 7.已知|z|=1,且 z5+z=1, 求 z。 [思路分析 1]:已知含未知数的等式求未知数,方程问题,设元化虚为实, 解:[法 1]设 z=cosθ+isinθ,则由 z5+z=1 可得:

由(1)2+(2)2 得:cos4θ=-

……(以下略)。
5

[思路分析 2]:复数的概念,运算都有几何意义,由 z +z=1,若设 z5, z,1 对应点为 A,B,C 则四边形 OACB 为平行四边形。 ★[法 2]:设 z5,z,1 在复平面上对应点分别为 A,B,C,则由 z5+z=1,可知,四边形 OACB 为平行四边形, 又∵ |z5|=|z|5=1=|z|



OACB 为边长为 1 的菱形且∠AOB=120° ,∴ 易求得:z=

+

i 或 z=

-

i。

可以验证当 z=

±

i 时,z5=

i 符合题意。

[简评]:10 数形结合思想方法应是处理复数有关问题的习惯思路,因复数中的概念,运算都有一定的几 何含义,这源于 z=a+bi 本身就表示一个点,当 a,b 确定,z 表示定点,当 a,b 不定则 z 就能表示一个动点轨迹,

如 z=x+

i 就可表示双曲线。故在解题时变换角度从几何意义去分析,往往会事半功倍。

20 此题还可这样联系,由 z5+z=1 得 z-1=-z5,两边取模|z-1|=|-z|5=|z|5=1,从而知 z 应是圆|z|=1 与 |z-1|=1 的交点。

复数与方程
一、二项方程:形如 基本解法:化为 例 1.在复数集中解下列方程 (a0, an∈C,an≠0, n∈N)的方程 的形成,利用复数开方求出它的根。

解 1)法 1、求方程

的解,即求复数

的 4 次方根,

∵ ∴原方程的解为下面 4 个复数:

∴ 其 4 次方根为

(k=0,1,2,3)

法 2、求方程

的解,即求复数

的 4 次方根。
22

∵ 由 ∴ 由复数的

知 1-i 为

的一个 4 次方根, 次方根的几何意义有 的其余三个 4 次方根分别为:

∴ 方程 解 2) 令 , ∴

的解分别为 1+i, -1+i, -1-i, 1-i。 ,



解之有

,

∴ 原方程的根为 2-i 或-2+i。 次方根的几种基本

注:解二项方程实质就是求一复数的

次方根, 所以要注意一复数 Z 的

求法:<一> 求其 n 个 n 次方根 布在以原点为圆心,以

,则可用公式

(k=0,1,2,……,n-1)

。如例(1)解法 1,此 n 个复数的几何意义是复平面上 n 个点,这 n 个点均匀分 为半径的圆上,组成一个正 n 边形。

<二> 若能由已知中找出个 Z 的 n 次方根 Z0,则可由 n 次方根的几何意义求其余 n-1 个 n 个次根如下:

,

。如例(1)解

法 2。 <三>若 Z 的辐角非特殊值,不好转化为三角形式或也不好看出 Z 的 n 次方根时,则可以考虑用 n 次方根的 定义利用代数形式及复数相等直接求。如例(2)。 例 2.在复数集中解方程 。

解:∵

,∴

=



∴ 原方程的根为 注:∵ (x-1)(x2+x+1)=x3-1

。 ∴ x2+x+1=0 的根也是 x3=1 的根,即 1 的两个立方虚根。

记 ① ④

,则 ; ②

,其有如下特征: ; ; ⑤
23





要注意此特征,并能灵活运用其解决有关问题。

例 3.在复数集中解方程① 2x2-6ix-6=0;② x2-(5-3i)x+(4-7i)=0。 解① :∵ 其平方根为 ,

∴ 原方程根为 ∵

, ;其平方根为(1-i)或-(1-i),

∴原方程的根为

,即 3-2i 或 2-i。

注:在例 3 ①中 Δ>0,但有两虚根,可见判别式定理对于复系数的一元二次方程来谈已不成立。要注意不要 轻易由 Δ 的正负情况给根下结论。 三、含 的方程

基本解法:1.令 Z=x+yi(x,y∈R),由复数相等转化为实数方程来解决。 2.若由①困难,则看是否能求出|Z|,然后代回去再解。 例 4.令 ,解方程

解:令 Z=x+yi(x,y∈R),则原方程化为: 即 ,

∴ 由复数相等的条件有 例 5.解方程 。

解有 x=0, y=3(x=4, y=3 是增根,舍去)∴ 原方程的解是 3i。

分析:三次方程解起来比较困难,所以考虑 解:∵ ∴ , ∴ 两边取模有 , ∴ |Z|=0 或|Z|=1,

。 即 ,

当|Z|=0 时,Z1=0,当|Z|=1 时,含 Z=cosθ+isinθ 代入原方程有 cos3θ-isin3θ=cosθ+isinθ 即 cos(-3θ)+isin(-3θ)=cosθ+isinθ,由复数相等条件有:-3θ=θ+2kπ(k∈Z)



,

∴ Z2=1, Z3=-1, Z4=i, Z5=-i,

∴原方程有 5 个根:0,± 1,± i。

注:令 Z=x+yi(x,y∈R)是解决含

的方程的基本出发点。有时由于题目的特殊性,应用此法去解方

程会有困难,如出现高次等等,这时要注意题目特点,从题目结构出发,正确运用共轭及模的性质,看能否先 求出|Z|,然后再带回解决问题,如解方程 Zn= 参考练习: 一、在复数集中解下列方程:
24

等。

二、关于 x 的方程 x2-(2i-1)x+3m-i=0(m∈R)有实根,求这个实根及实数 m 的取值范围。 三、关于 x 的方程 x2+x+1=0 的两个根为 α,β,求 α100+β100 的值。

四、已知虚数 α,β 是实系数一元二次方程 本周参考答案: 一、1.可见 为其一个根,所以其余三个根为 。

的两个根且

,求



,

,

2. 法一:令 x=a+bi(a,b∈R),则由已知有

,解之有


2 2 2

∴根为 0, i,-i。

法 2:∵x +|x|=0,∴x =-|x|, ∴|x |=|-|x|| 即 |x2|=|x|,解之有|x|=0 或|x|=1, 当|x|=0 时,有 x=0, 当|x|=1 时,代入原方程有 x2+1=0,∴x2=-1, ∴ x=i 或 x=-i。 3.∵ , 其平方根 ,

∴ 由求根公式 x=

有此方程的两个根分别为-2, -3i。

4.根为-1± 2i。 二、这是复系数方程,已不能用判别式确定有实根的条件,若用求根公式也很繁,所以用复数为零的充要 条件来做,令 x0 为方程的实根,则

∵x0, m∈R, ∴

解之有 x0=-

,m=



三、由求根公式有 x2+x+1=0 的两根 α=

,β=

,且可知:α3=1,β3=1,

由其有 α3n=1,β3n=1(n∈N), ∴α100+β100=α99+1+β99+1=α+β=-1。

四、∵ ∴

∴ ,

,又 ∵

, , ∴

,



, 即 ,又 ,

, 即 α3=β3,



,解之有



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25

选择题

1.复数

等于( )

A、1+

i

B、-1+

C、1-

i

D、-1-

i

2.复数-i 的一个立方根是 i,它的另外两个立方根是( )

A、

i

B、-

i

C、± ) D、3

i

D、±

i

3.已知复数 z 的模为 2,则|z-i|的最大值为( A、1 B、2 C、

4.如果复数 z 满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是( ) A、1 B、 C、2 D、

5.设复数 z=A、3 答案:1、B 解析: 1.选 B。 B、4 2、D

i(i 为虚数单位),则满足等式 z =z,且大于 1 的正整数 n 中最小的是( ) C、6 3、D 4、A 5、B D、7 答案与解析

n

2.选 D:由复数开方的几何意义知,-i 的立方根的对应点为均匀分布在以原点为圆心,以 1 为半径的圆

上的 3 个点。三个根辐角差为 120°,一个根是 i,另两根是: 3.选 D。本小题考查复数模的概念及复平面内两点距离公式。 解:[解法一] ∴ 设 。又 。故选 D。 , ∴ 。 , 则 。 。即 a +b =4, a =4-b ≥0,
2 2 2 2

因此,当 b=-2 时, [解法二] ∵ [解法三]

, 复数 z 对应点 Z 的集合构成的图形是以原点为圆心,2 为半径的圆。|z-i|表示圆上

点与点(0,1)间的距离。从图上看,显然圆上点(0,-2)到点(0,1)的距离为最大,最大距离为 3。

26

4.选 A:设复数 z 对应点 Z,因为 为端点的线段。

,所以点 Z 的集合是 y 轴上以 Z1(0,-1),Z2(0,1)

表示线段 Z1Z2 上的点到点(-1,1)的距离。此距离的最小值为点(-1,-1)到点 Z1(0,

-1)的距离,其距离为 1,故选 A。

5.选 B:[解法 1]

由 z =z,得 z =1,即(cos

n

n-1

+isin

) =1,

n-1

cos

+isin

=1,

=2kπ , k∈Z, 所以 n=3k+1。

n>1,则 3k+1>1,k>0, k≥1, n≥3?1+1=4,n 的最小值是 4。

[解法 2]

z=-

i 是 1 的立方虚根, 所以 z =1。 由 z =z, 得 z =1。 n-1 应是 3 的倍数, n-1=3 时 n=4,

3

n

n-1

4 为 n 的最小值。

复数知识点概要 复数是高中代数的重要内容,在高考试题中约占 8%-10%,一般的出一道基础题和一道中档题,经常与三 角、解析几何、方程、不等式等知识综合.本章主要内容是复数的概念,复数的代数、几何、三角表示方法以 及复数的运算.方程、方程组,数形结合,分域讨论,等价转化的数学思想与方法在本章中有突出的体现.而 复数是代数, 三角, 解析几何知识, 相互转化的枢纽, 这对拓宽学生思路, 提高学生解综合习题能力是有益的. 数、 式的运算和解方程,方程组,不等式是学好本章必须具有的基本技能.简化运算的意识也应进一步加强. 1.知识网络图

3.难点 (1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好, 对向量的运算的几何意义的灵活掌 握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义,对其灵活地加以证明.
27

(2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道, 但对其灵活地运用有一定的困难, 特别是开方 运算,应对此认真地加以训练. (3)复数的辐角主值的求法. (4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示, 同时复数的模和辐角都具有几何意义, 对他 们的理解和应用有一定难度,应认真加以体会. 4.考查方向 (1)理解复数及有关的概念,掌握复数的代数、几何、三角表示法及其相互转换. (2)掌握复数运算的法则,能正确的进行复数运算,并理解复数运算的几何意义. (3)掌握好复数集中一元二次方程和二项方程的解法. 高考题目解析 1.有关复数的代数形式运算的试题的特点是强调基础,试题难度与教材的习题相当。高考重视共轭复数 与复数模的考查。 2.复数的三角形式及其运算是高考的重点,尤其文科,近些年大部分解答题都是求复数的三角形式,求 复数的模与辐角主值。要掌握利用三角公式化复数为三角形式。 3.复数运算的几何意义也是高考中重复性很强的试题。有关复平面内两点距离公式,复数乘、除法运算几 何意义的试题出现频率很高。另外,对圆 、椭圆方程的复数形式都有考查。 4.有关复数的方程:包括实系数一元二次方程与二项方程。 5.复数解答题总是在知识网络交汇点处命题,常在三角和复数的交汇点处命题,1999 年试题在复数、三 角、不等式、反三角函数的交汇点处命题。 1.设 z∈C,解方程 。 (92· 全国· 文)

本题主要考查复数相等的条件及解方程的知识。 解:设 。依题意有: ,

由复数相等的定义,得:

将(2)代入(1)式,得

解此方程并经检验得:



∴ 2.已知 z∈C,解方程 解:设 ,将 , 。 (92· 全国· 理) 代入原方程,得: 整理得: ,

根据复数相等的定义,得: 将 x=-1 代入(2)式,解得 y=0, y=3。 ∴

由(1)得 x=-1, 。

28

3. 已知 z=1+i,(1)设

求 ω 的三角形式;

(2)如果

=1-i,求实数 a,b 的值。

(94· 全国· 理)

本题考查共轭复数,复数的三角形式等基础知识及运算能力。 解:(1)由 z=1+i,有

(2)由 z=1+i,有 由题设条件知: 根据复数相等的定义,

得 解得 说明:本题为 94 年解答题的第一题,难度系数为 0.85,也就是说绝大多数考生都能较好地完成本题。每 年解答题第一题都是这样难度等级为“易”的试题,回答此类试题时,一定力争不失分。 4.设复数 ,求复数 z2+z 的模和辐角。 (95· 全国· 文)

本题主要考查复数的有关概念,三角公式及运算能力。 解:



,∴

,∴



所以复数 z2+z 的模为

;辐角为

29

5.设 z 是虚数, ω=z+

是实数,且-1<ω<2。(1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围;

(2)设 u=

。求证:u 为纯虚数;(3)求 ω-u2 的最小值。

(96· 上海)

本题考查复数的概念、复数的模、复数的运算、不等式的知识,以及运算能力和推理能力。 解:(1)设

,

∵ ω 是实数,b≠0,∴ a2+b2=1,即|z|=1,∵ ω=2a, -1<ω<2,∴z 的实部的取值范围是(

)。

(2)

∵a∈(

),b≠0, ∴u 为纯虚数。

(3)ω-u2=2a+

=2a-

=

∵ a∈(

),

∴a+1>0。 ∴ ω-u2≥2×2-3=1。当 a+1=

,即 a=0 时上式取等号,ω-u2 的最小值是 1。

30

说明:本题是道综合题,(1)和(2)属于基本题。在(3)中不难得到 ω-u2=2a-

,以后的变化需要一定的技

巧,首先使

的分子不含字母,

=

。在得到 ω-u2=

后,为使用平均

值不等式,需将 2a-1 变形为 2(a+1)-3。这样 ω-u2=

,不难用平均值不等式求得最小值。还需

要注意,一定要讨论等号是否能成立。 6.在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为 Z1,Z2,Z3,O(其中 O 是原点),已知 Z2 对应复数 z2=1+ i,求 Z1 和 Z3 对应的复数。 (96· 全国· 理)

解:设 Z1,Z3 对应的复数分别为 z1, z3。依题意得:

说明:本题满分 8 分,难度系数为 0.62。位置在解答题第一题。本题的关键是必须正确理解复平面上的点 与复数一一对应,以及复数运算的几何意义。

7.已知复数

,

。复数

,z2ω3 在复数平面上所对应的点分别为 P,Q。证

明 ΔOPQ 是等腰直角三角形(其中 O 为原点)。

(97· 全国· 理)

解:[解法一]

因为 OP 与 OQ 的夹角为 因为 。



由此知 ΔOPQ 有两边相等且其夹角为直角,故 ΔOPQ 为等腰直角三角形。

[解法 2] 因为

所以 z3=-i。

因为

, 所以



31

于是

。由此得 OP⊥OQ,|OP|=|OQ|。

由此知 ΔOPQ 有两边相等且其夹角为直角,故 ΔOPQ 为等腰直角三角形。 说明:本题难度系数为 0.71,属“较易”。解法 1 是根据两复数的辐角差为 90° ,由复数辐角的定义得 OP⊥OQ。解法 2 是根据复数除法的几何意义证出 OP⊥OQ。本题还可用复平面上两点距离公式和勾股定理逆 定理来证明,不过计算量较大。

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