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【南方新课堂】2015年高考数学(理)总复习课时检测:第5章 第3讲 算术平均数与几何平均数]


第3讲

算术平均数与几何平均数

1.若 A 为两正数 a,b 的等差中项,G 为两正数 a,b 的等比中项,则 ab 与 AG 的大小 关系为( ) A.ab≤AG B.ab≥AG C.ab>AG D.ab<AG 2.(2012 年陕西)小王从甲地到乙地的往返时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均时速 为 v,则( ) A.a<v< ab B.v= ab a+b a+b C. ab<v< D.v= 2 2 1 3.若函数 f(x)=x+ (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a=( ) x-2 A.1+ 2 B.1+ 3 C.3 D.4 xy 2 4.(2013 年山东)设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0,则当 取得最大值时, + z x 1 2 - 的最大值为( ) y z 9 A.0 B.1 C. D.3 4 4 5.(2012 年上海)函数 y=log2x+ (x∈[2,4])的最大值是________. log2x 6.(2012 年天津)设 m,n∈R,若直线 l:mx+ny-1=0 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相 交于点 B,且 l 与圆 x2+y2=4 相交所得弦的长为 2,点 O 为坐标原点,则△AOB 面积的最 小值为________. 7.(2011 年浙江)若实数 x,y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是________. 8.若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围为__________,a+b 的取值范围 为__________. 1 9.已知函数 f(x)= x3-ax2+10x(x∈R). 3 (1)若 a=3,点 P 为曲线 y=f(x)上的一个动点,求以点 P 为切点的切线斜率取最小值时 的切线方程; (2)若函数 y=f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,试求 a 的取值范围.

10. 某地区要建造一条防洪堤, 其横断面为等腰梯形, 腰与底边成角为 60° (如图 K531), 考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为 9 3平方米,且高度不 低于 3米.记防洪堤横断面的腰长为 x(单位:米),外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的 和)为 y(单位:米). (1)求 y 关于 x 的函数关系式,并指出其定义域; (2)要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米,则其腰长 x 应在什么范围内? (3)当防洪堤的腰长 x 为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长 最小)?求此时外周长的值.

图 K531

第3讲
1.A 3.C

算术平均数与几何平均数
2.A 解析:∵x>2,∴f(x)=x+ 1 1 =(x-2)+ +2≥2 x-2 x-2 1 ?x-2?· +2=4, x-2

1 当且仅当 x-2= ,即 x=3 时取等号. x-2 4.B 解析:∵x2-3xy+4y2-z=0, ∴z=x2-3xy+4y2,又 x,y,z 均为正实数, xy xy 1 1 ∴ = 2 = ≤ =1(当且仅当 x=2y 时取“=”), z x -3xy+4y2 x 4y x 4y + -3 2 · - 3 y x y x xy ? ∴? ? z ?max=1,此时,x=2y. ∴z=x2-3xy+4y2=(2y)2-3×2y×y+4y2=2y2. 1 ?2 2 1 2 1 1 1 ∴ + - = + - 2=-? ?y-1? +1≤1. x y z y y y 2 1 2 ∴ + - 的最大值为 1. x y z 5.5 1? ?1 ? 6.3 解析:直线与两坐标轴的交点坐标为 A? ?0,n?,B?m,0?,直线与圆相交所得的 弦长为 2,圆心到直线的距离 d 满足 d2=r2-12=4-1=3,∴d= 3,即圆心到直线的距离 |-1| 1 1? 1 ? ?1? 1 1 1 2 2 d= = .又 S= ≥ 2 =3,当且仅 2 2= 3,∴m +n =3.S△ABC=2?m?· n ? ? 2| mn | m +n2 2| mn| m +n 当|m|=|n|= 7. 2 - 2 3 3 6 时取等号,∴S△ABC 的最小值为 3. 6 解析: ∵x2+y2+xy=1, ∴(x+y)2-xy=1.即(x+y)2-? x+y?2 4 2 ? 2 ? ≤1.∴(x+y) ≤3,

3 2 3 ≤x+y≤ . 3 3 8.[9,+∞) [6,+∞) 解析一:由 ab=a+b+3≥2 ab+3,即 ab-2 ab-3≥0, 即( ab-3)( ab+1)≥0,∵ ab≥0,∴ ab+1≥1,故 ab-3≥0, ∴ab≥9.当且仅当 a=b=3 时取等号. a+ b a+b?2 ∵ ab≤ ,∴ab=a+b+3≤? 2 ? 2 ?. 即(a+b)2-4(a+b)-12≥0, (a+b-6)(a+b+2)≥0, ∵a+b+2>0,有 a+b-6≥0,即 a+b≥6, ∴a+b 的取值范围是[6,+∞). 当且仅当 a=b=3 时取等号. a+3 解析二:由 ab=a+b+3,则 b= , a-1 4a 4 4 ab=a+ =a+4+ =a-1+ +5 a-1 a-1 a-1 4 ≥2 ?a-1?· +5=9,当且仅当 a=b=3 时取等号. a-1 ∴ab 的取值范围是[9,+∞).

a+3 由 ab=a+b+3,则 b= , a-1 a+3 4 4 a+b=a+ =a+1+ =a-1+ +2 a-1 a-1 a-1 4 ≥2 ?a-1?· +2=6,当且仅当 a=b=3 时取等号. a-1 ∴a+b 的取值范围是[6,+∞). 9.解:(1)设切线的斜率为 k, 则 f′(x)=x2-6x+10=(x-3)2+1. 显然当 x=3 时切线斜率取最小值 1,又 f(3)=12, ∴所求切线方程为 y-12=x-3,即 x-y+9=0. (2)f′(x)=x2-2ax+10. ∵y=f(x)在 x∈(0,+∞)为单调递增函数, 即对任意的 x∈(0,+∞),恒有 f′(x)≥0, x2+10 x 5 即 f′(x)=x2-2ax+10≥0,∴a≤ = + . 2x 2 x x 5 而 + ≥ 10,当且仅当 x= 10时,等号成立, 2 x ∴a≤ 10. 1 10.解:(1)9 3= (AD+BC)h, 2 x 3 其中 AD=BC+2·=BC+x,h= x, 2 2 1 3 18 x ∴9 3= (2BC+x)· x,得 BC= - . 2 2 x 2

?h= 23x≥ 3, 由? 18 x ?BC= x -2>0,

得 2≤x<6.

18 3x ∴y=BC+2x= + (2≤x<6). x 2 18 3x (2)y= + ≤10.5,得 3≤x≤4. x 2 ∵[3,4]?[2,6),∴腰长 x 的范围是[3,4]. 18 3x 18 3x (3)y= + ≥2 · =6 3, x 2 x 2 18 3x 当且仅当 = ,即 x=2 3∈[2,6)时等号成立. x 2 ∴外周长的最小值为 6 3米,此时腰长为 2 3米.


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