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黄金分割法(2课时)


数学选修4-7优选法与试验设计初步

课题:黄金分割法—0.618法

授课:张贤华 学校:衡阳市第八中学
时间:2011年上期

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.优选法的含意是什么? 利用数学原理,合理安排试验,以最少 的实验次数迅速找到最佳点的科学试 验方法. 2.区间[a,b]上的单峰函数的基本特点 是什么? 函数在区间 [a,b]上只有唯一的最大 (小)值点C,且在点C的两侧单调,并具 有相反的单调性.

问题提出

3.好点、差点和单峰函数存优范围的含 义分别是什么?
y

y
O a C

f(x) b x O a C

f(x)

b

x

差点分 好点:两个试点中效果较好的点; 界好点 差点:两个试点中效果较差的点; 定域 存优范围:以差点为分界点,把因素范围 分成两部分,好点所在部分对应的范围.

问题提出

4.优选法的基本原则是以最少的实验

次数迅速找到最佳点,在实际问题中,
应采取什么办法贯彻这个原则?对具 有单峰性的试验,如何安排试点才能迅

速找到最佳点?这才是优选法的核心
内容,也是我们必须解决的问题.

探究一:黄金分割常数

思考1:对于单峰函数,最佳点与好点 必在差点的同侧,从而可以通过不断缩 小存优范围来寻找最佳点,具体如何操 作?
先在因素范围[a,b]内任选两点各做一 次试验,根据试验结果确定好点与差点, 在差点处把[a,b]分成两段,截掉不含 好点的一段,留下存优范围[a1,b1]再在 [a1,b1]内重复上述工作,?.

探究一:黄金分割常数

思考2:假设因素区间为[0,1],取两个试 点0.1和0.2,则对峰值在(0,0.1)内的单 峰函数,两次试验存优范围缩小到了什么 区间?对峰值在(0.2,1)内的单峰函数, 两次试验存优范围缩小到了什么区间?
y
f(x) O 0.1 0.2 y f(x)

1 x

O 0.1 0.2

1

x

(0,0.2)

(0.1,1)

探究一:黄金分割常数

思考3:上述结果表明,如果试点选取是 随意的,则对寻找单峰函数最佳点的效 率会产生一定的影响.由于在试验之前 无法预知哪个试点是好点,为了克服盲 目性和侥幸心理,在每次选取两个试点 时,你认为这两个试点应具有什么相对 位置关系为好? a 关于区间中点对称 b

探究一:黄金分割常数

思考4:在因素区间[a,b]内选取两个试 点x1 和x2,且x1 >x2,由点x1 和x2 关于区 间[a,b]的中心对称,可得什么关系?舍 去的区间长度为多少? a x2 x1 b

x2-a=b-x1

探究一:黄金分割常数

思考5:不妨设 x2 是好点,x1 是差点,则

舍去的区间是什么?存优范围是什么?

a

x2

x1

b

存优范围是[a,x1]

舍去(x1,b]

探究一:黄金分割常数

思考6:在一个区间内关于中点对称的两点 有无数对,实践表明,两个试点离中点太近 或太远,都不利于很快接近最佳点.我们设 想:每次舍去的区间长度与舍去前的区间 长度之比为常数.若在存优范围[a,x1]内取 第三个试点x3,则点x2 与x3 的相对位置关系 如何?舍去的区间长度为多少?

a

x3

x2

x1

关于区间[a,x1]的中心对称,且点 x3 在点 x2 左侧,舍去的区间长度为x1-x2.

探究一:黄金分割常数

思考7:根据按比例舍去原则,可得什 么等式?

a
a

x2 x3 x2

x1
x1

b

b ? x1 x1 ? x2 ? b?a x1 ? a

探究一:黄金分割常数

思考8:由上面的等式可得, x1 ? a x2 ? a b ? x1 x1 ? x2 ? 1? ? 1? ,即 b ? a x1 ? a b?a x1 ? a 如何理解这个等式两边的实际意义? a

x2
x3 x 2

x1 x1

b

a

两次舍弃后的存优范围占舍弃前全 区间的比例数.

探究一:黄金分割常数

a
a

x2 x3 x2

x1 x1

b x1 ? a ? x2 ? a b ? a x1 ? a

x1 ? a ? t ,有什么办法求出 思考9:设 b?a t的值吗?
1? t t? t
5 ?1 t? 2

探究二:黄金分割法

思考1: 示,ω ≈0.618.试验方法中,利用黄金分 割常数确定试点的方法叫做黄金分割法, 也叫做0.618法.一般地,利用这个方法 寻找单峰函数在因素区间[a,b]内的最 佳点,具体如何操作? 在存优范围内取黄金分割点为试点.

5 ?1 称为黄金分割常数,用ω 表 2

探究二:黄金分割法

思考2:炼钢时通过加入含有特定化学 元素的材料,使练出的钢满足一定的指 标要求.假设为了炼出某种特定用途的 钢,每吨需要加入某元素的量在1000g到 2000g之间,若以1g为间隔,把所有的可 能性都做一遍试验来寻找最优点,这种 方法称为均分法,利用均分法寻找最优 点有什么缺点? 试验次数太多,在时间、人力和物力上 造成浪费.

探究二:黄金分割法

思考3:用一张纸条表示1000~2000g, 以1000为起点标出刻度,如何确定第一 试点x1和第二试点x2的值?
1000
1382 x2 1618

2000

x1

x1=1000+0.618×(2000-1000) =1618(g),
x2=1000+2000-x1=1382(g).

探究二:黄金分割法

思考4:如果称因素范围的左右两端点值分 别为小头和大头,那么x1 和x2 的直观表达式 如何?
1000

1382
x2

1618
x1

2000

x1=1000+0.618×(2000-1000) =1618(g), x2=1000+2000-x1=1382(g).

x1=小+0.618×(大-小), x2=小+大-x1.

探究二:黄金分割法

思考5:用黄金分割法确定第一试点x1 后,x2的值相当于“加两头,减中间”. 类似地,在确定第n个试点xn时,如果存 优范围内相应的好点是xm,则xn等于什 么?


xn

xm



xn=小+大-xm

探究二:黄金分割法

思考6:对前述炼钢问题,比较第一、 二次试验结果,如果第二试点x2是好点, 则第三试点x3的值如何计算?
1000 1382 1618 x1 2000

x2

x3=1000+1618-1382=1236(g)

探究二:黄金分割法

思考7:比较第二、三次试验结果,如 果第二试点x2 仍是好点,则第四试点x4 的值如何计算?
1000 1236 1382 1618

x3

x2

x1

x4=1236+1618-1382=1472(g)

探究二:黄金分割法

思考8:用0.618法寻找最佳点时,虽然 不能保证在有限次内准确找到最佳点, 但随着试验次数的增加,存优范围会越 来越小,若用一个数据δn来刻画n次试验 后的精度,以此衡量一种试验方法的效 率,则δn应如何计算?
δ n=

n次试验后的存优范围
原始的因素范围

探究二:黄金分割法

思考9:用0.618法确定试点时,n次试 验后的精度δ n为多少? δ n=0.618n-1 思考10:用0.618法寻找最佳点时,若 给定精度δ ,为了达到这个精度,至少 要做多少次试验?
lg ? n? ?1 lg 0.618

探究二:黄金分割法

例1 调酒师为了调制一种鸡尾酒,每100kg 烈性酒中需要加入柠檬汁的量在1kg到2kg 之间,用0.618法寻找它的最佳加入量,要 求加入柠檬汁的误差不超出1g,问需要做 多少次试验? 需要做16次试验 例2 在用0.618法寻找最佳点的过程中,若 某次试验后的存优范围是[2,b]且2.382是 这个存优范围内的一个好点,求b的值.

b=2.618或b=3.

课堂小结

1.建立黄金分割法的基本原则是:两 个试点关于存优范围的中心对称,且每 次舍去的区间长度与舍去前的区间长 度成比例.
2.黄金分割法主要适用于单因素单峰 目标函数,第一个试点确定在因素范围 的0.618处,后续试点可以用“加两头, 减中间”来确定.

课堂小结

3.试验方法的效率常用精度δn 来反映, 在相同试验次数下,精度越高,方法越 好.

作业布置

P10习题1.3:1,2,3.


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