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多元函数的基本概念


§9.1

多元函数的基本概念

回顾平面直角坐标系
y y

?M

o

x

x

M ? (x, y)

M 记为 M ( x, y )

一、平面点集
设 E 是 xo

y 平面上满足某个条件 集合,则称 E 是一个平面点集。
如: E ? {( x , y ) | x ? y ? r }
2 2 2

D 的一切点构成的

记为 E ? {( x , y ) | D }

邻域:
设 P 0 ( x 0 , y 0 ) 是 xoy 平面上的一个点,? 是某 一正数,与点 P 0 ( x 0 , y 0 ) 距离小于? 的点 P ( x , y ) 的全体,称为点 P 0 的? 邻域,记为U ( P 0 , ? ) ,
U ( P0 , ? ) ? ? P | PP 0 |? ?
2

?
2

? {( x , y ) | ( x ? x 0 ) ? ( y ? y 0 ) ? ? }

?

? P0

二、多元函数的概念 1 定义
设 D 是平面上的一个点集,如果对于每个点

P ( x, y) ? D , 变 量z 按 照 一 定 的 法 则 总 有 确 定 的
值 和 它 对 应 , 则 称z 是 变 量 x , y 的 二 元 函 数 , 记 为

z ? f ( x, y)( 或 记为 z ? f (P )).
x , y ? ?自变量; 函数值的全体 z ? ? 因变量; ? ? ? 函数的值域。 D ? ? ? 函数的定义域;

类似地可定义三元及三元以上函数.
当 n ? 2 时, n 元函数统称为多元函数.

例1 求 f ( x , y ) ?
?3? x ? y ? ? ? x ? y2 ? 0 ?
2 2

arcsin( 3 ? x ? y )
2 2

x? y
?1

2

的定义域.



?2 ? x ? y ? 4 ? ? 2 x ? y ?
2 2

所求定义域为

D ? {( x , y ) | 2 ? x ? y ? 4 , x ? y }.
2 2 2

2 二元函数 z ? f ( x , y )的图形
设函数 z ? f ( x , y ) 的定义域为 D ,对于任意 取定的 P ( x , y ) ? D ,对应的函数值为 z ? f ( x , y ) ,这样,以 x 为横坐标、 y 为纵坐 标、 z 为竖坐标在空间就确定一点 M ( x , y , z ) , 当( x , y)取遍 D 上一切点时,得一个空间点集 {( x , y , z ) | z ? f ( x , y ), ( x , y ) ? D } ,这个点集称 为二元函数的图形.

(如下页图)

二元函数的图形通常是一张曲面.

例如,

z ? sin xy

图形如右图.
例如,
x ? y ? z ? a
2 2 2 2

z

右图球面.
D ? {( x , y ) x ? y ? a }.
2 2 2

o

y

单值分支: z ?
z ? ?

a ? x ? y
2 2 2 2

2

x

a ? x ? y .
2


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