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一、小学应用题解题方法,一观察法


一、观察法

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在解答数学题时,第一步是观察。观察是基础, 是发现问题、解决问题的首要步骤。小学数学 教材,特别重视培养观察力,把培养观察力作 为开发与培养学生智力的第一步。

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观察法,是通过观察题目中数字的变化规律及 位置特点,条件与结论之间的关系,题目的结 构特点及图形的特征,从而发现题目中的数量 关系,把题目解答出来的一种解题方法。

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观察要有次序,要看得仔细、看得真切,在观 察中要动脑,要想出道理、找出规律。

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例1

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书中除图1-1的图形外没有文字说明。这道题旨 在引导儿童观察、思考,初步培养他们的观察 能力。基于他们已有的知识,能够判断本题的 意思是:在右边大正方形内的小方格中填入数 字后,使大正方形中的每一横行,每一竖列, 以及两条对角线上三个数字的和,都等于左边 小正方形中的数字18。实质上,这是一种幻方, 或者说是一种方阵。

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解:现在通过观察、思考,看小方格中应填入 什么数字。从横中行10+6+□=18会想到, 18-10-6=2,在横中行右面的小方格中应填入 2(图1-2)。

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从竖右列7+2+□=18(图1-2)会想到,187-2=9,在竖右列下面的小方格中应填入9 (图1-3)。

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从正方形对角线上的9+6+□=18(图1-3)会 想到,18-9-6=3,在大正方形左上角的小方 格中应填入3(图1-4)。

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从正方形对角线上的7+6+□=18(图1-3)会 想到,18-7-6=5,在大正方形左下角的小方 格中应填入5(图1-4)

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从横上行3+□+7=18(图1-4)会想到,183-7=8,在横上行中间的小方格中应填入8 (图1-5)。

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又从横下行5+□+9=18(图1-4)会想到, 18-5-9=4,在横下行中间的小方格中应填入4 (图1-5)。 图1-5是填完数字后的幻方。

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例2 看每一行的前三个数,想一想接下去应该 填什么数。 6、16、26、____、____、____、____。 9、18、27、____、____、____、____。 80、73、66、____、____、____、____。

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解:观察6、16、26这三个数可发现,6、16、26 的排列规律是:16比6大10,26比16大10,即后 面的每一个数都比它前面的那个数大10。 观察9、18、27这三个数可发现,9、18、27的排 列规律是:18比9大9,27比18大9,即后面的每 一个数都比它前面的那个数大9。 观察80、73、66这三个数可发现,80、73、66 的排列规律是:73比80小7,66比73小7,即后面 的每一个数都比它前面的那个数小7。

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答案是: 6、16、26、36、46、56、66。 9、18、27、36、45、54、63。 80、73、66、59、52、45、38。

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例3 将1~9这九个数字填入图1-6的方框中, 使图中所有的不等号均成立。

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解:仔细观察图中不等号及方框的排列规律可 发现:只有中心的那个方框中的数小于周围的 四个数,看来在中心的方框中应填入最小的数1。 再看它周围的方框和不等号,只有左下角的那 个方框中的数大于相邻的两个方框中的数,其 它方框中的数都是一个比一个大,而且方框中 的数是按顺时针方向排列越来越小。

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所以,在左下角的那个方框中应填9,在它右邻 的方框中应填2,在2右面的方框中填3,在3上 面的方框中填4,以后依次填5、6、7、8。 图1-7是填完数字的图形。

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例4从一个长方形上剪去一个角后,它还剩下几 个角? 解:此题不少学生不加思考就回答:“一个长方 形有四个角,剪去一个角剩下三个角。” 我们认真观察一下,从一个长方形的纸上剪去一 个角,都怎么剪?都是什么情况?

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(1)从一个角的顶点向对角的顶点剪去一个角, 剩下三个角。

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(2)从一个角的顶点向对边上任意一点剪去一 个角,剩下四个角

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(3)从一个边上任意一点向邻边上任意一点剪 去一个角,剩下五个角

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例5 甲、乙两个人面对面地坐着,两个人中间 放着一个三位数。这个三位数的每个数字都相 同,并且两人中一个人看到的这个数比另一个 人看到的这个数大一半,这个数是多少?

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解:首先要确定这个三位数一定是用阿拉伯数 字表示的,不然就没法考虑了。 甲看到的数与乙看到的数不同,这就是说,这 个三位数正看、倒看都表示数。 在阿拉伯数字中,只有0、1、6、8、9 这五个 数字正看、倒看都表示数。

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这个三位数在正看、倒看时,表示的数值不同, 显然这个三位数不能是000,也不能是111 和 888,只可能是666 或999。 如果这个数是666,当其中一个人看到的是666 时,另一个人看到的一定是999,999666=333,333 正好是666 的一半。所以这个 数是666,也可以是999。

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*例6 1966、1976、1986、1996、2006 这五个数 的总和是多少? 仔细观察这五个数可发现,第一个数是1966,第二个 数比它大10,第三个数比它大20,第四个数比它大 30,第五个数比它大40。 1966+1976+1986+1996+2006 =1966×5+10×(1+2+3+4) =9830+100 =9930

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这五个数还有另一个特点:中间的数是1986,中 间的数1986是这五个数的平均数。 所以,这道题还可以用下面的方法计算: 1966+1976+1986+1996+2006 =1986×5 =9930

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例7 你能从400÷25=(400×4)÷(25×4) =400×4÷100=16 中得到 启发,很快算出 (1)600÷25 (2)900÷25 (3)1400÷25 (4)1800÷25 (5)7250÷25 的得数吗? 解:我们仔细观察一下算式: 400÷25=(400×4)÷(25×4) =400×4÷100=16

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(1)600÷25 =(600×4)÷(25×4) =600×4÷100 =24 (2)900÷25 =(900×4)÷(25×4) =900×4÷100 =24 =36

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(3)1400÷25 (4)1800÷25 =(1400×4)÷(25×4) =(1800×4)÷(25×4) =1400×4÷100 =1800×4÷100 =56 =72

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(5)7250÷25 =(7250×4)÷(25×4) =29000÷100 =290

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*例8 把1~1000的数字如图1-11那样排列, 再如图中那样用一个长方形框框出六个数,这 六个数的和是87。如果用同样的方法(横着三 个数,竖着两个数)框出的六个数的和是837, 这六个数都是多少?

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解:(1)观察框内的六个数可知:第二个数比 第一个数大1,第三个数比第一个数大2,第四 个数比第一个数大7,第五个数比第一个数大8, 第六个数比第一个数大9。 假定不知道这几个数,而知道上面观察的结果, 以及框内六个数的和是87,要求出这几个数, 就要先求出六个数中的第一个数:

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(87-1-2-7-8-9)÷6 =60÷6 =10 求出第一个数是10,往下的各数也就不难求了。

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因为用同样的方法框出的六个数之和是837, 这六个数之中后面的五个数也一定分别比第一 个数大1、2、7、8、9,所以,这六个数中的 第一个数是: (837-1-2-7-8-9)÷6 =810÷6 =135

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第二个数是:135+1=136 第三个数是:135+2=137 第四个数是:135+7=142 第五个数是:135+8=143 第六个数是:135+9=144 答略。

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(2)观察框内的六个数可知:①上、下两数之 差都是7;②方框中间坚行的11和18,分别是 上横行与下横行三个数的中间数。 11=(10+11+12)÷3 18=(17+18+19)÷3 所以上横行与下横行两个中间数的和是: 87÷3=29

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由此可得,和是837的六个数中,横向排列的 上、下两行两个中间数的和是: 837÷3=279 因为上、下两个数之差是7,所以假定上面的数 是x,则下面的数是x+7。

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x+(x+7)=279 2x+7=279 2x=279-7 =272 x=272÷2 =136 x+7=136+7 =143

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因为上一横行中间的数是136,所以,第一个 数是:136-1=135 第三个数是:135+2=137 因为下一横行中间的数是143,所以, 第四个数是:143-1=142 第六个数是:142+2=144 答略。

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*例9 有一个长方体木块,锯去一个顶点后还有 几个顶点?

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解:(1)锯去一个顶点(图1-12),因为正 方体原来有8个顶点,锯去一个顶点后,增加了 三个顶点,所以, 8-1+3=10 即锯去一个顶点后还有10个顶点。

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(2)如果锯开的截面通过长方体的一个顶点, 则剩下的顶点是8-1+2=9(个)(图1-13)。

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(3)如果锯开的截面通过长方体的两个顶点, 则剩下的顶点是8-1+1=8(个)(图1-14)。

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(4)如果锯开的截面通过长方体的三个顶点, 则剩下的顶点是8-1=7(个)(图1-15)。

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例10 将高都是1米,底面半径分别是1.5米、1 米和0.5米的三个圆柱组成一个物体(图116),求这个物体的表面积S。

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解:我们知道,底面半径为γ,高为h的圆柱体 的表面积是2πγ2+2πγh。 本题的物体由三个圆柱组成。如果分别求出三 个圆柱的表面积,再把三个圆柱的表面积加在 一起,然后减去重叠部分的面积,才能得到这 个物体的表面积,这种计算方法很麻烦。这是 以一般的观察方法去解题。

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如果我们改变观察的方法,从这个物体的正上 方向下俯视这个物体,会看到这个物体上面的 面积就像图1-17那样。这三个圆的面积,就是 底面半径是1.5米的那个圆柱的底面积。所以, 这个物体的表面积,就等于一个大圆柱的表面 积加上中、小圆柱的侧面积。

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(2π×1.52+2π×1.5×1)+(2π×1×1) +(2π×0.5×1) =(4.5π+3π)+2π+π =7.5π+3π =10.5π =10.5×3.14 =32.97(平方米) 答略。

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*例11 如图1-18所示,某铸件的横截面是扇 形,半径是15厘米,圆心角是72°,铸件长 20厘米。求它的表面积和体积。

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解:遇到这样的题目,不但要注意计算的技巧, 还要注意观察的全面性,不可漏掉某一侧面。 图1-18表面积中的一个长方形和一个扇形就容 易被漏掉,因而在解题时要仔细。

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求表面积的方法1:

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=3.14×45×2+600+120×3.14 =3.14×90+3.14×120+600 =3.14×(90+120)+600 =659.4+600 =1259.4(平方厘米)

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求表面积的方法2:

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=3.14×210+600 =659.4+600 =1259.4(平方厘米)

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铸件的体积: =3.14×225×4 =3.14×900 =2826(立方厘米) 答略。


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