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2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题


2014 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 (4 月 20 日 8:00 至 10:00)

一.填空题(本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分) 1.若 x ≥ 2 ,则函数 f ( x ) ? x ?

1 的最小值是 x ?1



2.已知函数 f ( x) ? e x .若

f (a ? b) ? 2 ,则 f (3a) ? f (3b) 的值是



3. 已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列, 公差为 d , 且满足 an 2 ? S2n?1 , Sn 为前 n 项和,

n ? N* ,则数列 ?an ? 的通项 an ?



4.若函数 f ( x) ? ?

2 ? ?2 x ? 3x, x ≥ 0, 是奇函数,则实数 a 的值是 2 ? 2 x ? ax , x ? 0 ? ?



5. 已知函数 f ( x) ? lg | x ? 则 f ( m) 的值是

10 | .若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? 5 f ( x) ? 6 ? 0 的实根之和为 m , 3


6.设 ? 、 ? 都是锐角,且 cos ? ?

3 5 , sin(? ? ? ) ? ,则 cos ? 等于 5 5



7. 四面体 ABCD 中,AB ? 3 ,CD ? 5 , 异面直线 AB 和 CD 之间的距离为 4, 夹角为 60 , 则四面体 ABCD 的体积为 .
o

8 .若满足 ?ABC ? 是 .

?
3

, AC ? 3 , BC ? m 的 △ ABC 恰有一解,则实数 m 的取值范围

9.设集合 S ? ?1, 2,?,8? , A , B 是 S 的两个非空子集,且 A 中的最大数小于 B 中的最小 数,则这样的集合对 ( A, B) 的个数是 .

10. 如果正整数 m 可以表示为 x 2 ? 4 y 2 ( x , y ? Z ), 那么称 m 为 “好数” . 问 1, 2, 3, ?, 2014 中“好数”的个数为 .

二.解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.已知 a , b , c 为正实数, a ? b ? c ,
x y z

1 1 1 ? ? ? 0 ,求 abc 的值. x y z

12 .已知 F 1 , F2 分别是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,点 B 的坐标为 a 2 b2 (0, b) ,直线 F1B 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 P ,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分 1 线与 x 轴交于点 M .若 MF2 ? F1F2 ,求双曲线 C 的离心率. 2

13.如图,已知 ?ABC 是锐角三角形,以 AB 为直径的圆交边 AC 于点 D ,交边 AB 上的 高 CH 于点 E .以 AC 为直径的半圆交 BD 的延长线于点 G .求证: AG ? AE .

14. (1)正六边形被 3 条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成 4 个三角形.将每个三 角形区域涂上红、蓝两种颜色之一,使得有公共边的三角形涂的颜色不同.怎样分割并 涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大? (2)凸 2016 边形被 2013 条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成 2014 个三角 形.将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一,使得有公共边的三角形涂的颜色不 同. 在上述分割并涂色的所有情形中, 红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值 是多少?证明你的结论.

2006 年全国 1 卷理科第 12 题 设集合 I ? {1, 2,3, 4,5} ,选择 I 的两个非空子集 A 和 B ,要使 B 中最小的数大于 A 中最大 的数,则不同的选择方法共有(B) A.50 种 B.49 种 C.48 种 D.47 种 解法一,若集合 A、B 中分别有一个元素,则选法种数有 C52=10 种; 若集合 A 中有一个元素,集合 B 中有两个元素,则选法种数有 C53=10 种; 若集合 A 中有一个元素,集合 B 中有三个元素,则选法种数有 C54=5 种; 若集合 A 中有一个元素,集合 B 中有四个元素,则选法种数有 C55=1 种; 若集合 A 中有两个元素,集合 B 中有一个元素,则选法种数有 C53=10 种; 若集合 A 中有两个元素,集合 B 中有两个个元素,则选法种数有 C54=5 种; 若集合 A 中有两个元素,集合 B 中有三个元素,则选法种数有 C55=1 种; 若集合 A 中有三个元素,集合 B 中有一个元素,则选法种数有 C54=5 种; 若集合 A 中有三个元素,集合 B 中有两个元素,则选法种数有 C55=1 种; 若集合 A 中有四个元素,集合 B 中有一个元素,则选法种数有 C55=1 种; 总计有 49 种,选 B. 解法二:集合 A、B 中没有相同的元素,且都不是空集, 从 5 个元素中选出 2 个元素,有 C52=10 种选法,小的给 A 集合,大的给 B 集合; 从 5 个元素中选出 3 个元素,有 C53=10 种选法,再分成 1、2 两组,较小元素的一组给 A 集合,较大元素的一组的给 B 集合,共有 2×10=20 种方法; 从 5 个元素中选出 4 个元素,有 C54=5 种选法,再分成 1、3;2、2;3、1 两组,较小元 素的一组给 A 集合,较大元素的一组的给 B 集合,共有 3×5=15 种方法; 从 5 个元素中选出 5 个元素,有 C55=1 种选法,再分成 1、4;2、3;3、2;4、1 两组, 较小元素的一组给 A 集合,较大元素的一组的给 B 集合,共有 4×1=4 种方法; 总计为 10+20+15+4=49 种方法.选 B.

第 9 题的本质与推广 2014 年金海南最后一模试题 设整数 n≥ 3,集合 P ? {1,2,3,?,n},A,B 是 P 的两个非空子集.记 an 为所有满 足 A 中的最大数小于 B 中的最小数的集合对(A,B)的个数. (1)求 a3; (2)求 an. 解: (1)当 n ? 3 时,P ? {1,2,3 }, 其非空子集为:{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}, 则所有满足题意的集合对(A,B)为:({1},{2}),({1},{3}),({2},{3}), ({1},{2,3}) , ({1,2},{3})共 5 对, 所以 a3 ? 5 ; (2)设 A 中的最大数为 k,其中 1≤k≤n ? 1 ,整数 n≥ 3, 则 A 中必含元素 k,另元素 1,2,?,k ?1 可在 A 中,故 A 的个数为:
1 k ?1 k ?1 , C0 k ?1 ? Ck ?1 ? ??? ? Ck ?1 ? 2

?? 3 分

?? 5 分

B 中必不含元素 1,2,?,k,另元素 k ? 1,k ? 2,?,k 可在 B 中,但不能
2 n?k n?k 都不在 B 中,故 B 的个数为: C1 ?1 , n ? k ? Cn ? k ? ??? ? Cn ? k ? 2

?? 7 分

从而集合对(A,B)的个数为 2k ?1 ? 2n?k ? 1 ? 2n ?1 ? 2k ?1 , 所以 an ? ? ? 2n ?1 ? 2k ?1 ? ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 1 ? 2 ? (n ? 2) ? 2n ?1 ? 1 . 1? 2 k ?1
n ?1 n ?1

?

?

?? 10 分

an=C(n,2)· 1+C(n,3)·2+……+C(n,n)· (n-1) ∵C(n,k)· k=n· C(n-1,k-1) an=n· [2^(n-1)-1]-(2^n-1-n) =(n-2)· 2^(n-1)+1


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