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2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷


2014 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

2014 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上.) 1.若 x ? 2 ,则函数 f ( x) ? x ?

1 的最小值是 x ?1

. .

2.已知函数 f ( x) ? e x ,若 f (a ? b) ? 2 ,则 f (3a) ? f (3b) 的值是

3. 已 知 数 列 ?an ? 是 各 项 均 不 为 0 的 等 差 数 列 , 公 差 为 d , S n 为 其 前 n 项 和 , 且 满 足

an ? S2n?1 , n ? N ,则数列 ?an ? 的通项为
2

.

2 ? ?2 x ? 3 x , x ? 0 4.若函数 f ( x) ? ? 是奇函数,则实数 a 的值是 2 ? ?? 2 x ? ax, x ? 0

.

5. 已知函数 f ( x) ? lg x ?

10 ,若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? 5 f ( x) ? 6 ? 0 的实根之和为 m ,则 3
.

f ( m) 的值是
6.设 ? , ? 都是锐角,且 cos? ?

5 3 , sin(? ? ? ) ? ,则 cos? 等于 5 5

.
0

7.四面体 ABCD 中, AB ? 3, CD ? 5 ,异面直线 AB 和 CD 之间的距离为 4,夹角为 60 ,则四 面体 ABCD 的体积为 8. 若 满 足 ?ABC ? 是 .

?
3
.

, AC ? 3, BC ? m 的 ?ABC 恰 有 一 解 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围

9.设集合 S ? ? 1,2,?,8?, A, B 是 S 的两个非空子集,且 A 中的最大数小于 B 中的最小数,则这样 的集合对 ( A, B) 的个数是
2 2

.

10.如果正整数 m 可以表示为 x ? 4 y ( x, y ? Z ) ,那么称 m 为“好数”,问 1,,,,3,?,2014 中“好数”的个数为 . 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.已知 a, b, c 为正实数, a ? b ? c ,
x y z

1 1 1 ? ? ? 0 ,求 abc 的值. x y z

12.已知 F1 , F2 分别为双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,点 B 的坐标为 (0, b) , a2 b2

直线 F1 B 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 P, Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点

M ,若 MF 2 ?

1 F1 F2 ,求双曲线 C 的离心率. 2

13.如图,已知 ?ABC 是锐角三角形,以 AB 为直径的圆交边 AC 于点 D ,交边 AB 上的高 CH 于点 E ,以 AC 为直径的半圆交 BD 的延长线于点 G .求证: AG ? AE .

G C E D B

A

H

14.(1)正六边形被 3 条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成 4 个三角形,将每个三角形 区域涂上红、蓝两种颜色之一,使得有公共边的三角形涂的颜色不同,怎样分割并涂色可以使红 色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大? (2)凸 2016 边形被 2013 条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成 2014 个三角形.将每个 三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一,使得有公共边的三角形涂的颜色不同,在上述分割并涂色 的所有情形中,红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大值是多少?证明你的结论.


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