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高二数学竞赛辅导


高二数学竞赛辅导
一. 填空题
2 1. 设 P 是函数 y ? x ? ( x ? 0) 的图像上任意一点,过点 P 分别向直线 y=x 和 y x ??? ??? ? ? 轴作垂线,垂足分别为 A,B,则 PA ? PB 的值是__________ 3 2. 设 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足式子 a cos B ? b c

os C ? c , 5 tan A 则 的值是________ tan B

3. 设 x,y,z ?[0,1] ,则 M ? | x ? y | ? | y ? z | ? | z ? x | 的最大值是_______ 4. 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? y )( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

) 的部分图像如图所示:

(1) f(x)的解析式是___________; 6 ? (2) 若 f ( x) ? ? , x ? [0, ] ,则 sin 2x 的值为_________ 5 2

5. 数列 {an } 中, a2 ? 3, an ?1 ? 3an ? 0
(1) 数列 {an } 的通项公式是_________; (2) 已知等差数列 {bn } 的各项均为正数,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 15 ,又

a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,则 Tn =___________

二.选择题 6. 执行如图所示的程序框图,若输出的 S 的值为 126, 则右图的判断中可以填入的关于 n 的 判断条件是( ) A. n ? 5 B. n ? 6 C. n ? 7 D. n ? 8 ? 4 ? 7.设 ? 为锐角,若 cos(? ? ) ? , 则sin(2? ? ) 的值为( 6 5 12 A.
31 2 50 4 3 ?3 10



B.

4 3 ?3 10 17 2 50

C.

D.

三.解答题 7. 已知函数 f ( x) ? [2sin( x ? ) ? sin x] ? cos x ? 3 sin 2 x ( x ? R ) 3 (1) 求函数 f(x)在 [0, ] 上的最大值和最小值; 2 (2) 在锐角 ?ABC 中, f ( A) ? 3, a ? 7, b ? 2 ,求 ?ABC 的面积。

?

?

8. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn, a1 ? 1, 且nan?1 ? 2Sn ,数列 {bn } 满足
bn ? 1 ,数列 {bn } 前 n 项和为 Tn(其中 n ? N * ) a2 n ?1 ? a2 n ?1

(1) 求 an和Tn ; (2) 若对任意的 n ? N * , 不等式 ? Tn ? n ? 8 ? (?1) n 恒成立, 求实数 ? 的取值范围。

9. 如 图 , 四 棱 锥 ? ? ( 0 , S-ABCD 2 ]
S D 平面 ?

的 底 面 是 正 方 形 ,
a

A ,B C ?D S, D ? ,2 A D 2 a

点 E 是 SD 上的点,且 DE= ? a (0 ? ? ? 2) (1) 对任意的都有 AC ? BE ; (2) 设二面角 C ? AE ? D 的大小为 ? ,直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为 ? , 若 tan ? ? tan ? ? 1 ,求 ? 的值。

10. 已知数列 {an } 的各项均为非零实数,且对任意的正整数 n,都有
3 3 (a1 ? a2 ? ? ? an )2 ? a13 ? a2 ? ? ? an

(1) 当 n=3 时,求所有满足条件的三项组成的数列 a1 , a2 , a3 ; (2) 是否存在满足条件的无穷数列 {an } ,使得 a2013 ? ?2012 ? 若存在,求出这样的一个无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由


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