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线性代数综合练习题8


线性代数综合练习题(八)
一、填空题
1. 设 A ? ? 2

? 1 0 0? 2 0 ? ,则 A 的伴随矩阵 A* ? ? 3 4 5? ? ?



2. 若向量组 ?1 ,? 2 ,? 3 线性无关,则向量组 ?1 ,?1 ? ? 2 ,?1 ? ? 2 ? ? 3 是线性
2

2 3. 设二次型 f ( x1 , x2 ) ? 2x1 ? 2 x2 ? 4kx1 x2 为正定二次型,则 k 取值范围为

。 。

4. 设矩阵 A ? ? 2

? 1 1 ? 6 10 ? 5 k ? 1? 的秩为 2,则 k = ?1 2 ?1 k ? ? ?



5. n 元齐次线性方程组 Am?n X ? 0 有非零解的充分必要条件是 ; 是

n 元非齐次线性方程组 Am?n X ? ? 有解的充分必要条件


二、选择题 1. 设 A 与 B 为 n 阶非零矩阵,且 AB = 0 ,则 A 与 B 的秩(
(A)必有一个等于零 (C)一个小于 n ,一个等于 n (B)都小于 n (D)都等于 n



T 2. 设 A 为 n 阶实矩阵, A 是 A 的转置矩阵,则对于线性方程组(Ⅰ) : AX ? 0 和(Ⅱ) :

AT AX ? 0 ,必有(



(A) (Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解, (Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解; (B) (Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解; (C) (Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解, (Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解; (D) (Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解,但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解。 3. 设 A, B, C 为 n 阶矩阵,且 ABC ? E ,则必有( (A) ACB ? E (B) CBA ? E ) (D) BCA ? E

(C) BAC ? E

?3? ? 0? ?2? ?1? ? 1 ? ?0? ? 3? ?1? ? ? 1? ? ? 2? 4. 设向量组 ? 1 ? ? ?, ? 2 ? ? ?, ? 3 ? ? ?, ? 4 ? ? 2 2 ?, ? 5 ? ? 5 ?, 则该向量组的一个 7 1 ?4? ? 0 ? ?10? ? 2? ?14? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
最大无关组为( (A)?1 , ) (B)?1 ,

? 2 , ?3

?2 , ?4

(C)?1 ,

? 2 , ?5

(D)?1 ,

? 2 , ? 4 , ?5

5. 若满足条件( (A) A ? B

) ,则 n 阶方阵 A 与 B 相似。 (B) R( A) ? R( B) (C) A 与 B 有相同的特征多项式

(D) A 与 B 有相同的特征值且 n 个特征值各不相同

0 1 1 ? 1 1 1 0 1 ? 1 1 三、计算 n 阶行列式 Dn ? 1 1 0 ? 1 1 。 ? ? ? ? ? ? 1 1 1 ? 0 1 1 1 1 ? 1 0

四、求下面齐次线性方程组的基础解系:

? 2 x1 ? 3 x 2 ? 2 x3 ? x 4 ? 0 ? ?3 x1 ? 5 x 2 ? 4 x3 ? 2 x 4 ? 0 ? ?8 x1 ? 7 x 2 ? 6 x3 ? 3 x 4 ? 0

五、设 A ? ? 1

? 0 3 3? 1 0 ? , AB ? A ? 2 B ,求 B 。 ? ? 1 2 3? ? ? ?1? ?1? ? ?

六、 设 3 阶对称矩阵 A 的特征值为 6, 3, 3, 与特征值 6 对应的特征向量为 ? 1 ? ?1? , 求A。

七、求一个正交变换使化下列二次型成标准形:
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) ? 2x12 ? 3x2 ? 3x3 ? 4x2 x3 。

八、设 ?1 ,? 2 ,?,? n 是一组 n 维向量,证明: ?1 ,? 2 ,?,? n 线性无关的充分必要条件是任 一 n 维向量都可由它们线性表示。


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