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2016湖南食品药品职业学院单招数学模拟试题(附答案解析)


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一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分..

1.若复数

a?i 的实部与虚部相等,则实数 a ? ( 2i
(B) 1

) A

(A) ?1 2.已知 f

( x ? 1) ? A. f ( x) ?
4 2 ?2
x

(C) ?2

(D) 2 ).

2 f ( x) , f (1) ? 1( x ? N *) ,猜想 f ( x) 的表达式为( f ( x) ? 2

B. f ( x) ?

2 1 C. f ( x) ? x ?1 x ?1

D. f ( x) ?

2 2x ? 1

3.等比数列 {an } 中, a1 ? 0 ,则“ a1 ? a3 ”是“ a3 ? a6 ”的 B (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

4.从甲、乙等 5 名志愿者中选出 4 名,分别从事 A , B , C , D 四项不同的工作,每人 承担一项.若甲、乙二人均不能从事 A 工作,则不同的工作分配方案共有 B (A) 60 种 (B) 72 种 (C) 84 种 (D) 96 种

5.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 的对称轴为 x ? ?3 ,且当 x ? ?3 时, f ( x) ? 2x ? 3 .若 函数 f ( x) 在区间 (k ? 1, k ) ( k ? Z )上有零点,则 k 的值为 A (A) 2 或 ?7 (B) 2 或 ?8 (C) 1 或 ?7 (D) 1 或 ?8

6.已知函数 f ( x) ? log2 x ? 2log2 ( x ? c) ,其中 c ? 0 .若对于任意的 x ? ( 0, ? ? ) ,都 有 f ( x) ? 1 ,则 c 的取值范围是 D

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(A) (0, ]

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(C) (0, ]

1 4

(B) [ , ??)

1 4

1 8

(D) [ , ??)

1 8

7.已知函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? 2(a ? 0) 有且仅有两个不同的零点 x1 , x2 ,则 B A.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 C. 当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 B. 当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 D. 当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0

P 为底面 ABCD 8.如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
E ,且 PA ? PE ,则点 P 的 上的动点, PE ? AC 1 于
轨迹是 A

(A)线段 (C)椭圆的一部分

(B)圆弧 (D)抛物线的一部分

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.设等差数列 {an } 的公差不为 0 ,其前 n 项和是 Sn .若 S2 ? S3 , Sk ? 0 ,则 k ? ______.5

2 6 3 10. ( x ? ) 的展开式中 x 的系数是

2 x

.160

11.设 a ? 0 .若曲线 y ? ______.

x 与直线 x ? a, y ? 0 所围成封闭图形的面积为 a 2 ,则 a ?

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12.在直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(?1, 0) 关于原点 O 对称.点 P( x0 , y0 ) 在抛物线

y 2 ? 4x 上,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 2 ,则 x0 ? ______. 1 ? 2
13. 数列 {an } 的通项公式 a n ? n cos ___________。3018 14.记实数 x1 , x2 ,?, xn 中的最大数为 max{x1 , x2 ,?, xn } ,最小数为 min{x1 , x2 ,?, xn } . 设△ ABC 的三边边长分别为 a, b, c ,且 a ? b ? c ,定义△ ABC 的倾斜度为

n? ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,则 S 2012 ? 2

a b c a t ? max{ , , } ? min{ , b c a b b c , }. c a
(ⅰ)若△ ABC 为等腰三角形,则 t ? ______;1

(ⅱ)设 a ? 1 ,则 t 的取值范围是______. [1,

1? 5 ) 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤.

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15.(本小题共 14 分)

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已知函数 f ( x) ? m ln x ? (m ? 1) x (m ? R) . (Ⅰ)当 m ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)讨论 f ( x) 的单调性; (III)若 f ( x) 存在最大值 M ,且 M ? 0 ,求 m 的取值范围. (18)(共 14 分) 解:(Ⅰ)当 m ? 2 时, f ( x) ? 2ln x ? x .

f ?( x) ?

2 x?2 ?1 ? . x x

所以 f ?(1) ? 3 . 又 f (1) ? 1 , 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是 y ? 1 ? 3( x ? 1) , 即 3x ? y ? 2 ? 0 . (Ⅱ)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,

f ?( x) ?

m (m ? 1) x ? m ? m ?1 ? . x x
m ? m ? 1 ? 0 恒成立, x

当 m ≤ 0 时,由 x ? 0 知 f ?( x) ?

此时 f ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递减. 当 m ≥ 1 时,由 x ? 0 知 f ?( x) ?

m ? m ? 1 ? 0 恒成立, x

此时 f ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增. 当 0 ? m ? 1 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

m m ,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? , 1? m 1? m

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此时 f ( x) 在区间 (0,

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m m ) 内单调递增,在区间 ( , ??) 内单调递减. 1? m 1? m

(III)由(Ⅱ)知函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , 当 m ≤ 0 或 m ≥ 1 时, f ( x) 在区间 (0, ??) 上单调,此时函数 f ( x) 无最大值. 当 0 ? m ? 1 时, f ( x) 在区间 (0, 减, 所以当 0 ? m ? 1 时函数 f ( x) 有最大值. 最大值 M ? f (

m m ) 内单调递增,在区间 ( , ??) 内单调递 1? m 1? m

m m ) ? m ln ? m. 1? m 1? m m e ? m ? 0 ,解之得 m ? . 1? m 1? e

因为 M ? 0 ,所以有 m ln 所以 m 的取值范围是 ( 16.(本小题满分 13 分)

e ,1) . 1? e

已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的一个零点是 (Ⅰ)求实数 a 的值;

π . 4

(Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? f (?x) ? 2 3sin x cos x ,求 g ( x) 的单调递增区间.

(Ⅰ)解:依题意,得 f ( ) ? 0 ,

π 4

………………1 分

即 sin

π π 2 2a ? a cos ? ? ? 0, 4 4 2 2

………………3 分

解得 a ? 1 . (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin x ? cos x .

………………5 分 ………………6 分

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g ( x) ? f ( x) ? f (?x) ? 2 3sin x cos x

? (sin x ? cos x)(? sin x ? cos x) ? 3sin 2x
? (cos2 x ? sin2 x) ? 3sin 2x

………………7 分 ………………8 分 ………………9 分

? cos 2x ? 3sin 2x
π ? 2sin(2 x ? ) . 6
由 2kπ ?

………………10 分

π π π ? 2 x ? ? 2kπ ? , 2 6 2
………………12 分

得 kπ ?

π π ? x ? kπ ? , k ? Z . 3 6
π π , kπ ? ] , k ? Z . 3 6

所以 g ( x) 的单调递增区间为 [ kπ ? 分

………………13

1

17. (本小题满分 13 分)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145. (1)求数列{bn}的通项公式 bn; 1 (2)设数列{an}的通项 an=loga(1+ )(其中 a>0 且 a≠1)记 Sn 是数列{an}的前 n 项和,试比较 bn

1 logabn+1 的大小,并证明你的结论. 3 ?b1 ? 1 ?b ? 1 ? ?? 1 (1)解:设数列{bn}的公差为 d,由题意得 ? ,∴bn=3n-2 10(10 ? 1) 10b1 ? d ? 145 ?d ? 3 ? 2 ?
Sn 与

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(2)证明:由 bn=3n-2 知 Sn=loga(1+1)+loga(1+

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1 1 )+…+loga(1+ ) 4 3n ? 2 1 1 =loga[(1+1)(1+ )…(1+ )] 4 3n ? 2 1 1 1 而 logabn+1=loga 3 3n ? 1 , 于是,比较 Sn 与 logabn+1? 的大小 ? 比较 (1+1)(1+ )…(1+ 3 3 4 1 )与 3 3n ? 1 的大小. 3n ? 2 取 n=1,有(1+1)= 3 8 ? 3 4 ? 3 3 ?1 ? 1 1 取 n=2,有(1+1)(1+ ) ? 3 8 ? 3 7 ? 3 3 ? 2 ? 1 4 1 1 )> 3 3n ? 1 (*) 推测:(1+1)(1+ )…(1+ 4 3n ? 2
①当 n=1 时,已验证(*)式成立.

1 1 )…(1+ )> 3 3k ? 1 4 3k ? 2 1 1 1 1 )(1 ? ) ? 3 3k ? 1(1 ? ) 则当 n=k+1 时, (1 ? 1)(1 ? )?(1 ? 4 3k ? 2 3(k ? 1) ? 2 3k ? 1 3k ? 2 3 ? 3k ? 1 3k ? 1 3k ? 2 3 ?( 3k ? 1) 3 ? (3 3k ? 4 ) 3 3k ? 1 (3k ? 2) 3 ? (3k ? 4)(3k ? 1) 2 9k ? 4 ? ? ?0 2 (3k ? 1) (3k ? 1) 2
②假设 n=k(k≥1)时(*)式成立,即(1+1)(1+

3k ? 1 (3k ? 2) ? 3 3k ? 4 ? 3 3(k ? 1) ? 1 3k ? 1 1 1 1 从而(1 ? 1)(1 ? )?(1 ? )(1 ? ) ? 3 3(k ? 1) ? 1 ,即当 n=k+1 时,(*)式成立 4 3k ? 2 3k ?1 * 由①②知,( )式对任意正整数 n 都成立. 1 1 于是,当 a>1 时,Sn> logabn+1?,当 0<a<1 时,Sn< logabn+1? 3 3 18.(本小题满分 13 分) ?
3

已知函数 f ( x) ? ax ? ln x , g ( x) ? eax ? 3x ,其中 a ? R . (Ⅰ)求 f ( x) 的极值; (Ⅱ)若存在区间 M ,使 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上具有相同的单调性,求 a 的取 值范围. 18.(本小题满分 13 分)

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(Ⅰ)解: f ( x) 的定义域为 (0, ??) , 且 f ?( x) ? a ?

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………………1 分 ………………2 分

1 ax ? 1 ? . x x

① 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减. 从而 f ( x) 没有极大值,也没有极小值. ② 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ………………3 分

1 . a

f ( x) 和 f ?( x ) 的情况如下:
x
f ?( x)

1 (0, ) a

1 a

1 ( , ? ?) a

?

0

?

f ( x)





故 f ( x) 的单调减区间为 (0, ) ;单调增区间为 ( , ? ? ) . 从而 f ( x) 的极小值为 f ( ) ? 1 ? ln a ;没有极大值. 分 (Ⅱ)解: g ( x) 的定义域为 R ,且 g ?( x) ? aeax ? 3 . ③ 当 a ? 0 时,显然 g ?( x) ? 0 ,从而 g ( x) 在 R 上单调递增. 由(Ⅰ)得,此时 f ( x) 在 ( , ? ? ) 上单调递增,符合题意. 分 ④ 当 a ? 0 时, g ( x) 在 R 上单调递增, f ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减,不合题 意.……9 分 ⑤ 当 a ? 0 时,令 g ?( x) ? 0 ,得 x0 ? ………………6 分

1 a

1 a

1 a

………………5

1 a

………………8

1 3 ln(? ) . a a

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g ( x) 和 g ?( x ) 的情况如下表:
x
g ?( x)
(??, x0 )

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x0

( x0 , ? ?)

?

0

?

g ( x)





当 ?3 ? a ? 0 时, x0 ? 0 ,此时 g ( x) 在 ( x0 , ? ?) 上单调递增,由于 f ( x) 在

(0, ? ?) 上单调递减,不合题意.


………………11

当 a ? ?3 时, x0 ? 0 ,此时 g ( x) 在 (??, x0 ) 上单调递减,由于 f ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减,符合题意. 综上, a 的取值范围是 (??, ?3) ? (0, ??) . ………………13 分

19.(本小题满分 14 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,过点 F 的直线交椭圆于 A , B a 2 b2 两点.当直线 AB 经过椭圆的一个顶点时,其倾斜角恰为 60? .
如图,椭圆 (Ⅰ)求该椭圆的离心率; (Ⅱ)设线段 AB 的中点为 G , AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D, E 两点.记 △ GFD 的面积为 S1 ,△ OED ( O 为原点)的面积为 S2 ,求

S1 的取值范围. S2

19.(本小题满分 14 分)

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(Ⅰ)解:依题意,当直线 AB 经过椭圆的顶点 (0, b) 时,其倾斜角为

60? .

………………1 分 设 F (?c, 0) ,



b ? tan 60? ? 3 . c

………………2 分

将 b ? 3c 代入 a 2 ? b2 ? c 2 , 解得 a ? 2c . ………………3 分

所以椭圆的离心率为 e ?

c 1 ? . a 2

………………4 分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ),椭圆的方程可设为 分 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .

x2 y2 ? ?1. 4c 2 3c 2

………………5

依题意,直线 AB 不能与 x, y 轴垂直,故设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? c) ,将 其代入

3x2 ? 4 y2 ? 12c2 ,整理得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8ck 2 x ? 4k 2c2 ?12c2 ? 0 .


………………7

?8ck 2 ?4ck 2 3ck 6ck , 2 ). 则 x1 ? x2 ? 2 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2c ) ? , G( 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4 k ? 3 4k ? 3
………………8 分

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因为 GD ? AB ,

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3ck 2 4k 2 ? 3 ? k ? ?1, x ? ?ck . 所以 D 4k 2 ? 3 ?4ck 2 ? xD 4k 2 ? 3
因为 △ GFD ∽△ OED ,

………………9 分

?4ck 2 ?ck 2 2 3ck ? ) ? ( 2 )2 2 2 S | GD | 4k ? 3 所以 1 ? ? 4k ? 3 4 k ? 3 2 2 ?ck S2 | OD | ( 2 )2 4k ? 3
2

(

………………11



(3ck 2 )2 ? (3ck )2 9c 2 k 4 ? 9c 2 k 2 9 ? ? ? 9? 2 ? 9. 2 2 2 4 (ck ) ck k
13 分

………………

所以

S1 的取值范围是 (9, ??) . S2

………………14 分

(20)(本小题共 13 分) 设 A 是由 n 个有序实数构成的一个数组,记作: A ? (a1, a2 ,?, ai ,?, an ) .其中 ai

(i ? 1, 2,?, n) 称为数组 A 的“元”, i 称为 ai 的下标. 如果数组 S 中的每个“元”都
是来自 数组 A 中不同下标的“元”,则称 S 为 A 的子数组. 定义两个数组

A ? (a1 , a2 ,?, an ) , B ? (b1 , b2 ,?, bn ) 的关系数为 C( A, B) ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn .
(Ⅰ)若 A ? ( ? , ) , B ? (?1,1, 2,3) ,设 S 是 B 的含有两个“元”的子数组, 求 C ( A, S ) 的最大值;

1 1 2 2

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(Ⅱ)若 A ? (

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3 3 3 , , ) , B ? (0, a, b, c) ,且 a 2 ? b2 ? c 2 ? 1 , S 为 B 的含有三 3 3 3

个“元”的子数组,求 C ( A, S ) 的最大值. (20)(共 13 分) 解:(Ⅰ)依据题意,当 S ? (?1,3) 时, C ( A, S ) 取得最大值为 2. (Ⅱ)①当 0 是 S 中的“元”时,由于 A 的三个“元”都相等,及 B 中 a, b, c 三个 “元”的对称性,可以只计算 C ( A, S ) ?

3 (a ? b) 的最大值,其中 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 . 3

由 (a ? b)2 ? a2 ? b2 ? 2ab ? 2(a2 ? b2 ) ? 2(a2 ? b2 ? c2 ) ? 2 , 得 ? 2 ? a?b ? 2. 当且仅当 c ? 0 ,且 a ? b ?
2 时, a ? b 达到最大值 2 , 2

于是 C ( A, S ) ?

3 6 . ( a ? b) ? 3 3
3 (a ? b ? c) 的最大值, 3

②当 0 不是 S 中的“元”时,计算 C ( A, S ) ? 由于 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 ,

所以 (a ? b ? c)2 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2ab ? 2ac ? 2bc .

? 3(a 2 ? b2 ? c2 ) ? 3 ,
当且仅当 a ? b ? c 时,等号成立. 即当 a ? b ? c ?

3 3 时, a ? b ? c 取得最大值 3 ,此时 C ( A, S ) ? ( a ? b ? c) ? 1 . 3 3

综上所述, C ( A, S ) 的最大值为 1.

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