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3.1.2 用二分法求方程的近似解


3.1.2 用二分法 求方程的近似解

知识回顾
零点概念: 等价关系 :
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实 数x叫做函数y=f(x)的零点.

方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x) 的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

零点存在定理: 如果函数y=f(x)的图象在区间[

a,b]上
连续不断、且f(a)· f(b)<0,那么函数 y=f(x)在区间[a,b]上必有零点.

问题:你会解下列方程吗?

2x-6=0;

似曾相识 2 2x -3x+1=0;

那你会解这个方程吗? ln x ? 2 x ? 6 ? 0
我们已经知道它有且只有一个解在(2,3)之间 你会求方程 ln x ? 2 x ? 6 ? 0 的近似解吗?

思 路

?

求方程根的问题 相应函数的零点问题

?

求方程 ln x ? 2 x ? 6 ? 0的近似解的问题 可以转化为函数 f ? x? ? ln x ? 2x ? 6 在区 间(2,3)内零点的近似值。

如何找到零点近似值 ??

生活实例
某个雷电交加的夜晚,医院的医生正在抢救一个危 重病人,忽然电停了,医院采取了应急措施。据了解原 因是供电站到医院的某处线路出现了故障,维修工如何 迅速查出故障所在? (线路长10km,每50m一棵电线杆)
如果沿着线路一小段一小段查找,困难 很多。每查一个点要爬一次电线杆子, 10km长,大约有200根电线杆子。

想一 想

维修线路的工人师 傅怎样工作合理?

探索问题 提取原理 如图,设供电站和医院的所在处分别为点A、B(间距10km) A
(供电站)

C
取中点

E

D

B
(医院)

这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半

这能提供求确定

函数零点的思路吗
思路:用区间两个端点的中点, 将区间一分为二……

新知探究 你有进一步缩小函数零点的范围的方法吗?
f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6

2.5

2

2.625

2.75

3

概念形成

二分法的定义:
对于在区间? a, b ? 上连续不断且f (a) ? y ? f ( x),

f (b) ? 0的函数

通过不断的把函数f ( x)的零点所在区间

一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点
,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

想一想?
二分法的理论依据是什么?

给定精确度 0.1 ,求f ?x ? ? ln x ? 2 x ? 6零点在?2, 3? 近似值. 初始区间(2,3) 且 f (2) ? 0, f (3) ? 0
次数

a?b 2
2.5 2.75 2.625 2.5625

a?b f( ) 2
-0.084
0.512 0.215 0.066

取a ?

取b ?

区间长度:

b?a
0.5 0.25 0.125 0.0625

1
2 3 4

2.5 3 3) (2.5,
2.5 2.75) 2.75 (2.5, (2.5, 2.625)

(2.5, 2.5625)

由于|2.5625-2.5|=0.0625<0.1 所以方程的近似解为:

f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6

x ? 2.5625或2.5
2.5

2
2.562

2.65

2.75 3

探究归纳
给定精确度?,用二分法求函数零点近似值的步骤如下:
1.确定区间[a,b],验证f(a)· f(b)<0,给定精确度ε ; 2.求区间(a,b)的中点c; 3.计算f(c); (1)若f(c)=0,则c就是函数的零点; (2)若f(a)· f(c)<0,则令b= c(此时零点x0∈(a, c) ); (3)若f(c)· f(b)<0,则令a= c(此时零点x0∈( c, b) ). 4.判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b); 否则重复步骤2~4.

小试牛刀

例1:借助计算器或计算机用二分法求方 程2x+3x=7的近似解(精确度0.1).
先确定零点的范围;再用二分法去求方程的近似解

列表

x
f ? x ? ? 2 x ? 3x ? 7

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-6

-2

3

10

21

40

75

142

273

绘制函数图像

4

3

f? x? = ?2x+3? x?-7

2

1

-2 -1

0

1

2

4

6

8

10

-2

-3

-4

-5

-6

解:由图像和函数值表可知,f ?1? ? 0, f ? 2 ? ? 0, 则f ?1? ? f ? 2 ? ? 0, 所以f ? x ? 在 ?1, 2 ?内有一个零点x0 .

取 ?1, 2 ? 区间的中点x1 ? 1.5, f ?1.5 ? ? 0.33,因为

f ?1? ? f ?1.5 ? ? 0所以x0 ? ?1,1.5 ? .

取(1,1.5)的中点x2=1.25 ,f(1.25)= -0.87, 因为f(1.25)· f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5) 同理可得, x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375, 1.4375),由于 |1.375-1.4375|=0.0625< 0.1 所以,原方程的近似解可取为1.4375或1.375

概念拓展 实践探究

例 1下列函数的图像中,其中不能用二分法求解其零点的 2. 是( C )
y y y y

0

x

0

x

0

x

0

x

A

B

c

D

注意:二分法仅对函数的变号零点适用,对函数的

不变号零点不适用.

【变式与拓展】

1.图 3-1-3 是函数 f(x)的图象,它与 x 轴有 4 个不同的交点.
给出下列四个区间,不能用二分法求出函数 f(x)的零点近似值的 是( B )

A.(-2.1,-1) B.(1.9,2.3) C.(4.1,5) D.(5,6.1) 图 3-1-3

解析:只有 B 中的区间所含零点是不变号零点.

①③ 2.下列函数中,函数________能用二分法求其近似零点 . ①y=2x+3;②y=x2+2x+1;③y=-3+lgx. 解析:根据函数的图象,可知:①③的零点是变号零点, ②的零点是不变号零点.

例3.用二分法求函数y=f(x)在(3,4)内零点近似值的过 程中得到f(3)<0,f(3.5)>0,f(3.25)<0,则下面一定存在 零点的区间是( ) A.(3,3.25)B.(3.25,3.5)C.(3.5,4)D.不能确定

通过本节课的学习,你学会了 哪些知识? 基本知识:1. 二分法的定义; 2.用 二分法求解方程的近似解的步骤. 二分法求方程近似解的口诀: 定区间,找中点, 同号去,异号算, 周而复始怎么办? 中值计算两边看; 零点落在异号间; 精确度上来判断.


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