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圆与方程知识点


圆与方程
1.圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合(或点的轨迹)叫圆, 定点为圆心,定长为圆的半径. 2、圆的方程 (1)标准方程(x—a)2+(y—b)2=r 2,圆心(a,b),半径为 r; 点 M(x0 ,y0)与圆(x—a)2+(y—b)2=r 2,的位置关系: 当(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)> r2 ,点在圆外 当(x0—a

)(x—a)+(y0—b)(y—b)= r2 ,点在圆上 当(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)< r2 ,点在圆内 例:若点(1,1)在圆(x—a)2+(y+a)2=4 的内部,则实数 a 的取值范围是 A. —1<a<1 B. 0<a<1 C.a<—1 或 a>1 D.a=±1 。

(2)一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 当 D2+E2—4F>0 时,方程表示圆,此时圆心为(— 当 D2+E2—4F=0 时,表示一个点; 当 D2+E2—4F<0 时,方程不表示任何图形。 例. 若方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a—1=0 表示圆,则实数 a 的取值范围是 A. — 。

D E 1 D 2 ? E 2 ? 4F ,— ),半径为 r= 2 2 2

2 <a<0 3

B. —2<a<0

C.a<—2 或 a>

2 3

D.—2<a<

2 3

(3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系的判定及弦长公式: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况: (1) 设直线 l:Ax+By+C=0,圆 C:(x—a)2+(y—b)2=r 2,圆心 C(a,b)到 l 的距离 d=

| Aa ? Bb ? C | A2 ? B2

, (2) 当 d = r ? l 与⊙C 相切;

则有:(1)当 d > r ? l 与⊙C 相离;

(3) 当 d <r ? l 与⊙C 相交;弦长|AB|=2 r 2 ? d 2 例. 已知直线 l:3x +4y-12=0 与圆 C:(x—3)2 + (y—2)2=4.请选择适当的方法判断直线 l 与

圆 C 的位置关系;若直线 l 与圆 C 相交,请求出直线 l 被圆 C 截得的弦长。 解法 1;代数法; (2) 解法 2:几何法; 总结:(1)代数法:设直线与圆的方程连立方程组,消元后所得一元二次方程为 ax2+bx+c=0, 其两个不等实根为 x1,x2.则其两点弦长为|AB|= 1 ? k 2

Δ 。 |a|

(2) 几何法;设直线 l:Ax+By+C=0,圆 C:(x—a)2+(y—b)2=r 2,圆心 C(a,b)到 l 的 距离 d=

| Aa ? Bb ? C | A ?B
2 2

,弦长|AB|=2 r 2 ? d 2 。

例. 圆 x2 +y2 —4x—4y—10=0 的上点到直线 x+y—14=0 的最大距离和最小距离为 和 。最大距离和最小距离的差为 。 ※数学思想方法简介——方程思想与坐标法 直线方程 Ax+By+C=0 与圆的方程(x—a)2+(y—b)2=r2 有三个方面的应用 (1) 通过研究直线与圆或圆与圆的方程联立所得的方程组的解的情况来确定直线与圆之间 的交点情况,从而判定直线与圆的之间位置关系,圆与圆之间位置关系及求它们的交点 坐标。 (2) 通过点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离 d=

| Aa ? Bb ? C \ A2 ? B2

, 并比较 d 与半径 r

的大小解决圆与直线的有关性质问题。或圆心距与圆半径的和或差大小的比较,解决圆 与圆之间的性质问题。 (3) 利用方程自身具备的已知任给一个坐标 x 的值,就可以求另一个坐标 y 的值解决实际问 题 4. 圆的切线问题 (1) 过圆外一点的切线:①k 不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该 直线距离=半径,求解 k,得到方程【一定两解】 例 1. 经过点 P(1, —2)点作圆(x+1)2+(y—2)2=4 的切线, 则切线方程为 。

例 2. 过直线 x+y—2 2 =0 上点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线, 若两条切线的夹角是 60°, 则点 P 的坐标是__________。 (2) 过圆上一点的切线方程:圆(x—a)2+(y—b)2=r2,圆上一点为(x0,y0), 则过此点的切线方程为(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)= r2 【只有一条】

例 3.经过点 P(—4, —8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9 的切线, 则切线方程为 例 4.经过点 P(1,—2)点且与圆(x+1)2+(y+3)2=5 相切的直线方程为

。 。

5. 圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 设圆 C1:(x—a1)2+(y—b1)2=r 2,C2:(x—a2)2+(y—b2)2=R 2 (设 R>r) 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距 d 之间的大小比较来确定。 当 d>R+r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 d=R+r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R—r<d<R+r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d=R—r 时,两圆 内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d<R—r 时,两圆 内含; 当 d=0 时,为同心圆。

注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 例:已知圆 C1:x2 +y2 +2x+8 y—8=0 和圆 C2:x2 +y2 —4x—4 y—2=0,试判断圆和位置关系, 若相交,试求出它们的交点坐标

※两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法 例.已知圆 C1:x2 +y2 —2x =0 和圆 C2:x2 +y2 +4 y=0,试判断圆和位置关系, 若相交,则设其交点为 A、B,试求出它们的公共弦 AB 的方程及公共弦长。


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