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第5章 第3节 等比数列及其前n项和


2010~2014 年高考真题备选题库 第 5 章 数列 第3节
a6 的值是________. 解析:设等比数列{an}的公比为 q,q>0,则 a8=a6+2a4 即为 a4q4=a4q2+2a4,解得 q2 =2(负值舍去),又 a2=1,所以 a6=a2q4=4. 答案:4 2. (2014 重庆,5 分)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( A

.a1,a3,a9 成等比数列 B.a2,a3,a6 成等比数列 C.a2,a4,a8 成等比数列 D.a3,a6,a9 成等比数列 解析:选 D 由等比数列的性质得,a3· a9=a2 6≠0,因此 a3,a6,a9 一定成等比数列,选 D. 答案:D 3. (2014 广东,5 分)若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e5,则 ln a1 +ln a2+…+ln a20=________. 解析: 由等比数列的性质可知 a10a11+a9a12=2e5?a1a20=e5, 于是 a1a2…a20=(e5)10=e50, ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1a2…a20)=ln e50=50. 答案:50 4. (2014 新课标全国Ⅱ,12 分)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1. 1? ? (1)证明?an+2?是等比数列,并求{an}的通项公式;
? ?

等比数列及其前 n 项和

1. (2014 江苏,5 分)在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a2=1,a8=a6+2a4,则

)

1 1 1 3 (2)证明: + +…+ < . a1 a2 an 2 1 1 a + ?. 证明:(1)由 an+1=3an+1 得 an+1+ =3? 2 ? n 2? 1? 1 3 ? 3 又 a1+ = ,所以?an+2?是首项为 ,公比为 3 的等比数列. 2 2 2 ? ? 1 3n 所以 an+ = , 2 2 3n-1 因此{an}的通项公式为 an= . 2

1 2 (2)由(1)知 = n . an 3 - 1 因为当 n≥1 时,3n-1≥2×3n 1,


1 1 所以 n ≤ - . 3 -1 2×3n 1 1 1 1 1 1 于是 + +…+ ≤1+ +…+ n-1 a1 a2 an 3 3 1 3 3 1- n?< . = ? 3? 2 2? 1 1 1 3 所以 + +…+ < . a1 a2 an 2 5. (2013 新课标全国Ⅱ,5 分)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S3 = a2 +10a1 , a5=9,则 a1=( 1 A. 3 1 C. 9 ) 1 B.- 3 1 D.- 9

解析:本题考查等比数列的基本知识,包括等比数列的前 n 项和及通项公式,属于基础 题,考查考生的基本运算能力.由题知 q≠1,则 S3= 1 =a1q4=9,则 a1= ,故选 C. 9 答案:C 6. (2013 北京, 5 分) 若等比数列{an}满足 a2+a4=20, a3+a5=40, 则公比 q=________; 前 n 项和 Sn=________. 解析:本题考查等比数列的通项公式和求和公式,考查方程思想以及考生的运算求解能 力. a3+a5 + q= =2,又 a2+a4=20,故 a1q+a1q3=20,解得 a1=2,所以 Sn=2n 1-2. a2+a4 答案:2 2n 1-2


a1?1-q3? =a1q+10a1,得 q2=9,又 a5 1-q

7.(2013 湖北,12 分)已知等比数列{an}满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 (2)是否存在正整数 m,使得 + +…+ ≥1?若存在,求 m 的最小值;若不存在, a1 a2 am 说明理由. 解:本题考查等比数列的通项公式、前 n 项和公式、不等式等基础知识和基本方法,考 查方程思想、分类与整合思想,考查运算求解能力、逻辑思维能力,考查综合运用知识分析 问题和解决问题的能力.

3 3 ? ? ?a1=3, ?a1q =125, ? (1) 设等比数列 {an} 的公比为 q ,则由已知可得 解得 ? 2 ?|a1q-a1q |=10, ? ?

5



?q=3,

? ?a1=-5, ? ? ?q=-1.

5 n-1 - 故 an= · 3 ,或 an=-5· (-1)n 1. 3 5 n-1 1 3 ?1?n-1 ?1? 3 1 (2)若 an= · 3 ,则 = · ,故?a ?是首项为 ,公比为 的等比数列, 3 an 5 ?3? 5 3 ? n? 3 ? ?1?m? ·1- 1 5 ? ?3? ? 9 ? ?1?m? 9 从而 ? = = · 1- < <1. a 1 10 ? ?3? ? 10 n=1 n 1- 3
m

1 1 ?1? 1 - - 若 an=-5· (-1)n 1,则 =- (-1)n 1,故?a ?是首项为- ,公比为-1 的等比数列, an 5 5 ? n?

? 1 1 ?-5,m=2k-1?k∈N+?, 从而 ? =? n=1 an ? ?0,m=2k?k∈N+?,
m

故?

m

n=1

1 <1. an

综上,对任何正整数 m,总有 ?

m

n=1

1 <1. an

1 1 1 故不存在正整数 m,使得 + +…+ ≥1 成立. a1 a2 am 8. (2013 辽宁,5 分)已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是{an}的前 n 项和.若 a1,a3 是方程 x2-5x+4=0 的两个根,则 S6=________. 解析:本题主要考查等比数列的性质、通项公式、求和公式,意在考查考生对等比数列 公式的运用,以及等比数列性质的应用情况.由题意得,a1+a3=5,a1a3=4,由数列是递增 数列得,a1=1,a3=4,所以 q=2,代入等比数列的求和公式得 S6=63. 答案:63 9. (2013 湖北,13 分)已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S4,S2,S3 成等差数列,且 a2+a3+a4=-18. (1)求数列{an}的通项公式; (2)是否存在正整数 n,使得 Sn≥2013?若存在,求出符合条件的所有 n 的集合;若不存 在,说明理由. 解:本题主要考查等比数列的性质、等差数列的性质、等比数列的通项公式及前 n 项和 公式,也考查了分类讨论思想. (1)设数列{an}的公比为 q,则 a1≠0,q≠0.由题意得

2 3 2 ? ? ?S2-S4=S3-S2, ?-a1q -a1q =a1q , ? 即? 2 ?a2+a3+a4=-18, ? ? ?a1q?1+q+q ?=-18,

?a1=3, ? - 解得? 故数列{an}的通项公式为 an=3(-2)n 1. ?q=-2. ?

3[1-?-2?n] (2)由(1)有 Sn= =1-(-2)n. 1-?-2? 若存在 n,使得 Sn≥2 013,则 1-(-2)n≥2 013,即(-2)n≤-2 012. 当 n 为偶数时,(-2)n>0,上式不成立; 当 n 为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 012,即 2n≥2 012,则 n≥11. 综上,存在符合条件的正整数 n,且所有这样的 n 的集合为{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}. 10. (2013 陕西,12 分)设{an}是公比为 q 的等比数列. (1)推导{an}的前 n 项和公式; (2)设 q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列. 解:本题考查等比数列前 n 项和公式推导所用的错位相减法以及用反证法研究问题,深 度考查考生应用数列作工具进行逻辑推理的思维方法. (1)设{an}的前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=a1+a1+…+a1=na1; 当 q≠1 时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn 1,①


qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,② ①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn, na ,q=1, ? ? 1 a1?1-qn? ∴Sn= ,∴Sn=?a1?1-qn? 1-q ,q≠1. ? ? 1-q (2)证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的 k∈N+, (ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1), a2 k+1+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,
2k k k 1 a2 · a1qk 1+a1qk 1+a1qk 1, 1q +2a1q =a1q
- + - +

∵a1≠0,∴2qk=qk 1+qk 1.
- +

∵q≠0,∴q2-2q+1=0, ∴q=1,这与已知矛盾. ∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列. 11. (2013 江西,5 分)等比数列 x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( A.-24 C.12 B.0 D.24 )

解析:选 A 本题考查等比数列的通项以及等比数列的性质,意在考查考生的运算能力 及对基础知识的掌握情况.由等比数列的前三项为 x,3x+3,6x+6,可得(3x+3)2=x(6x+6), 解得 x=-3 或 x=-1(此时 3x+3=0,不合题意,舍去),故该等比数列的首项 x=-3,公 3x+3 比 q= =2,所以第四项为(6x+6)×q=-24. x 1 12. (2013 江苏,5 分)在正项等比数列{an}中,a5= ,a6+a7=3.则满足 a1+a2+…+ 2 an>a1a2…an 的最大正整数 n 的值为________. 解析:本题主要考查等比数列的基本性质,意在考查学生的运算能力. 1 1 设等比数列{an}的公比为 q(q>0).由 a5= ,a6+a7=3,可得 (q+q2)=3,即 q2+q-6 2 2 n - - - =0,所以 q=2,所以 an=2n 6,数列{an}的前 n 项和 Sn=2n 5-2 5,所以 a1a2…an=(a1an) 2 n?n-11? n?n-11? n?n-11? - - - =2 ,由 a1+a2+…+an>a1a2…an 可得 2n 5-2 5>2 ,由 2n 5>2 ,可 2 2 2 求得 n 的最大值为 12,而当 n=13 时,28-2 5>213 不成立,所以 n 的最大值为 12.


答案:12 13. (2012 浙江,4 分)设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3a2+2, S4=3a4+2,则 q=____________. 解析:∵S4-S2=a3+a4=3(a4-a2),∴a2(q+q2)=3a2(q2-1), 3 解得 q=-1(舍去)或 q= . 2 3 答案: 2

14. (2012 新课标全国,5 分)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10 =( ) A.7 C.-5 B.5 D.-7

? ?a4+a7=2, 解析:设数列{an}的公比为 q,由? ?a5· a6=a4· a7=-8, ?

? ? ? ? 1 ?a4=4, ?a4=-2, ? ? 得 或 所以? 3 1 ?a7=-2, ? ? ?a7=4, ?q =- ,
a =-8, 2

?

? ?a1=1, 或? 3 ?q =-2, ?

? ? ?a1=-8, ?a1=1, 所以? 或? 所以 a1+a10=-7. ? ? ?a10=1, ?a10=-8,

答案:D

2 15.(2011 新课标全国,12 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a3 =9a2a6.

(1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{ }的前 n 项和. bn
2 2 2 1 解:(1)设数列{an}的公比为 q.由 a2 3=9a2a6 得 a3=9a4,所以 q = .由条件可知 q>0,故 9

1 q= . 3 1 由 2a1+3a2=1,得 2a1+3a1q=1,得 a1= . 3 1 故数列{an}的通项公式为 an= n. 3 (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an= n?n+1? -(1+2+…+n)=- . 2 1 2 1 1 故 =- =-2( - ). bn n n+1 n?n+1? 1 1 1 1 1 1 1 1 2n + +…+ =-2[(1- )+( - )+…+( - )]=- . b1 b2 bn 2 2 3 n n+1 n+1 1 2n 所以数列{ }的前 n 项和为- . bn n+1


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