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交错级数收敛性的判别方法


南通工学院学报 2000- 12 Journal of Nantong Institute of Technology 文章编号: 1008- 2190( 2000) SO- 0023- 03

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交错级数收敛性的判别方法
葛建芳
摘 要: 把正项级数的比值审敛法与根值审敛法用于交错级数收敛性的判别, 并对莱布尼兹定理中的条件进

行了讨论。 关键词: 交错级数; 收敛; 发散 中图分类号: O174. 21 文献标识码: A

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若级数的各项符号正负相间 , 即:
n+ 1

定义 1

u1- u2+ u3 - u4+ + ( - 1) un + 或 - u1+ u2- u3 + u4 - + ( - 1) n un + 则称( 1) 为交错级数。 莱布尼兹( Leibnitz) 定理 ( ( ) 数列{ un } 单调递减 ; ) nlim un= 0 ,

( un > 0, n= 1, 2,

)

( 1)

若交错级数( 1) 满足下述两个条件:

则级数 ( 1) 收敛。 定义 2 若交错级数( 1) 满足莱布尼兹定理中的两个条件, 则把级数 ( 1) 称之为莱布尼兹型级数。

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比值( 根值) 审敛法在交错级数收敛性判别中的作用

我们知道, D' Alembert 比值审敛法与 Cauchy 根值审敛法在正项级数收敛性的判别中起着重要的作 用 , 这两种方法能鉴定出很大一部分正项级数的收敛性 , 且使用简单方便。 下面, 我们把这两种方法推广, 用于交错级数收敛性的判定。 un+ 1 定理 1 若交错级数( 1) 的后项绝对值与前项绝对值之比的极限等于 , 即 nlim un = 则 ( ) 当 < 1 时 , 交错级数( 1) 绝对收敛; ( ( 证: ( ( ) 当 > 1 或 = + 时 , 交错级数 ( 1) 发散 ; ) 当 = 1 时 , 交错级数( 1) 可能收敛也可能发散。 ) 当 < 1 时, 按比值审敛法, 正项级数
n= 1

un 收敛 , 即交错级数( 1) 绝对收敛。

) 当 > 1 时, 取一个适当小的正数 , 使得 - > 1, 按极限定义, 存在正整数 m, 当 n m 时, un+ 1 有不等式 n > - > 1 , 即 un + 1 > un 。 u n+ 1 所以当 n m 时, 数列 { un } 单增, 从而 nlim un 0, 所以 nlim ( n- 1) un 0 , 由级数收敛的必要条件知, 交错级数( 1) 发散。 (- 1) n+ 1 有 ( ) 当 = 1 时, 交错级数 ( 1) 可能收敛也可能发散。例如, 对于交错级数 n= 1 un+ 1 n+ 1 1 un+ 1 lim = 1 , 它是发散的 ; 对于交错级数 , 亦有 , 它是条件收敛的。 ( 1) lim = 1 n un n n un n= 1

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学 院





2000 年

例1

判别级数
n= 1

( - 1) n+ 1

( n! ) 2 的敛散性。 ( 2n) !

解 : 此为交错级数 , un+ 1 ( n+ 1) ! 2 lim = lim n n un 2( n+ 1) ! 该交错级数绝对收敛。 例2
3n

( 2n ) ! ( n+ 1 ) 2 1 = < 1 2= lim n ( n! ) ( 2n+ 1 ) ( 2n+ 2 ) 4

n n 2 的收敛性 un+ 1 3n+ 1 n 2n 3 lim = lim = > 1 n+ 1 n un ( n+ 1 ) 2 3n 2 解: n

判别级数

( - 1) n

n= 1

该交错级数发散。 同样地 , 把根值收敛法用于交错级数 , 可得 : 定理 2 若交错级数( 1) 的一般项的绝对值 un 的 n 次根的极限等于 , 即 则 ( ) 当 < 1 时, 交错级数( 1) 绝对收敛 ; ( ( ) 当 > 1或 = + 时 , 交错级数( 1) 发散; ) 当 = 1 时, 交错级数( 1) 可能收敛也可能发散。
n

lim

n

un =

2
(

莱布尼兹定理的推广
在判别某交错级数非绝对收敛后, 接下来就要判别该级数是否条件收敛。莱布尼兹定理中的条件 ) 是充分而非必要的, 也就是说某些交错级数虽不满足 un + 1 un , 但有可能是收敛的。 un+ 1 在定理 1 的证明过程中 , 当 nlim un = 1 时, 所举的两个例子 , 对于前者 nlim un 0, 级数发散; 对于后

n 者 nlim u = 0 , 级数收敛。 若把莱布尼兹定理中的条件 (

un+ 1 ) 放宽为nlim un = 1, 定理的结论是否仍成立呢?

可以通过下例来说明。 例3 判别级数
n=

( 1 )n 1 ( + n ) 的收敛性。 1 n 1
1 + n > 0 ; 当 n 为奇数时, 一般项 un= n
1 n

解 : 当 n 为偶数时 , 一般项 un= 该级数是交错级数。 ( 1) n 1 ( + )= n 1 n

1 1 + < 0 , 因此 n n

n=

n=

(- 1)n + 1 n

n= 1

( 1) n 1 1 ( - 1) n ( + n ) 是发散的。 条件收敛, 级数 发散 , 从而该级数 n= 1 n n= 1n n= 1 n un+ 1 对于此交错级数 , 有 nlim un = 1, 且 nlim un= 0 , 它是发散的。这表明, 若把莱布尼兹定理中的条件 un+ 1 ( ) 改为 nlim un = 1 , 定理的结论便不再成立。尽管如此, 我们仍可以把莱布尼兹定理的判别范围加以 拓宽。 级数 定理 3 设交错级数( 1) 是莱布尼兹型级数 , 其和为 s, 依次把相邻两项交换位置, 即第一项与第二项 ( 2)
2n

交换, 第三项与第四项交换 , 得到如下交错级数: - u2+ u1 - u4+ u3- - u2n + u2n - 1则交错级数 ( 2) 仍是收敛的, 且其和不变。 证 : 记交错级数( 1) 的前 2n 项和为 S2n , 交错级数 ( 2) 的前 2n 项和为 S ,则

葛建芳: 交错级数收敛性的判别方法

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S 2n = ( u1 - u2 ) + ( u3 - u4 ) +

+ ( u2n - 1- u2n )

S 2n = ( - u2 + u1 ) + ( - u4 + u3 ) + + ( - u2n + u2n - 1 ) 显然 S2n = S 2n , 交错级数 ( 1) 是莱布尼兹型级数 , 它是收敛的 , 有nlim un= 0 , 且 nlim S2n= S , 则 nlim S 2n= nlim S2n= S ,
n

lim S 2n+ 1= nlim ( S 2n- u2n+ 2 )= lim S 2n- limu2n+ 2 = S- 0= S n n

由于级数( 2) 的前偶数项的和与奇数项的和趋于同一极限 S, 故级数 ( 2) 收敛, 且和仍为 S。 由定理 3 可得 : 定理 4 若某交错级数相邻两项交换位置( 即 2k- 1 项与 2k 项交换 , k= 1, 2, (- 1) n 的收敛性。 n+ ( - 1 ) n 1 + 2
1 5 1 4 + + 1 2n+ 1 1 + 2n

) 后, 成为莱布尼兹型

级数, 则该级数收敛。 例 4 判别级数
n= 2

解 : 该级数即为

1 3

, 不满足

un + 1 un , 不可用莱

布尼兹定理判别其敛散性 , 把相邻两项交换次序, 得到级数: 1 1 1 1 1 1 + + - + 2 3 4 5 2n 2n+ 1 是莱布尼兹型级数 , 根据定理 4, 原级数是收敛的。

参考文献:
[ 1] 同济大学数学教研室 . 高等数学[ M] . 北京: 高等教育出版社, 1996. [ 2] 华东师范大学数学系 . 数学分析[ M] . 北京: 人民教育出版社, 1980.

( 作者单位 : 南通工学院)


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