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2013高考数学 易错题 失分点+补救训练 数列递推关系转化


失分点 16 例 16 已知函数 f(x)= 对数列的递推关系转化不当致误 2x 2 an * ,数列{an }满足 a1= ,an+1=f(an),bn= ,n∈N ,求数列 x+1 3 1-an {bn}的通项公式. 正解 ∵f(x)= 1 2x 2an 1 1 1 ,∴an+1=f(a n)= ,∴ = + . x+1 an+1 an+1 2 2an ∴ 1 1

an -1= ( -1),又 bn= , an+1 2 an 1-an 1 1 1 1 1 a1 ∴ = -1,∴ = · ,∴bn+1=2bn,又 b1= =2, bn an bn+1 2 bn 1-a1 ∴{bn}是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列,∴bn=2 . 补救训练 16 1 已知函数 f(x)满足:对任意的 x∈R,x≠0,恒有 f( )=x 成立,数列{an}、 n x {bn}满足 a1=1,b1=1,且对任意 n∈N ,均有 an+1= * anf(an) 1 ,bn+1-bn= . f(an)+2 an (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求数列{an}、{bn}的通项公式; (3)对于 λ ∈[0,1],是否 存在 k∈N ,使得当 n≥k 时,bn≥(1- λ )f(an)恒成立? * 若存在,试求 k 的最小值;若不存在,请说明理由. 1 1 解 (1)令 t= ,则 t≠0,∵f( )=x, x x 1 1 ∴f(t)= (t≠0), 即 f(x)= (x≠0). x 1 anf(an) 1 an (2)∵f(an)= ,∴an+1= = = , an f(an)+2 1 2an+1 +2 an ∴ 1 t an+1 an 1 1 1 = +2,即 - =2, an+1 an 1 1 ∴{ }是以 1 为首项,公差为 2 的等 差数列, an 1 ∴ =1+2(n-1)=2n-1,∴an= an 1 . 2n-1 1 又 bn+1-bn= =2n-1, an ∴bn-bn-1=2n-3, bn-1-bn-2=2n-5, bn-2-bn -3=2n-7, … … b3-b2=3, b2-b1=1, 把以上各式累加得,bn-b1=1+3+5+…+(2n-3) (1+2n-3)·(n-1) 2 2 = =n -2n+1,∴bn=n -2n+2. 2 (3)对于 λ ∈[0,1]时,bn≥(1-λ )f(an)恒成立,等价于 λ ∈[0,1]时,n -2n+2≥(1- 2 λ )·(2n-1)恒成立,等价于 λ ∈[0,1]时,(2n-1)·λ +n -4n+3≥0 恒成立 , 2 设 g(λ )=(2n-1)λ +n -4n+3≥0,对于 λ ∈[0,1], 2 (2n-1)·λ +n -4n +3≥0 恒成立, 则有? ? ?g(0)≥0, ?g(1)≥0, ? 2 解得 n ≥3 或 n≤1. 由此可见存在 k∈N ,使得当 n≥k 时,bn≥(1-λ )f(an)恒成立,其最小值为 3. * 2

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