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2013年全国高校自主招生数学模拟试卷4


2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷四
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
1.已知△ABC,若对任意 t∈R,

|→-t→|≥|→|,则△ABC 一定为 BA BC AC
D.答案不确定 C. x>1 D. 0<x<1

A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 2.设 logx(2x2+x-1)>logx2-1,则 x 的取值范围为 1 A.2<x<1 1 B.x>2且 x≠1

3.已知集合 A={x|5x-a≤0},B={x|6x-b>0},a,b∈N,且 A∩B∩N={2,3,4},则整 数对(a,b)的个数为 A.20 B.25 C.30 D.42 π 4.在直三棱柱 A1B1C1-ABC 中,∠BAC=2,AB=AC=AA1=1.已知 G 与 E 分别为 A1B1 和 CC1 的中点,D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点(不包括端点).若 GD⊥EF,则线段 DF 的长度的取值范围为 1 1 1 A.[ ,1) B.[5,2) C.[1, 2) D.[ , 2) 5 5 5.设 f(x)=x3+log2(x+ x2+1),则对任意实数 a,b,a+b≥0 是 f(a)+f(b)≥0 的 A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 - 6.数码 a1,a2,a3,…,a2006 中有奇数个 9 的 2007 位十进制数 2a1a2…a2006 的个数为 1 A.2(102006+82006) 1 B.2(102006-82006) C.102006+82006 D.102006-82006

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
7. 设 f(x)=sin4x-sinxcosx+cos4x,则 f(x)的值域是 . 8. 若对一切 θ∈R,复数 z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i 的模不超过 2,则实数 a 的取值范围 为 . x2 y2 9. 已知椭圆16+ 4 =1 的左右焦点分别为 F1 与 F2, P 在直线 l: 点 x- 3y+8+2 3=0 上. 当 |PF1| ∠F1PF2 取最大值时,比|PF |的值为
2



1 10.底面半径为 1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为2cm 的实心铁球,四个球两两相切, 其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注 水 cm3. 11.方程(x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005 的实数解的个数为 . 12. 袋内有 8 个白球和 2 个红球,每次从中随机取出一个球,然后放回 1 个白球,则第 4 次 恰好取完所有红球的概率为 .

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)
13. 给定整数 n≥2,设 M0(x0,y0)是抛物线 y2=nx-1 与直线 y=x 的一个交点. 试证明对任 意正整数 m, 必存在整数 k≥2, m, m)为抛物线 y2=kx-1 与直线 y=x 的一个交点. 使(x 0 y 0

14.将 2006 表示成 5 个正整数 x1,x2,x3,x4,x5 之和.记 S= ⑴ 当 x1,x2,x3,x4,x5 取何值时,S 取到最大值;

1≤i<j≤5

Σ

xixj.问:

⑵ 进一步地,对任意 1≤i,j≤5 有|xi-xj|≤2,当 x1,x2,x3,x4,x5 取何值时,S 取 到最小值. 说明理由.

15.设 f(x)=x2+a. 记 f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn 1(x)),n=1,2,3,…, 1 M={a∈R|对所有正整数 n,|fn(0)|≤2}.证明,M=[-2,4].



2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷四
参考答案
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
答 C. 解:令∠ABC=α,过 A 作 AD⊥BC 于 D,由

|→-t→|≥|→|,推出 BA BC AC
2

| |

→ BA

2

→ → → -2t BA · BC +t2 BC

| | | |
2 2

→ ≥ AC

→ → BA · BC ,令 t= ,代入上式,得 → 2 BC

| |

|→| -2|→| cos α+|→| cos α≥|→| ,即 |→| sin α≥|→| , BA BA BA AC BA AC π → → → → 也即| BA |sinα≥| AC |.从而有| AD |≥| AC |.由此可得∠ACB=2.
2 2

2

2

2

2

2

2

答 B.
?x>0,x≠1 1 解:因为? 2 ,解得 x>2且 x≠1.由 logx(2x2+x-1)>logx2-1, ?2x +x-1>0 ?0<x<1, ?x>1, ? logx(2x3+x2-x)>logx2? ? 3 2 或? 3 2 .解得 0<x<1 或 x>1. ?2x +x -x<2 ?2x +x -x>2

1 所以 x 的取值范围为 x>2且 x≠1. 答 C. a b 解:5x-a≤0?x≤5;6x-b>0?x>6.要使 A∩B∩N={2,3,4},则

?1≤6<2, ?6≤b<12, ? a ,即?20≤a<25.所以数对(a,b)共有 C1C1=30 个. ? ?4≤5<5
b
6 5

答 A. 解:建立直角坐标系,以 A 为坐标原点,AB 为 x 轴,AC 为 y 轴,AA1 为 z 轴,则 F(t1, 1 1 1 → 0,0)(0<t1<1),E(0,1,2),G(2,0,1),D(0,t2,0)(0<t2<1).所以 EF =(t1,-1,-2), 1 1 → → GD =(-2,t2,-1).因为 GD⊥EF,所以 t1+2t2=1,由此推出 0<t2<2.又 DF =(t1,- t2,0),

|→|= DF
答 A.

t2+t2= 5t2-4t2+1= 1 2 2

22 1 1 → 5(t2-5) +5,从而有 ≤ DF <1. 5

| |

解:显然 f(x)=x3+log2(x+ x2+1)为奇函数,且单调递增.于是 若 a+b≥0,则 a≥-b,有 f(a)≥f(-b),即 f(a)≥-f(b),从而有 f(a)+f(b)≥0. 反之,若 f(a)+f(b)≥0,则 f(a)≥-f(b)=f(-b),推出 a≥-b,即 a+b≥0. 答 B. 解:出现奇数个 9 的十进制数个数有 A=C1 92005+C3 92003+…+C20059.又由于 2006 2006 2006 (9+1)2006= Σ Ck 92006 k 以及(9-1)2006= Σ Ck (-1)k92006 2006 2006


2006 k=0

2006 k=0

-k

从而得 1 1 3 A=C200692005+C200692003+…+C20059=2(102006-82006). 2006 9 填[0,8]. 1 1 解:f(x)=sin4x-sinxcosx+cos4x=1-2sin2x-2 sin22x.令 t=sin2x,则 1 1 9 1 1 1 min max f(x)=g(t)=1-2t-2t2=8-2(t+2)2.因此-1≤t≤1g(t)=g(1)=0,-1≤t≤1 g(t)=g(-2) 9 =8. 9 5 5 故,f(x)∈[0,8].填[- 5 , 5 ]. 解:依题意,得|z|≤2?(a+cosθ)2+(2a-sinθ)2≤4?2a(cosθ-2sinθ)≤3-5a2. 5 ?-2 5asin(θ-φ)≤3-5a2(φ=arcsin 5 )对任意实数 θ 成立. 5 5 5 ?2 5|a|≤3-5a2?|a|≤ 5 ,故 a 的取值范围为[- 5 , 5 ]. 填 3-1.. 解:由平面几何知,要使∠F1PF2 最大,则过 F1,F2,P 三点的圆必定和直线 l 相切于点 P.直线 l 交 x 轴于 A(-8-2 3,0),则∠APF1=∠AF2P,即?APF1∽?AF2P,即 |PF1| |AP| |PF2|=|AF2| 又由圆幂定理, |AP|2=|AF1|· 2| |AF ⑵ 而 F1(-2 3,0),F2(2 3,0),A(-8-2 3,0),从而有|AF1|=8,|AF2|=8+4 3. |PF1| |AF1| 8 代入⑴,⑵得,|PF |= |AF |= = 4-2 3= 3-1. 2 2 8+4 3



1 2 填(3+ 2 )π. 解:设四个实心铁球的球心为 O1,O2,O3,O4,其中 O1,O2 为下层两球的球心,A,B, 2 C,D 分别为四个球心在底面的射影.则 ABCD 是一个边长为 2 的正方形。所以注水高为 1 2 2 4 1 1 2 + 2 .故应注水 π(1+ 2 )-4×3π(2)3=(3+ 2 )π. 填 1. 1 解:(x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005?(x+x2005)(1+x2+x4+…+x2004)=2006 1 1 1 1 ?x+x3+x5+…+x2005+x2005+x2003+x2001+…+x =2006,故 x>0,否则左边<0. 1 1 1 ?2006=x+x +x3+x3+…+x2005+x2005≥2×1003=2006. 等号当且仅当 x=1 时成立. 所以 x=1 是原方程的全部解.因此原方程的实数解个数为 1. 填 0.0434. 解:第 4 次恰好取完所有红球的概率为 2 9 1 8 2 9 1 8 2 1 ×(10)2×10+10×10×10×10+(10)2×10×10=0.0434. 10 n± n2-4 1 证明:因为 y2=nx-1 与 y=x 的交点为 x0=y0= .显然有 x0+x =n≥2.…(5 2 0 分) 1 若(xm,ym)为抛物线 y2=kx-1 与直线 y=x 的一个交点,则 k=xm+xm.………(10 分) 0 0 0
0

1 记 km=xm+xm, 0
0

1 1 由于 k1=n 是整数,k2=x2+x2=(x0+x )2-2=n2-2 也是整数, 0
0

0

且 (13.1)

1 km + 1 = km(x0 + x ) - km - 1 = nkm - km - 1 , (m ≥ 2)
0

1 所以根据数学归纳法,通过(13.1)式可证明对于一切正整数 m,km=xm+xm是正整数, 0
0

1 且 km≥2 现在对于任意正整数 m,取 k=xm+xm,满足 k≥2,且使得 y2=kx-1 与 y=x 的交 0 0 点为(xm,ym).……(20 分) 0 0 解:(1) 首先这样的 S 的值是有界集,故必存在最大值与最小值。 若 x1+x2+x3+x4+

x5=2006,且使 S=

1≤i<j≤5

Σ

xixj 取到最大值,则必有 (1≤i,j≤5) ………(5 分) (*)

|xi-xj|≤1

事实上,假设(*)不成立,不妨假设 x1-x2≥2,则令 x1?=x1-1,x2?=x2+1,xi?=xi (i=3, 4,5).有 x1?+x2?=x1+x2,x1?·x2?=x1x2+x1-x2-1>x1x2.将 S 改写成 S=
1≤i<j≤5

Σ

xixj=x1x2+(x1+x2)(x3+x4+x5)+x3x4+x3x5+x4x5

同时有 S?=x1?x2?+(x1?+x2?)((x3+x4+x5)+x3x4+x3x5+x4x5. 于是有 S?-S=x1?x2?-x1x2>0. 这 与 S 在 x1,x2,x3,x4,x5 时取到最大值矛盾.所以必有|xi-xj|≤1,(1≤i,j≤5). 因此当 x1=402, 2=x3=x4=x5=401 时 S 取到最大值. x (10 分) ⑵ 当 x1+x2+x3+x4+x5=2006,且|xi-xj|≤2 时,只有 (I) 402, 402, 402, 400, 400; (II) 402, 402, 401, 401, 400; (III) 402, 401, 401, 401, 401; 三种情形满足要求. ……………………(15 分) 而后两种情形是由第一组作 xi?=xi-1,xj?=xj+1 调整下得到的.根据上一小题的证明 可知道,每次调整都使和式 S= 取到最小值.………(20 分)
1≤i<j≤5

……………………

Σ

xixj 变大.所以在 x1=x2=x3=402,x4=x5=400 时 S

证明:⑴ 如果 a<-2,则|f1(0)|=|a|>2,a∈M. ………………………(5 分) / 1 - ⑵ 如果-2≤a≤4,由题意,f1(0)=a,fn(0)=(fn 1(0))2+a,n=2,3,…….则 1 1 ① 当 0≤a≤4时,|fn(0)|≤2,(?n≥1). 1 事实上,当 n=1 时,|f1(0)|=|a|≤2,设 n=k-1 时成立(k≥2 为某整数) ,则对 n =k, 1 1 1

|fk(0)|≤|fk-1(0)| +a≤(2)2+4=2.
② 当-2≤a<0 时,|fn(0)|≤|a|,(?n≥1). 事实上,当 n=1 时,|f1(0)|≤|a|,设 n=k-1 时成立(k≥2 为某整数),则对 n=k,有 -|a|=a≤(fk 1(0)) +a≤a2+a


2

2

注意到当-2≤a<0 时,总有 a2≤-2a,即 a2+a≤-a=|a|.从而有|fk(0)|≤|a|.由 1 归纳法,推出[-2,4]?M.……………………(15 分) 1 1 ⑶ 当 a>4时,记 an=fn(0),则对于任意 n≥1,an>a>4且 an+1=fn 1(0)=f(fn(0))=f(an)=a2+a. n 1 1 1 1 2 对于任意 n≥1,an+1-an=an-an+a=(an-2)2+a-4≥a-4.则 an+1-an≥a-4. 2-a 1 1 所以,an+1-a=an+1-a1≥n(a-4).当 n> 时,an+1>n(a-4)+a>2-a+a=2, 1 a-4 1 + 即 fn 1(0)>2. 因此 a∈M. / 综合⑴, ⑶, ⑵, 我们有 M=[-2, ]. 4 …………………………



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