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文理科数学数列高考题精选含答案


一、选择题 1.(2009 年广东卷文)已知等比数列 { a n } 的公比为正数,且 a 3 · a 9 =2 a 5 , a 2 =1,则 a 1 =
2

A.

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2
<

br />2.(2009 安徽卷文)已知 A. -1

为等差数列, B. 1 C. 3

,则 D.7

等于

3.(2009 江西卷文)公差不为零的等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n .若 a 4 是 a 3 与 a 7 的等比中项, S 8 ? 3 2 , 则 S 1 0 等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90
.

4(2009 湖南卷文)设 S n 是等差数列 ? a n ? 的前 n 项和,已知 a 2 ? 3 , a 6 ? 1 1 ,则 S 7 等于【 A.13 B.35 C.49 D. 63



5.(2009 辽宁卷文)已知 ? a n ? 为等差数列,且 a 7 -2 a 4 =-1, a 3 =0,则公差 d= (A)-2 (B)-
1 2

(C)

1 2

(D)2

6.(2009 四川卷文)等差数列{ a n }的公差不为零,首项 a 1 =1, a 2 是 a 1 和 a 5 的等比中项,则数列的 前 10 项之和是 A. 90

B. 100

C. 145

D. 190

7.(2009 湖北卷文)设 x ? R , 记不超过 x 的最大整数为[ x ],令{ x }= x -[ x ],则 {
5 ?1 2

},[

5 ?1 2

],

5 ?1 2

A.是等差数列但不是等比数列 C.既是等差数列又是等比数列

B.是等比数列但不是等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

8.(2009 湖北卷文)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如:

.

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称 图 2 中的 1,4,9,16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378
2

9. (2009 宁夏海南卷文) 等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n , 已知 a m ? 1 ? a m ? 1 ? a m ? 0 ,S 2 m ?1 ? 38 ,则 m ? (A)38 (B)20 (C)10 (D)9
.

10.(2009 重庆卷文)设 ? a n ? 是公差不为 0 的等差数列, a 1 ? 2 且 a1 , a 3 , a 6 成等比数列,则 ? a n ? 的前 n 项和 S n =(
n
2


7n 4 n
2

A.

?

B.

?

5n 3

C.

n

2

?

3n 4

D.n ? n
2

4

3

2

11.(2009 四川卷文)等差数列{ a n }的公差不为零,首项 a 1 =1, a 2 是 a 1 和 a 5 的等比中项,则数列 的前 10 项之和是 A. 90 二、填空题(必做! ) 1(2009 浙江文)设等比数列 { a n } 的公比 q ?
1 2

B. 100

C. 145

D. 190

.

,前 n 项和为 S n ,则

S4 a4

?



2. 2009 浙江文) ( 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , S 4 ,S 8 ? S 4 ,S 1 2 ? S 8 ,S 1 6 ? S 1 2 成等差数列. 则 类 比以上结论有:设等比数列 {b n } 的前 n 项积为 T n ,则 T 4 , , ,
T1 6 T1 2

成等比数列.

3.(2009 山东卷文)在等差数列 { a n } 中, a 3 ? 7 , a 5 ? a 2 ? 6 ,则 a 6 ? __________

__ .

4.(2009 宁夏海南卷文)等比数列{ a n }的公比 q ? 0 , 已知 a 2 =1, a n ? 2 ? a n ? 1 ? 6 a n ,则{ a n }的前 4 项 和 S4 =

.

三.解答题(精选新课改地区的文数大题,控制难度)
1.(2009 年广东卷文)(本小题满分 14 分) 已知点 (1, ) 是函数 f ( x ) ? a ( a ? 0 , 且 a ? 1 ) 的图象上一点, 等比数列 { a n } 的前 n 项和为 f ( n ) ? c ,
x

1

3

数列 { b n } ( b n ? 0 ) 的首项为 c ,且前 n 项和 S n 满足 S n - S n ?1 = S n + S n ?1 ( n ? 2 ). (1)求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式; (2)若数列{
1 b n b n ?1 } 前 n 项和为 T n ,问 T n >

1000 2009

的最小正整数 n 是多少?

.

2(2009 浙江文) (本题满分 14 分)设 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和, S n ? kn ? n , n ? N ,其中 k 是
2
*

常数. (I) 求 a 1 及 a n ; (II)若对于任意的 m ? N , a m , a 2 m , a 4 m 成等比数列,求 k 的值.
*

3.(2009 北京文) (本小题共 13 分) 设数列 { a n } 的通项公式为 a n ? p n ? q ( n ? N , P ? 0 ) . 数列 {b n } 定义如下:对于正整数 m, b m 是 使得不等式 a n ? m 成立的所有 n 中的最小值. (Ⅰ)若 p ?
1 2 ,q ? ? 1 3
?

,求 b 3 ;

(Ⅱ)若 p ? 2, q ? ? 1 ,求数列 { b m } 的前 2m 项和公式; (Ⅲ)是否存在 p 和 q,使得 b m ? 3 m ? 2 ( m ? N ) ?如果存在,求 p 和 q 的取值范围;如果不存 在,请说明理由. 7.(2009 江西卷文) (本小题满分 12 分) 2 2 n? 2 n? ? sin ) ,其前 n 项和为 S n . 数列 { a n } 的通项 a n ? n (co s
3 3
?

(1) 求 S n ; (2) b n ?
S 3n n?4
n

, 求数列{ b n }的前 n 项和 T n .

10.(2009 湖南卷文) (本小题满分 13 分) 对于数列 { u n } ,若存在常数 M>0,对任意的 n ? N ,恒有
*

u n ? 1 ? u n ? u n ? u n ?1 ? ? ? u 2 ? u 1 ? M ,

则称数列 { u n } 为 B ? 数列. (Ⅰ)首项为 1,公比为 ?
1 2

的等比数列是否为 B-数列?请说明理由;

(Ⅱ)设 S n 是数列 { x n } 的前 n 项和.给出下列两组判断: A 组:①数列 { x n } 是 B-数列, B 组:③数列 { S n } 是 B-数列, ②数列 { x n } 不是 B-数列; ④数列 { S n } 不是 B-数列.

请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假,并证明你的结论; (Ⅲ)若数列 { a n } 是 B-数列,证明:数列 { a n } 也是 B-数列。 17(2009 上海卷文) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分, 第 3 小题满分 8 分. 已知 ? a n ? 是公差为 d 的等差数列, ? b n ? 是公比为 q 的等比数列 (1)若 a n ? 3 n ? 1 ,是否存在 m , n ? N ,有 a m ? a m ? 1 ? a k ?请说明理由;
*
2

(2)若 b n ? aq n (a、q 为常数,且 aq ? 0)对任意 m 存在 k,有 b m ? b m ? 1 ? b k ,试求 a、q 满足的充要 条件;
, 1 (3) a n ? 2 n ? b n3 ? 若
n

试确定所有的 p,使数列 ? b n ? 中存在某个连续 p 项的和式数列中 ? a n ? 的一项,

请证明.

答案二:
一、选择题
1.【答案】B【解析】设公比为 q ,由已知得 a1 q ? a1 q ? 2 ? a 1 q
2 8 4

?

2

,即 q ? 2 ,又因为等比数列 { a n } 的公
2

比为正数,所以 q ? 2. 【 解 析 】 ∵

2 ,故 a 1 ?

a2 q

?

1 2

?

2 2

,选 B
a 3 ? 35

a 1 ? a 3 ? a 5 ? 105

a 20 ? a 4 ? ( 20 ? 4 ) ? d

即 3 a 3 ? 105 ∴ ? 1 .选 B。 【答案】B
2

同理可得

a 4 ? 33

∴公差

d ? a4 ? a3 ? ?2



3. 答 案 : C 【 解 析 】 由 a 4 ? a 3 a 7 得 ( a1 ? 3 d ) ? ( a1 ? 2 d )( a1 ? 6 d ) 得 2 a1 ? 3 d ? 0 , 再 由
2

S 8 ? 8 a1 ?

56

d ? 32 得 ? 7(a2 ? a6 ) 2

4.解: S 7 ? 或由 ?

2 7 ( a1 ? a 7 ) 2

2 a1 ? 7 d ? 8 则 d ? 2, a1 ? ? 3 ,所以 S 10 ? 1 0 a1 ?

90 2

d ? 6 0 ,.故选 C

?

7 (3 ? 1 1) 2

? 4 9 . 故选 C.

? a 2 ? a1 ? d ? 3

? a1 ? 1 ? ? , a7 ? 1 ? 6 ? 2 ? 13. ?d ? 2 ? a 6 ? a1 ? 5 d ? 1 1
7 ( a1 ? a 7 ) 2 ? 7 (1 ? 1 3) 2 ? 4 9 . 故选 C.

所以 S 7 ?

5.【解析】a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1 ?
2

d=-

1 2

【答案】B

6.【答案】B【解析】设公差为 d ,则 (1 ? d ) ? 1 ? (1 ? 4 d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S 10 =100 7.【答案】B【解析】可分别求得 ?
? ? ? ? 5 ? 1? ? ? ? 2 ? ? 5 ?1 2

,[

5 ?1 2

] ? 1 .则等比数列性质易得三者构成等

比数列. 8.【答案】C【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项 a ?
n

n 2

( n ? 1 ) ,同理可得正方形数构成的数

列通项 b n ? n ,则由 b n ? n ( n ? N ? ) 可排除 A、D,又由 a ?
2 2
n

n 2

( n ? 1 ) 知 a n 必为奇数,故选 C.

9.【答案】C【解析】因为 ? a n ? 是等差数列,所以, a m ?1 ? a m ? 1 ? 2 a m ,由 a m ? 1 ? a m ? 1 ? a m ? 0 ,得:
2

2 a m - a m =0,所以, a m =2,又 S 2 m ?1 ? 38 ,即 解得 m=10,故选.C。

2

( 2 m ? 1)( a 1 ? a 2 m ? 1 ) 2

=38,即(2m-1)×2=38,

10.【答案】A 解析设数列 { a n } 的公差为 d ,则根据题意得 (2 ? 2 d )2 ? 2 ? (2 ? 5 d ) ,解得 d ?
d ? 0 (舍去) ,所以数列 { a n } 的前 n 项和 S n ? 2 n ?

1 2



n ( n ? 1) 2

?

1 2

?

n

2

?

7n 4

4

11.【答案】B【解析】设公差为 d ,则 (1 ? d ) ? 1 ? (1 ? 4 d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S 10 =100
2

.

二、填空题 1.【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式,通过对数列知识点的考查充分体 现了通项公式和前 n 项和的知识联系. 【解析】对于 s 4 ?
a 1 (1 ? q )
4

1? q

, a 4 ? a 1 q ,?
3

s4 a4

?

1? q
3

4

q (1 ? q )

? 15

.

2.答案:

T 8 T1 2 , 【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题,既考查了数列中等差数列和等 T 4 T8
.

比数列的知识,也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力 3. 【 解 析 】 : 设 等 差 数 列 { a n } 的 公 差 为 d , 则 由 已 知 得 ?
a 6 ? a1 ? 5 d ? 1 3 .

?

a1 ? 2 d ? 7

? a1 ? 4 d ? a1 ? d ? 6

解得 ?

? a1 ? 3 ?d ? 2

,所以

答案:13.【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算. 4.【答案】
15 2

【解析】由 a n ? 2 ? a n ? 1 ? 6 a n 得: q
1 (1 ? 2 )
4

n ?1

?q

n

? 6q

n ?1

,即 q ? q ? 6 ? 0 , q ? 0 ,解得:
2

q=2,又 a 2 =1,所以, a 1 ?

1 2

,S4 ? 2

1? 2



15 2



三、解答题
?1? 1.【解析】 (1) Q f ? 1 ? ? a ? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ?3?

1

x

a1 ? f ? 1 ? ? c ?

1 3

? c , a 2 ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? f ?1 ? ? c ? ? ? ? ? ? ? 2 27

2 9

,

a3 ? ? f ? 3 ? ? c ? ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? ? ? ? ?
4
2

.

又数列 ? a n ? 成等比数列, a 1 ?

a2

? ?

a3

81 ? ? 2 ? 1 ? c ,所以 c ? 1 ; 2 3 3 27
n ?1

2?1? ? ,所以 a n ? ? ? ? 又公比 q ? a1 3 3?3?

a2

1

?1? ? ?2 ? ? ?3?

n

n? N

*



Q S n ? S n ?1 ?

?

Sn ?

S n ?1

??

Sn ?

S n ?1 ?

?

Sn ?

S n ?1

?n ? 2?

又 bn ? 0 , S n ? 0 , ? 数列

Sn ?

S n ?1 ? 1 ; S n ? 1 ? ? n ? 1? ? 1 ? n , S n ? n
2

?

Sn

? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,

当 n ? 2 , b n ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1 ? ? 2 n ? 1 ;
2 2

? b n ? 2 n ? 1 ( n ? N );
*

(2) T n ?

1 b1 b 2

?

1 b 2 b3

?

1 b3 b 4 1 ? 3

?L ?

1 b n b n ?1

?

1 1? 3

?

1 3? 5

?

1 5? 7

?K ?

1 ( 2 n ? 1) ? ? 2 n ? 1 ?

?

1? 1? 1? ?1 ? ? ? ? 2? 3? 2 ?

?1 ?? ?5

?1 1 ? 1 ? ? ??K ? ?2 5 ? 7

1 1 ? n ? 1 ?1 1? ? ; ? ? ? ?1 ? ?? n n? 2 1 1 2? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2? 2 ?

由 Tn ?

n 2n ? 1

?

1000 2009

得n ?

1000 9

,满足 T n ?

1000 2009

的最小正整数为 112.

2.解析: (Ⅰ)当 n ? 1, a 1 ? S 1 ? k ? 1 ,
n ? 2 , a n ? S n ? S n ?1 ? kn
2

? n ? [ k ( n ? 1) ? ( n ? 1)] ? 2 kn ? k ? 1 ( ? )
2

经验, n ? 1, ( ? )式成立,

? a n ? 2 kn ? k ? 1
2

(Ⅱ)? a m , a 2 m , a 4 m 成等比数列,? a 2 m ? a m .a 4 m , 即 ( 4 km ? k ? 1) ? ( 2 km ? k ? 1)( 8 km ? k ? 1) ,整理得: mk ( k ? 1) ? 0 ,
2

对任意的 m ? N ? 成立,

? k ? 0或 k ? 1

3.解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质,考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题. (Ⅰ)由题意,得 a n ? ∴
1 2 n? 1 3 1 2 n? 1 3

,解

1 2

n?

1 3

? 3 ,得 n ?

20 3

.

.

? 3 成立的所有 n 中的最小整数为 7,即 b 3 ? 7 .

(Ⅱ)由题意,得 a n ? 2 n ? 1 , 对于正整数,由 a n ? m ,得 n ?
m ?1 2

.

根据 b m 的定义可知 当 m ? 2 k ? 1 时, b m ? k ? k ? N
*

? ;当 m ? 2 k 时, b

m

? k ? 1? k ? N

*

?.

∴ b1 ? b 2 ? ? ? b 2 m ? ? b1 ? b3 ? ? ? b 2 m ?1 ? ? ? b 2 ? b 4 ? ? ? b 2 m ?
? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? m ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? m ? 1 ? ? ? ?

?

m ? m ? 1? 2

?

m ?m ? 3? 2

? m ? 2m .
2

(Ⅲ)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn ? q ? m 及 p ? 0 得 n ?

m?q p

.

∵ b m ? 3 m ? 2 ( m ? N ) ,根据 b m 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有
3m ? 1 ? m?q p ? 3 m ? 2 ,即 ? 2 p ? q ? ? 3 p ? 1 ? m ? ? p ? q 对任意的正整数 m 都成立.

?

当 3 p ? 1 ? 0 (或 3 p ? 1 ? 0 )时,得 m ? ? 这与上述结论矛盾! 当 3 p ? 1 ? 0 ,即 p ?
1 3

p?q 3p ?1

(或 m ? ?

2p?q 3p ?1

) ,

时,得 ?

2 3

?q ?0? ?
?

1 3

? q ,解得 ?

2 3

? q ? ?

1 3

.

∴ 存在 p 和 q,使得 b m ? 3 m ? 2 ( m ? N ) ; p 和 q 的取值范围分别是 p ?
1 3

,?

2 3

? q ? ?

1 3

.

.

4.解: (1) 由于 co s

2

n? 3

? sin

2

n? 3

? co s

2 n? 3

,故

S 3 k ? ( a1 ? a 2 ? a 3 ) ? ( a 4 ? a 5 ? a 6 ) ? ? ? ( a 3 k ? 2 ? a 3 k ?1 ? a 3 k ) ? (? 1 ?2
2 2

? 3 ) ? (?
2

4 ?5
2

2

? 6 ) ? ? ? (?
2

(3 k ? 2 ) ? (3 k ? 1)
2

2

? (3 k ) ))
2

2

2

2

?

13 2

?

31 2

?? ?

18k ? 5

?

k (9 k ? 4 ) 2 ,

,

S 3 k ?1 ? S 3 k ? a 3 k ?

2 k (4 ? 9 k ) 2

S 3 k ? 2 ? S 3 k ?1 ? a 3 k ?1 ?

k (4 ? 9k ) 2

?

(3 k ? 1) 2

2

?

1 2

?k ? ?

3k ? 2 3

?

1 6

,



n 1 ? ? ? , ? 3 6 ? ( n ? 1)(1 ? 3 n ) ? Sn ? ? , 6 ? ? n (3 n ? 4 ) , ? 6 ?

n ? 3k ? 2 n ? 3k ? 1 n ? 3k

(k ? N )
*

(2) b n ?

, n n?4 2?4 1 13 22 9n ? 4 Tn ? [ ? 2 ?? ? ], n 2 4 4 4 1 22 9n ? 4 4 T n ? [1 3 ? ?? ? ], n ?1 2 4 4
n

S 3n

?

9n ? 4

两式相减得
9 3T n ? 1 2 [1 3 ? 9 4 ?? ? 4 9
n ?1

?

9n ? 4 4
n

]?

1 2

?

9 4 1 4
n

[1 3 ? 4 1?

?

9n ? 4 4
n

]?8? 2

1
2n?3

?

9n 2
2 n ?1

,



Tn ?

8 3

?

1 3?2
2 n?3

?

3n 2
2 n ?1

.

5.解: (Ⅰ)设满足题设的等比数列为 { a n } ,则 a n ? ( ?
a n ? a n ?1 ? ( ? 1 2
n ?1

1 2

)

n ?1

.于是

)

? (?

1 2

)

n?2

?

1 n?2 ? ( ) , n ? 2. 2 2

3

| a n ? 1 ? a n | ? | a n ? a n ? 1 | ? ? ? | a 2 ? a1 |
1 1 2 1 n -1 ? ? ? 1? ? ( ) ?? ? ( ) 3? ? ?= 2 ? 2 2 2 ? 3 1 n? ? 1? ( ) ? 3. ? 2 ? ? ?

=

所以首项为 1,公比为 ?

1 2

的等比数列是 B-数列

.

(Ⅱ)命题 1:若数列 { x n } 是 B-数列,则数列 { S n } 是 B-数列.此命题为假命题. 事实上设 x n =1, n ? N ,易知数列 { x n } 是 B-数列,但 S n =n,
*

| S n ? 1 ? S n | ? | S n ? S n ?1 | ? ? ? | S 2 ? S 1 |? n .

由 n 的任意性知,数列 { S n } 不是 B-数列。 命题 2:若数列 { S n } 是 B-数列,则数列 { x n } 不是 B-数列。此命题为真命题。 事实上,因为数列 { S n } 是 B-数列,所以存在正数 M,对任意的 n ? N ,有
*

| S n ? 1 ? S n | ? | S n ? S n ? 1 | ? ? ? | S 2 ? S 1 |? M ,

即 | x n ? 1 | ? | x n | ? ? ? | x 2 |? M .于是 x n ? 1 ? x n ? x n ? x n ?1 ? ? ? x 2 ? x1

? x n ? 1 ? 2 x n ? 2 x n ? 1 ? ? ? 2 x 2 ? x1 ? 2 M ? x 1 ,

所以数列 { x n } 是 B-数列。 (注:按题中要求组成其它命题解答时,仿上述解法) (Ⅲ)若数列 ? a n ? 是 B-数列,则存在正数 M,对任意的 n ? N , 有
?

a n ?1 ? a n ?

a n?

a n1 ? ? ? ?

a ? 2

a ? 1

.M

因为 a n ? a n ? a n ?1 ? a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? a 2 ? a1 ? a1
? a n ? a n ?1 ? a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? a 2 ? a1 ? a1 ? M ? a1 .
2 2 记 K ? M ? a1 ,则有 a n ? 1 ? a n ? ( a n ? 1 ? a n )( a n ? 1 ? a n )

? ( a n ?1 ? a n ) a n ?1 ? a n ? 2 K a n ?1 ? a n .

因此 a n ? 1 ? a n ? a n ? a n ?1 ? ... ? a 2 ? a1 ? 2 K M .
2 2 2 2 2 2

故数列 ? a n ? 是 B-数列.
2

6. 【解】 (1)由 a m ? a m ? 1 ? a k , 得 6 m ? 6 ? 3 k ? 1 , 整理后,可得 k ? 2 m ?
4 3 ,

? m 、 k ? N ,? k ? 2 m 为整数
? 不存在 n 、 k ? N ,使等式成立。
?

(2)当 m ? 1 时,则 b1 ? b 2 ? b k ,? a ? q ? aq
2 3

k

?a ? q

k ?3

, 即 a ? q ,其中 c 是大于等于 ? 2 的整数
c c
n?c

反之当 a ? q 时,其中 c 是大于等于 ? 2 的整数,则 b n ? q 显然 b m ? b m ? 1 ? q
m?c



?q

m ?1? c

?q

2 m ?1? 2 c

? b k ,其中 k ? 2 m ? 1 ? c

? a 、 q 满足的充要条件是 a ? q ,其中 c 是大于等于 ? 2 的整数
c

(3)设 b m ? 1 ? b m ? 2 ? ? ? b m ? p ? a k 当 p 为偶数时, (*) 式左边为偶数,右边为奇数,

当 p 为偶数时, (*) 式不成立。
3
m ?1

由 (*) 式得

(1 ? 3 )
p

1? 3

? 2 k ? 1 ,整理得 3

m ?1

(3 ? 1) ? 4 k ? 2
p

当 p ? 1 时,符合题意。 当 p ? 3 , p 为奇数时,
3 ? 1 ? (1 ? 2 ) ? 1
p p

? Cp ? Cp ?2 ? Cp ?2 ?? ? Cp ?2 ?1
0 1 1 2 2 p p

? Cp ?2 ? Cp ?2 ?? ? Cp ?2
1 1 2 2 p

p

? 2 ?C p ? C p ? 2 ? ? ? C p ? 2
1 2 p 2 2 2

p ?1

?
p?2

? 2 ?2 ?C p ? C p ? 2 ? ? ? C p ? 2 ?
p

??

p? ?

?

由3

m ?1

(3 ? 1) ? 4 k ? 2 ,得
p

3

m ?1

2 2 ? 2 ? C p ? C p ? 2 2 ? ? ? C pp ? 2 p ? 2 ? ? p ? ? 2 k ? 1 ? ?

? 当 p 为奇数时,此时,一定有 m 和 k 使上式一定成立。 ? 当 p 为奇数时,命题都成立。


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