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高中数列构造法


构造法
类型 1: 解题思路:把原递推公式转化为 求解。 例题: 在数列 (1)设 (2)求数列 中, ,求数列 =(1+ ) + ,利用累加法(逐差相加法)

的通项公式;

的前 n 项和。

类型 2: 解题思路:把原递推公式转化为 例题: 已知数列 ,满足 = ,利用累乘法(逐商相乘法)求解 (n ) ,则

的通项公式是

类型 3:

(其中 p、q 均为常数,且 pq(p-1)

) ,其中 ,

解题思路: 待定系数法, 把原递推公式转化为

再利用换元法转化为等比数列求解,或转化为二队循环数列求解,或直接用逐项 迭代法求解。 例题: (类型 3 的变式: 解题思路:通过构造新数列 ,消去 带来的差异,例如下面的类型4)

类型 4:

(其中 p、 q 均为常数,pq(p-1)(q-1) ,其中 、 、 均为常数)

) (或者

解题思路:一般地,要先在原递推公式两边同除以 辅助数列 (其中 ) ,得

,得

=

+ ,引入

即可转化为类型 3。或直接将原 , (其中 x= (p q))直接转化为

递推式变形为

等比数列。 例题: 设数列 的前 n 项的和 ,已知 ,证明数列 的通项公式 , 是等比数列;

(1)设 (2)求数列

类型 5: (其中 p,q 均为常数) 。 解法 (待定系数法) : 将原递推公式转化为, 其中 s,t 满足 s+t=p,st=-q 例题:已知数列 求数列 满足 , ,

。 (n 是 N*)

的通项公式。

类型 6:







解题思路,利用待定系数法构造等比数列。例如, ,公比为 p 的等比数列

类型 7: (p>0, ) 解题思路:等式两边取对数后转化为 解。 例题: 已知数列 N*。求数列 的各项都是正数,且满足: 的通项公式。 ,

,再利用待定系数法求

,n 为

类型 8: 解题思路:等式两边取倒数后换元转化为 例题: 已知数列 满足: 。 (n>=2,n 为 N*)

,且


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