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高中物理微元法


? 微元法
?将物理量分割成无数个微元,再对这些微元求和(积分), 就得到了物理量总的变化量。 ΣΔt=t, ΣΔx=x, ΣΔ v = v , ?将随时间变化的物理量,如力、速度、电流等,将时间分 割成无数个微元 Δt,每个微元中变量可以看作是不变的, 再对这些微小积累量求和(积分)。 ΣFΔt=m( v 2- v 1), Σ v Δt=x, ΣIΔt=Q 在电磁学中,这是一种很重要的计算方法。 t X

? 1.(2004 哈尔滨)如图所示,光滑导轨 EF、GH 等高平行放置,EG 间宽度为 FH 间宽度的

3 倍,导轨右侧水平且处于竖直向上的匀 强磁场中,左侧呈弧形升高。ab、cd 是质 量均为 m 的金属棒, 现让 ab 从离水平轨道 h 高处由静止下滑,设导轨足够长。试求: (1)、ab、cd 棒的最终速度; (2)、全过程中感应电流产生的焦耳热。
? 2.(1999 上海)如图所示,长电阻 r=0.3Ω 、m=0.1kg 的金

属棒 CD 垂直跨搁在位于水平面上的两条平行光滑金属导轨 上,两导轨间距也是 L,棒与导轨间接触良好,导轨电阻不计, 导轨左端接有 R=0.5Ω 的电阻,量程为 0~3.0A 的电流表串接 在一条导轨上,量程为 0~1.0V 的电压表接在电阻 R 的两端, 垂直导轨平面的匀强磁场向下穿过平面。现以向右恒定外力 F 使金属棒右移。当金属棒以 v =2m/s 的速度在导轨平面上匀速滑动时,观察到电路中的一个电表正好满偏,而另一个电 表未满偏。问:⑴此满偏的电表是哪个表?说明理由。⑵拉动金属棒的外力 F 多大?(3) 此时撤去外力 F,金属棒将逐渐慢下来,最终停止在导轨上。求从撤去外力到金属棒停止运 动的过程中通过电阻 R 的电量。
? 3.(2004 广州)如图所示,金属棒 ab 质量 m=5g,放在相距 L =1m、处于同一水平面上的两根光滑平行金属导轨最右端,导轨 1 K 2 距地高 h=0.8m,电容器电容 C=400μF,电源电动势 E=16V,整 E 个装置放在方向竖直向上、磁感应强度 B=0.5T 的匀强磁场中。 C 单刀双掷开关 S 先打向 1,稳定后再打向 2,金属棒因安培力的作 用被水平抛出,落到距轨道末端水平距离 x=6.4cm 的地面上;空 气阻力忽略不计,取 g=10m/s2.求金属棒 ab 抛出后电容器两端电 h 压有多高? ? 4.(南京 2010 三模)如图所示,两根足够长的平行金属导轨由 x 倾斜和水平两部分平滑连接组成,导轨间距 L ? 1m ,倾角θ =45°,水平部分处于磁感应强度 B ? 1T 的匀强磁场中,磁场方向竖直向上,磁场左边界
1

MN 与导轨垂直。金属棒 ab 质量 m 1 ? 02 kg ,电阻 R 1 ? 1? ,金属棒 cd 质量 m 2 ? 0 .2 kg , 电阻 R 2 ? 3? ,导轨电阻不计,两棒与导轨间动摩擦因数 ? ? 0 .2 。开始时,棒 ab 放在斜 导轨上,与水平导轨高度差 h ? 1m ,棒 cd 放在水平轨上,距 MN 距离为 s 0 。两棒均与导 轨垂直,现将 ab 棒由静止释放,取 g ? 10 m / s 。求:
2

(1)棒 ab 运动到 MN 处的速度大小; (2)棒 cd 运动的最大加速度; ( 3 ) 若 导 轨 水 平 部 分 光 滑 , 要 使 两 棒 不 相 碰 , 棒 cd 距 离 MN 的 最 小 距 离 s 0 。 b

a

h

N

d

M

c

S0 00 ? 5.(2010 模拟)如图所示,两根足够长的光滑直金属导 轨 MN、 PQ 平行固定在倾角 θ=37° 的绝缘斜 面上, 两导 R 轨间距 L=1m,导轨的电阻可忽略。M、P 两点间接有阻 值为 R 的电阻。 根质量 m=1kg、 一 电阻 r=0.2?的均匀 B 直金属杆 ab 放在两导轨上, 与导轨垂直且接触良 好。 整 F 套装置处于磁感应强度 B=0.5T 的匀强磁场中, 磁场方向 37° 垂直斜面向下。自图示 位置起,杆 ab 受到大小为 F= 0.5v+2(式中 v 为杆 ab 运动的速度,力 F 的单位为 N) 、 方向平行导轨沿斜面向下的拉力作用,由静止开始运动,测得通过电阻 R 的电流 随时 间均匀增大。g 取 10m/s2,sin37° =0.6。 ⑴试判断金属杆 ab 在匀强磁场中做何种 运动,并请写出推理过程; ⑵求电阻 R 的阻值; (3)求金属杆下滑 1m 所需的时间 t 以及 此过程产生的焦耳热。 ? 6.(2012 虹口二模)如图(甲)所示,MN、PQ 为水平放置的足够长的平行光滑导轨, 导轨间距 L 为 0.5m,导轨左端连接一个阻值为 2Ω 的定值电阻 R,将一根质量为 0.2kg 的金 属棒 cd 垂直放置在导轨上,且与导轨接触良好,金属棒 cd 的电阻 r=2Ω,导轨电阻不计, 整个装置处于垂直导轨平面向下的匀强磁场中, 磁感应强度为 B=2T。 若棒以 1m/s 的初速度 向右运动,同时对棒施加水平向右的拉力 F 作用,并保持拉力的功率恒为 4W,从此时开始 计时,经过一定时间 t 金属棒的速度稳定不变,电阻 R 中产生的电热为 3.2J,图(乙)为安 培力与时间的关系图像。试求: (1)金属棒的最大速度; (2)金属棒速度为 2m/s 时的加速度; (3)此过程对应的时间 t; (4)估算 0~3s 内通过电阻 R 的电量。

2

F 安/N M R c F 0.5 P d 图(甲) 0 1.0 3.0 2.0 图(乙) Q t/s N 1.0

参考答案
1 2 ? 1.解析: (1)由动能定理: m ? m v 2h g h v ? g(*此题动量不守恒) 2 ab 与 cd 匀速运动,则它们不受安培力作用,回路感应电动势为零,

E1=BL1v1,E2=BL2v2,则 v2=3v1 ab 与 cd 组成的系统受到安培力合力不为零,F1=3F2,动量不守恒, 用动量定理:ΣF1 ? Δt=m(v-v1) ,ΣF2 ? Δt=mv2, 1 3 得 v1 ? 2 gh v2 ? 2 gh 10 10 1 2 1 2 9h m g (2)系统能量守恒 Q g m m? ? h v? v m ? 1 2 2 2 1 0 ? 2.解析(1)U=I(R+r) ,当 U=1V 时,I=1.25A,所以电压表先满偏。 (2) E ?
R?r R U ? 1 . 6V ,因为 E=BLv,所以 BL=0.8, F ?

B Lv R?r

2

2

? 1 .6 N ,

(3)用动量定理, ΣF ? Δt=ΣBIL ? Δt=mv,BL ? ΣIΔt=mv,BLQ=mv, Q ?
? 3.解析:下落时间 t ?

mv BL

? 0 . 25 C

2h g

? 0 . 4 s , Q1 ? CE ? 6 . 4 ? 10 C ,

?3

根据动量定理,ΣF ? Δt=ΣBIl ? Δt=mv,Bl ? ΣIΔt=mv,BlQ=mv, mv Q ? Q2 ?3 Q2 ? ? 1 . 6 ? 10 C , U ? 1 ? 12 V Bl C 1 2 ? 4.解析: (1) m1 gh ? m1v , v ? 2 gh ? 2 5 m / s ? 4 .47 m / s 2 (2)ab 刚进入磁场时,感应电流最大,加速度最大
a max ? B l v m1 ( R1 ? R 2 )
2 2

?

5 2

m / s ? 1 . 12 m / s
2

2

(3)ab 和 cd 组成的系统受到合外力为零,动量守恒,最后稳定下来,具有共同的速度 v ' . v m1v ? ( m1 ? m 2 ) v ' , v ' ? ,设 ab 和 cd 的瞬时速度分别为 v1 和 v2, 2 感应电动势为 E ? BL ( v1 ? v 2 )
3

方法一: F1 ? m1 a1 ? m1
( v1 ? v 2 ) ? t ?

?v ?t

?

B L ( v1 ? v 2 )
2 2

R1 ? R 2

, ( v1 ? v 2 ) ? t ?

m1 ( R1 ? R 2 ) B L
2 2

?v

m1 ( R1 ? R 2 )
2 2

B L m (R ? R ) m (R ? R ) v 4 即 s0 ? 1 1 2 2 (v ? v ' ) ? 1 1 2 2 ? ? 2 2 B L B L 2 5

? v ,两边求和: ? ( v1 ? v 2 ) ? t ?

m1 ( R1 ? R 2 ) B L
2 2

?? v

5 m ? 1 . 79 m
B L
2 2

方法二:对 ab 运用动量定理, ? F ? ? t ? m1 ( v ? v ' ) ,即
s0 ? m1 ( R1 ? R 2 )
2 2

R1 ? R 2

? ( v1 ? v 2 ) ? ? t ? m1 ( v ? v ' ) ,

m1 ( R1 ? R 2 ) v 4 ? ? 5 m ? 1 . 79 m 2 2 B L B L 2 5 BLv ? kv ,因为 I 随时间均匀增大,所以 v 随时间均匀 ? 5.解析: (1)通过 R 的电流 I ? R?r 增大,导体棒做匀加速直线运动。 (v ? v ' ) ?

(2)合外力是恒力, F



? F ? mg sin ? ?

B Lv R?r

2

2

? 0 .5 v ? 2 ? 6 ?

0 . 25 R ? 0 .2

v?C

所以 R=0.3Ω ,F 合=8N, (3)a=8m/s , t ?
2

2x a

? 0 .5 s ,

Q??

E

2

R?r

? ?t ?

B L

2

2

R?r

?v ? ?t ?
2

B L

2

2

R?r
2 2

? ( at ) ? ? t ?
2

B La R?r

2

2

2

t ? 4J
3

? 6.解析: (1)金属棒的速度最大时,安培力也最大,为 1N,拉力等于安培力,

v max ?

P F

? 4m / s ,
B Lv
2 2

或 Fmax ?

B L v max R?r

? 0 . 25 v max ? 1 , v max ? 4 m / s ,

(2) F安 ?

R?r v (3)在此过程中,由动能定理得:
Pt ? W 安 = 1 2 m vm ?
2

? 0 .5 N , F ' ?

P

? 2N ,a ?

F '? F安 m

? 7 .5 m / s ,
2

1 2

m v0 ,
2

安培力做功全部转化为焦耳热,W 安=-(QR+Qr)= -2QR =-2× 3.2J=-6.4J 解出 t ?
m v m -m v 0 ? 2W 安
2 2

2?4 40 1 (4)图线与横轴之间共有 124 ? 15 ? ? 131.5 个小方格, 2 2P

?

0.2 ? 4 ? 0.2 ? 1 ? 2 ? 6.4
2 2

s=

79

s=1.975s

相应的“面积”为 131.5× 0.2× 0.1N· s=2.63 N· s,即 ? F安 ? ? t =2.63 N· s 故 q ? ? I ? ?t ?

?F



? ?t

?

2.63 2 ? 0.5

BL

C=2.63C

4


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