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例说用二次函数求图形面积的最值


例说用二次函数求图形面积的最值

二次函数常用来解决最优化问题这类问题。 而图形面积最优化问题已 经走进各省市的中考试卷。下面分类予以说明。
一、围成图形面积的最值

1、 只围二边的矩形的面积最值问题
例1、 如图 1,用长为 18 米的篱笆(虚线部分)和两面墙围成矩形苗 圃。 (1) 设矩形的一边长为 x(米) ,面积为 y(平方米) ,求 y 关于 x 的 函数关系式; (2) 当 x 为何值时,所围成的苗圃面积最大?最大面积是多少? 分析:关键是用含 x 的代数式表示出矩形的长与宽。 解: (1)设矩形的长为 x(米) ,则宽为(18- x) (米) , 根据题意,得: y ? x(18 ? x) ? ? x 2 ? 18x ; 又∵ ?

?x>0 ,? 0 <x<18 ?18 ? x>0

(2)∵ y ? x(18 ? x) ? ? x 2 ? 18x 中,a= -1<0,∴y 有最大值, 即当 x ? ?

b 18 4ac ? b 2 0 ? 182 ?? ? 9 时, y max ? ? ? 81 2a 2 ? (?1) 4a 4 ? (?1)

故当 x=9 米时,苗圃的面积最大,最大面积为 81 平方米。 点评:在回扣问题实际时,一定注意不要遗漏了单位。

2、 只围三边的矩形的面积最值
例2、 如图 2,用长为 50 米的篱笆围成一个养鸡场,养鸡场的一面靠 墙。问如何围,才能使养鸡场的面积最大? 分析:关键是明确问题中的变量是哪两个,并能准确布列出函数关系式 解:设养鸡场的长为 x(米) ,面积为 y(平方米) ,则宽为( (米) , 根据题意,得: y ? x(

50 ? x ) 2

50 ? x 1 ) ? ? x 2 ? 25 x ; 2 2

? x> 0 ? 又∵ ? 50 ? x ,? 0 <x< 50 >0 ? 2 ?
∵ y ? x(

50 ? x 1 1 ) ? ? x 2 ? 25 x 中,a= ? <0,∴y 有最大值, 2 2 2

b 即当 x ? ? ?? 2a

25 1 2 ? (? ) 2

? 25 时, y max

4ac ? b 2 0 ? 252 625 ? ? ? 1 4a 2 4 ? (? ) 2
625 平方米。 2

故当 x=25 米时,养鸡场的面积最大,养鸡场最大面积为

点评:如果设养鸡场的宽为 x,上述函数关系式如何变化?请读者自己完成。

3、 围成正方形的面积最值 例 3、 将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段, 并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形. (1)要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2, 那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是 多少? (2)两个正方形的面积之和可能等于 12cm2 吗? 若能,求出两段铁丝的长度;若不能, 请说明理由.
(1)解:设剪成两段后其中一段为 xcm,则另一段为(20-x)cm 由题意得:

x 20 ? x 2 ( )2 ? ( ) ? 17 4 4

解得: x1 ? 16, x2 ? 4 当 x1 ? 16时,20-x=4;当 x2 ? 4 时,20-x=16 答:这段铁丝剪成两段后的长度分别是 16 厘米、4 厘米。 (2)不能 理由是:设第一个正方形的边长为 xcm,则第二个正方形的边长为 成两个正方形的面积为 ycm , 根据题意,得: y ? x ? (5 ? x) ? 2x ? 10x ? 25 ,
2 2 2
2

20 ? 4 x ? (5 ? x) cm,围 4

∵ y ? x ? (5 ? x) ? 2x ? 10x ? 25 中,a= 2>0,∴y 有最小值,
2 2 2

b ? 10 5 4ac ? b 2 4 ? 2 ? 25 ? 102 25 ?? ? 时, y min ? ? ? 即当 x ? ? =12.5 2a 2? 2 2 4a 4? 2 2
>12,故两个正方形面积的和不可能是 12cm .
2

4、 围成扇形的面积最值
例 4 用长为 30 米的铁丝围成一个扇形,问如何围扇形的面积最大? 解: 如图 3,设围成扇形的半径为 R 米,则围成扇形的弧长为(30-2R)米, 扇 形的面积为 y(平方米), 根据题意,得: y ?

1 1 lR ? (30 ? 2 R) R ? ? R 2 ? 15 R 2 2 1 1 2 ∵ y ? lR ? (30 ? 2 R) R ? ? R ? 15 R 中, 2 2
a= -1<0,∴y 有最大值,

即当 R ? ?

b 15 15 4ac ? b 2 0 ? 152 225 ?? ? 时, y max ? ? ? 2a 2 ? (?1) 2 4a 4 ? (?1) 4
15 225 米时,扇形的面积最大,最大面积为 平方米。 2 4

故当围成的扇形的半径 R 是

二、截出图形面积的最值问题 例 5 如图 4,△ABC 是一块锐角三角形的余料,边 BC=120mm,高 AD=80mm,要把它加工成长方 形零件 PQMN ,使长方形 PQMN 的边 QM 在 BC 上,其余两点 P、N 在 AB、AC 上。 (1) 问如何截才能使长方形 PQMN 的面积 S 最大? (2) 在这个长方形零件 PQMN 面积最大时, 能 否将余下的材料△APN、 △BPQ △NMC 剪 下再拼成(不计接缝用料和损耗)一个 与长方形零件 PQMN 大小一样的长方 形?若能,给出一种拼法;若不能,试 说明理由。 分析: 解题的关键是利用几何知识求得函数关系 式,再利用函数的性质加以解决问题。 解: (1)设长方形零件 PQMN 的边 PN=a mm,PQ=x mm,则 AE=AD-ED=AD-PQ=(80- x)mm, ∵PN∥BC ∴△APN∽△ABC,∴

PN AE ? (相似三角形的对应高的比等于相似比) BC AD



? x>0 a 80 ? x 3 ? , 解得: a ? 120 ? x ,∵ ? ,∴0<x<80 120 x 2 ?80 ? x>0

3 3 x) ? x 2 ? 120 x (0<x<80) ? 2 2 3 3 3 120 ? x) ? x 2 ? 120 x (0<x<80)中,a= ? <0,∴S 有最大值, ? ∵S= a ? x ? x( 2 2 2 120 ? ∴S= a ? x ? x(
即当 x ? ?

b ?? 2a

4ac ? b 2 0 ? 1202 120 ? ? 2400 ? 40 时, s max ? 3 3 4a 4 ? (? ) 2 ? (? ) 2 2

故当截得的长方形零件 PQMN 的长为 60 mm,宽为 40 mm 时,长方形零件 PQMN 的面积最大, 2 最大面积为 2400mm 。 点评:长方形零件 PQMN 的面积最大时,PN 恰好是三角形的中位线。 (2)能。 理由是:

1 ? 120? 80 ? 4800 ,长方形零件的最大面 积为2400 ,因此, 2 余料的面积也是 2400 ,所以从理论上说,还 能拼成一个和长方形 PQMN s▲ABC ? 大小一样的长方形。
拼法: 1、 作△ABC 的中位线 PN,

2、 分别过 P、N 两点作 BC 的垂线,垂足分别为 Q、M, 3、 过 A 作 BC 的平行线,分别交 QP、MN 的延长线于 G、H 两点 因此,四边形 PNGH 即为和长方形 PQMN 大小一样的长方形。 例 6 如图 6,在直角梯形 ABCD 中,∠A=∠D=90°,截取 AE=BF=DG =x,已知 AB=6, CD=3,AD=4。 求: (1)四边形 CGEF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式; (2) 四边形 CGEF 的面积 S 是否存在着最小值?若存在, 求出最小值;若不存在,请说明理由。 解: (1)梯形 ABCD 的面积为= S△AEF=

1 1 AE×AF= 2 2 1 1 S△DGE= DE×DG= 2 2 1 1 S△BCF= BF×DA= x×4=2x; 2 2 1 2 1 2 所以,S=18-(3x- x )-(2x- x )-2x 2 2
2

1 ? (3 ? 6) ? 4 =18, 2 1 2 x(6-x)=3x- x ; 2 1 2 x(4-x)=2x- x ; 2

=x -7x+18; 因为:GC>0、DE>0、AF>0,所以 6-x>0、3-x>0、4-x>0、x>0 所以 0<x<3 因此自变量 x 的取值范围是:0<x<3。 (2)因为 S =x -7x+18=(x范围是:0<x<3,所以 x=
2

7 2 23 7 )+ ,故当 x= 时,面积有最小值,而自变量 x 的取值 2 2 4

7 根本不在这个范围内,因此面积不存在最小值。 2

三、采光面积的最值 例 7 用 19 米长的铝合金条制成如图所示的矩形的窗框。 (1) 求窗框的透光面积 S(平方米)与窗框的宽 x(米)之间的函数 关系式; (2) 求自变量 x 的取值范围; (3) 问如何设计才能使窗框透过的面积最大?最大的透光面积是多 少? 分析:关键是用含 x 的代数式表示出 BC 的长。 解:(1) 由图示的信息,可得:3BC+2×0.5+3 x=19, 所以, BC=6 –x,所以 AC=AB+BC=(6 –x+0.5)米, 所以, S=(6 –x+0.5) x= -x +
2

13 x; 2

(2)由题意,得:x>0,6-x>0,所以 0<x<6,因此自变量 x 的取值范围是:0<x<6, (3)∵S=(6 –x+0.5) x= -x +
2

13 x 中,a= -1<0,∴S 有最大值, 2

13 13 0 ? ( )2 2 b 13 4ac ? b 2 ? 169 ?? 2 ? 时, S max ? ? 即当 x ? ? 2a 2 ? ( ?1) 4 4a 4 ? (?1) 16
故当 x=

13 169 米时,窗框的面积最大,最大面积为 平方米。 4 16

四、动态图形面积的最值 例 8 如图 8,如图 9,在平行四边形 ABCD 中,AD=4 cm,∠A=60°,BD⊥AD. 一动点 P 从 A 出发,以每秒 1 cm 的速度沿 A→B→C 的路线匀速运动,过点 P 作直线 PM,使 PM⊥AD . (1) 当点 P 运动 2 秒时,设直线 PM 与 AD 相交于点 E,求△APE 的面积; (2) 当点 P 运动 2 秒时,另一动点 Q 也从 A 出发沿 A→B→C 的 路线运动,且在 AB 上以每秒 1 cm 的速度匀速运动,在 BC 上以每秒 2 cm 的速度匀速运动. 过 Q 作直线 QN,使 QN∥PM. 设点 Q 运动的 时间为 t 秒(0≤t≤10),直线 PM 与 QN 截平行四边形 ABCD 所得图形的 2 面积为 S cm . ① 求 S 关于 t 的函数关系式;

② 求 S 的最大值.
3 . 2

解:(1) 当点 P 运动 2 秒时,AP=2 cm,由∠A=60°,知 AE=1,PE= 3 .∴ SΔ APE=

(2) ① 当 0≤t≤6 时,点 P 与点 Q 都在 AB 上运动,设 PM 与 AD 交于点 G,QN 与 AD 交 t t 3 3 于点 F,则 AQ=t,AF= ,QF= t. t ,AP=t+2,AG=1+ ,PG= 3 ? 2 2 2 2 3 3 ∴ 此时两平行线截平行四边形 ABCD 的面积为 S= . t? 2 2 当 6≤t≤8 时,点 P 在 BC 上运动,点 Q 仍在 AB 上运动. 设 PM 与 DC 交于点 G,QN 与 t t 3 AD 交于点 F,则 AQ=t,AF= ,DF=4- ,QF= t ,BP=t-6,CP=10-t,PG= (10 ? t ) 3 , 2 2 2 而 BD= 4 3 ,故此时两平行线截平行四边形 ABCD 的面积为 S= ?
5 3 2 t ? 10 3t ? 34 3 . 8

当 8≤t≤10 时,点 P 和点 Q 都在 BC 上运动. 设 PM 与 DC 交于点 G,QN 与 DC 交于点 F, 则 CQ=20-2t,QF=(20-2t) 3 ,CP=10-t,PG= (10 ? t ) 3 . ∴ 此时两平行线截平行四边形 ABCD 的面积为 S=
3 3 2 t ? 30 3t ? 150 3 . 2

? 3 3 , (0 ? t ? 6) ? t? 2 2 ? ? 5 3 2 ? 故 S 关于 t 的函数关系式为 S ? ?? t ? 10 3t ? 34 3, (6 ? t ? 8) ? 8 ?3 3 2 t ? 30 3t ? 150 3. (8 ? t ? 10) ? ? 2 ?

7 3 2 当 6≤t≤8 时,S 的最大值为 6 3

②当 0≤t≤6 时,S 的最大值为

当 8≤t≤10 时,S 的最大值为 6 3 所以当 t=8 时,S 有最大值为 6 3 .


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