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1-3函数的基本性质-2-2答案


高中数学·必修一 1-3-2-2

基础巩固 一、选择题 1.(2014· 全国高考卷Ⅰ)设函数 f(x)、g(x)定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列 结论正确的是( ) B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)· g(x)|是奇函数 [解析] 设 h(x)=f(x)g(x),则 h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),∴h(x)

A.f(x)g(x)是偶函数 [答案] C

是奇函数,故 A 错,同理可知 B、D 错,C 正确. 2.下列函数中是奇函数且在(0,1)上递增的函数是( 1 A.f(x)=x+ x [答案] D 1 B.f(x)=x2- x ) D.f(x)=x3

C.f(x)= 1-x2

[解析] ∵对于 A,f(-x)=(-x)+

1 1 =-(x+ )=-f(x);对于 D,f(-x) x ?-x?

=(-x)3=-x3=-f(x),∴A、D 选项都是奇函数.易知 f(x)=x3 在(0,1)上递增. 3.若 f(x)是 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,则下列各式成立的是( A.f(-2)>f(0)>f(1) B.f(-2)>f(1)>f(0) C.f(1)>f(0)>f(-2) [答案] B )

D.f(0)>f(-2)>f(1)

[解析] 因为 f(x)是 R 上的偶函数,所以 f(-2)=f(2).又因为 f(x)在[0,+∞)

上是增函数,所以 f(0)<f(1)<f(2),即 f(-2)>f(1)>f(0).故选 B. 4.已知函数 f(x)和 g(x)均为奇函数,h(x)=af(x)+bg(x)+2 在区间(0,+∞)上有最大值 5,那么 h(x)在(-∞,0)上的最小值为( A.-5 [答案] B [解析] 解法一:令 F(x)=h(x)-2=af(x)+bg(x), 则 F(x)为奇函数. ∵x∈(0,+∞)时,h(x)≤5, ∴x∈(0,+∞)时,F(x)=h(x)-2≤3. 又 x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞), ∴F(-x)≤3?-F(x)≤3 ?F(x)≥-3. ∴h(x)≥-3+2=-1,选 B. 5.函数 y=f(x)对于任意 x,y∈R,有 f(x+y)=f(x)+f(y)-1,当 x>0 时,f(x)>1,且 f(3)=4,则 ( ) A.f(x)在 R 上是减函数,且 f(1)=3 C.f(x)在 R 上是减函数,且 f(1)=2 [答案] D [解析] 设任意 x1,x2∈R,x1<x2,f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)
1

) C.-3 D.5

B.-1

B.f(x)在 R 上是增函数,且 f(1)=3 D.f(x)在 R 上是增函数,且 f(1)=2

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=f(x2-x1)-1. ∵x2-x1>0,又已知当 x>0 时,f(x)>1, ∴f(x2-x1)>1. ∴f(x2)-f(x1)>0,即 f(x1)<f(x2). ∴f(x)在 R 上是增函数. ∵f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)-1=f(1)+[f(1)+f(1)-1]-1=3f(1)-2=4,∴f(1)=2. 6.(2015· 胶州三中高一模块测试 )设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0,则不等式 f?x?-f?-x? <0 的解集为( x )

A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1) [答案] D f?x?-f?-x? 2f?x? [解析] 奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0, = <0. x x 由函数的图象得解集为(-1,0)∪(0,1). 二、填空题 ?x+1??x+a? 7.(2015· 上海大学附中高一期末考试)设函数 f(x)= 为奇函数,则 a=________. x [答案] -1 1 [解析] f(x)= (x+1)(x+a)为奇函数 x ?g(x)=(x+1)(x+a)为偶函数, 故 g(-1)=g(1),∴a=-1. 8. 偶函数 f(x)在(0, +∞)上为增函数, 若 x1<0, x2>0, 且|x1|>|x2|, 则 f(x1)与 f(x2)的大小关系是______. [答案] f(x1)>f(x2) [解析] ∵x1<0,∴-x1>0, 又|x1|>|x2|,x2>0,∴-x1>x2>0, ∵f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴f(-x1)>f(x2), 又∵f(x)为偶函数,∴f(x1)>f(x2). 此类问题利用奇偶函数的对称特征画出示意图一目了然. 三、解答题 a 9.已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R). x (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在[2,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围. [分析] (1)题需分情况讨论.(2)题用定义证明即可. [解析] (1)当 a=0 时,f(x)=x2,
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对任意 x∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=(-x) =x =f(x). ∴f(x)为偶函数. a 当 a≠0 时,f(x)=x2+ (a≠0,x≠0), x 取 x=± 1,得 f(-1)+f(1)=2≠0,f(-1)-f(1)=-2a≠0, 即 f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1), ∴函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. a a x1-x2 2 2 (2)设 2≤x1<x2,则有 f(x1)-f(x2)=x1 + -x2 - = · [x1x2(x1+x2)-a],要使函数 f(x)在[2,+ x1 x2 x1x2 ∞)上为增函数,则需 f(x1)-f(x2)<0 恒成立. ∵x1-x2<0,x1x2>4, ∴只需使 a<x1x2(x1+x2)恒成立. 又∵x1+x2>4, ∴x1x2(x1+x2)>16, 故 a 的取值范围是(-∞,16]. 10.已知函数 f(x)的定义域是(0,+∞),当 x>1 时,f(x)>0,且 f(x· y)=f(x)+f(y). (1)求 f(1); (2)证明 f(x)在定义域上是增函数; 1 (3)如果 f( )=-1,求满足不等式 f(x)-f(x-2)≥2 的 x 的取值范围. 3 [分析] (1)的求解是容易的;对于(2),应利用单调性定义来证明,其中应注意 f(x· y)=f(x)+f(y)的 应用; 对于(3), 应利用(2)中所得的结果及 f(x· y)=f(x)+f(y)进行适当配凑, 将所给不等式化为 f [g(x)]≥f(a) 的形式,再利用 f(x)的单调性来求解. [解析] (1)令 x=y=1,得 f(1)=2f(1),故 f(1)=0. 1 1 1 (2)证明:令 y= ,得 f(1)=f(x)+f( )=0,故 f( )=-f(x).任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2, x x x 1 x2 则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f( )=f( ). x1 x1 x2 x2 由于 >1,故 f( )>0,从而 f(x2)>f(x1). x1 x1 ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. 1 1 (3)由于 f( )=-1,而 f( )=-f(3),故 f(3)=1. 3 3 在 f(x· y)=f(x)+f(y)中,令 x=y=3,得 f(9)=f(3)+f(3)=2. 故所给不等式可化为 f(x)-f(x-2)≥f(9),

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9 ∴f(x)≥f[9(x-2)],∴x≤ , 4
? ?x>0 9 又? ,∴2<x≤ , 4 ?x-2>0 ?

9 ∴x 的取值范围是(2, ]. 4 [规律总结] 本题中的函数是抽象函数,涉及了函数在某点处的值、函数单调性的证明、不等式

的求解.在本题的求解中,一个典型的方法技巧是根据所给式子 f(x· y)=f(x)+f(y)进行适当的赋值或配 1 凑.这时该式及由该式推出的 f( )=-f(x)实际上已处于公式的地位,在求解中必须依此为依据. x 能力提升 一、选择题 1.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x+b,则 f(-1)等于( A.0 [答案] C [解析] ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0,即 b=0,∴当 x≥0 时,f(x)=2x, ∴f(-1)=-f(1)=-2,故选 C. 1 2.已知 f(x)=ax2+bx+1 是定义在[3a-2,2a+ ]上的偶函数,则 5a+3b=( 3 5 A. 3 [答案] A [解析] ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x)即 ax2+bx+1=ax2-bx+1,∴b=0,又 f(x)定义域为[3a 1 B. 3 C.0 2 D.- 3 ) B.2 C.-2 D.1 )

1 1 1 5 -2,2a+ ],∴3a-2+2a+ =0,∴a= .故 5a+3b= . 3 3 3 3 3.已知函数 f(x)是定义在(-6,6)上的偶函数,f(x)在[0,6)上是单调函数,且 f(-2)<f(1),则下列不 等式成立的是( )

A.f(-1)<f(1)<f(3) B.f(2)<f(3)<f(-4) C.f(-2)<f(0)<f(1) D.f(5)<f(-3)<f(-1) [答案] D [解析] ∵f(-2)=f(2)<f(1),∴f(x)在[0,6]上为减函数,在[-6,0]上为增函数,f(-5)=f(5), ∴f(-5)<f(-3)<f(-1),故选 D. 4.(2015· 哈师大附中期中)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+2)=-f(x),则 f(6)
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的值为( A.-1

) B.0 C.1 D.2

[答案] B [解析] ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0,又 f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x), ∴f(6)=f(2)=f(0+2)=-f(0)=0. 二、填空题 5.已知偶函数 f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示,则 f(x)≥0 的 x 的取值 范围是________.

[答案] [-2,2]∪{-5,5} [解析] ∵f(x)是偶函数,其图象关于 y 轴对称,

∴由 f(x)在[0,5]上的图象 作出 f(x)在[-5,0]上的图象,从而得到 f(x)在[-5,5]上的图象(如图). 根据图象可知:使 f(x)≥0 的 x 的取值范围为[-2,2]∪{-5,5}. 1 6.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且在[0,+∞)上为增函数,若 f(1-a)+f( -2a)<0, 2 则实数 a 的取值范围是________. 1 [答案] ( ,+∞) 2 [解析] ∵y=f(x)为 R 上的奇函数,且在[0,+∞)为增函数,∴f(x)在 R 上为增函数. 1 又 f(1-a)+f( -2a)<0, 2 1 1 ∴f(1-a)<-f( -2a)=f(2a- ). 2 2 1 1 ∴1-a<2a- ,即 a> . 2 2 1 ∴实数 a 的取值范围为( ,+∞). 2 三、解答题 2 7.(2015· 山东日照期末)已知函数 f(x)=1- . x
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(1)若 g(x)=f(x)-a 为奇函数,求 a 的值; (2)试判断 f(x)在(0,+∞)内的单调性,并用定义证明. 2 [解析] (1)由已知得 g(x)=1-a- , x 2 2 ∵g(x)是奇函数,∴g(-x)=-g(x),即 1-a- =-(1-a- ),解得 a=1. x -x (2)函数 f(x)在(0,+∞)内是单调增函数.证明如下: 任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2, 2 2 2?x1-x2? 则 f(x1)-f(x2)=1- -(1- )= . x1 x2 x1x2 2?x1-x2? ∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>0,从而 <0,即 f(x1)<f(x2). x1x2 ∴函数 f(x)在(0,+∞)内是单调增函数. f?a?+f?b? 8.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意 a、b∈R,当 a+b≠0 时,都有 >0. a+b (1)若 a>b,试比较 f(a)与 f(b)的大小关系; (2)若 f(1+m)+f(3-2m)≥0,求实数 m 的取值范围. [解析] (1)∵a>b,∴a-b>0, f?a?+f?b? 由题意得 >0, a+b ∴f(a)+f(-b)>0. 又 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(-b)=-f(b),∴f(a)-f(b)>0,即 f(a)>f(b). (2)由(1)知 f(x)为 R 上的单调递增函数, ∵f(1+m)+f(3-2m)≥0, ∴f(1+m)≥-f(3-2m), 即 f(1+m)≥f(2m-3), ∴1+m≥2m-3,∴m≤4. ∴实数 m 的取值范围为(-∞,4].

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