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高二数学文同步测试(2)(选修1-1第二章)第二章圆锥曲线方程与几何性质


普通高中课程标准实验教科书——数学 [人教版](选修 1-1、1-2)

高中学生学科素质训练
新课标高二数学文同步测试( ) 新课标高二数学文同步测试(2) 第二章圆锥曲线方程与几何性质) (1-1 第二章圆锥曲线方程与几何性质)
说明:本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 50 分,第Ⅱ卷 100 分,共 150 分;答题时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题
小题 5 分,共 50 分) 。

共 50 分)

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(每 1.在同一坐标系中,方程 a2x2+b2y2=1 与 ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致是





2 2 x y 2.已知椭圆 x + y 和双曲线 ? 2 =1 有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方 2 2 2 2m 3n 3m 5n 程是 (

2

2



C.x=± 3 y D.y=± 3 x 4 4 2 3.过抛物线 y=ax (a>0)的焦点 F 用一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的 A.x=± 15 y
2

B.y=± 15 x

2

长分别是 p、q,则 1 + 1 等于
p q

( C.4a D. 4 a



A.2a
2 2

B. 1 2a

4.若椭圆 x 2 + y 2 = 1( a?b? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,线段 F1F2 被抛物线 y2=2bx 的焦点 a b 分成 5:3 两段,则此椭圆的离心率为 ( ) A. 16
17

B. 4 17
17

C. 4
5

D. 2 5
5

2 2 5.椭圆 x + y =1 的一个焦点为 F1,点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上,那么 12 3 点 M 的纵坐标是 ( )

A.± 3 4

B.± 3 2
2

C.± 2 2

D.±

3 4

6.设 F1 和 F2 为双曲线 x ? y 2 = 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且满足∠F1PF2=90°,则 4 △F1PF2 的面积是 ( ) A.1 B. 5
2

C.2

D. 5

7.已知 F1、F2 是两个定点,点 P 是以 F1 和 F2 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,并且 PF1⊥PF2,e1 和 e2 分别是椭圆和双曲线的离心率,则有 A. e1e2 ≥ 2 8.已知方程 A.m<2 C.m<-1 或 1<m<2
2 B. e12 + e2 ≥ 4

( D.



C. e1 + e 2 ≥ 2 2

1 1 + 2 =2 2 e1 e2
( )

x 2 + y 2 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是 | m | ?1 2 ? m

B.1<m<2 D.m<-1 或 1<m<

3 2

9.已知双曲线

x2 x2 y 2 y2 - 2 =1 和椭圆 2 + 2 =1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数,那么以 a、b、 a2 m b b
C.钝角三角形 ( ) D.锐角或钝角三角形
100

m 为边长的三角形是 A.锐角三角形 B.直角三角形
2 2

10.椭圆 x + y = 1 上有 n 个不同的点: P1, P2, …, Pn, 椭圆的右焦点为 F. 数列{|PnF|}是公差大于 1 的等差数列, 则
4 3

n 的最大值是 A.198

B.199

C.200

( ) D.201

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分) 。 2 11.已知点(-2,3)与抛物线 y =2px(p>0)的焦点的距离是 5,则 p=___
2 2

__。 。 。 ___。

12.设圆过双曲线 x ? y =1 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是
9 16

13.双曲线 x ? y =1 的两个焦点为 F1、F2,点 P 在双曲线上,若 PF1⊥PF2,则点 P 到 x 轴的距离为
9 16

2

2

点 则|PA|+|P F1|的最小值是_______ 14. A 点坐标为 1)F1 是 5x2+9y2=45 椭圆的左焦点, P 是椭圆的动点, 若 (1, , 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分)。
2 2

15.(12 分)已知 F1、F2 为双曲线 x 2 ? y 2 = 1 (a>0,b>0)的焦点,过 F2 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P,且 a b ∠PF1F2=30°.求双曲线的渐近线方程。


2 2 16. (12 分)已知椭圆 x + y = 1( a > b > 0) 的长、短轴端点分别为 A、B,从此椭圆上一点 M 向 x 轴作垂线,恰好通过 2 2

a

b

椭圆的左焦点 F1 ,向量 AB 与 OM 是共线向量。 (1)求椭圆的离心率 e; (2)设 Q 是椭圆上任意一点, F1、F2 分别是左、右焦点,求∠F1QF2 的取值范围;

2 2 17. (12 分)如图椭圆 x + y = 1 (a>b>0)的上顶点 为 A,左顶点为 B, F 为右焦点, 过 F 作平行与 AB 的直线交椭圆 a2 b2

于 C、D 两点. 作平行四边形 OCED, E 恰在椭圆上。 (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)若平行四边形 OCED 的面积为 6 , 求椭圆方程。 y A C B O F x

E D x y 18. (12 分)双曲线 2 ? 2 = 1 (a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线 l 的距离与点(-1,0)到直 a b
2 2

线 l 的距离之和 s≥

4 c.求双曲线的离心率 e 的取值范围 5

19. (14 分)如图,直线 l1 和 l2 相交于点 M,l1⊥l2,点 N∈l1.以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 l2 的距离与到 点 N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形,|AM|=

17 ,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段 C 的方程



2 20. (14 分)已知圆 C1 的方程为(x-2)2+(y-1)2= 20 ,椭圆 C2 的方程为 x + y =1(a>b>0) 2 的离心率为 2 ,如果 ,C

2

3

a2

b2

2

C1 与 C2 相交于 A、B 两点,且线段 AB 恰为圆 C1 的直径,求直线 AB 的方程和椭圆 C2 的方程。

参考答案
2 2 一、1.D;解析一:将方程 a2x2+b2y2=1 与 ax+by2=0 转化为标准方程: x + y = 1, y 2 = ? a x .因为 a>b>0,因此,

1 a2

1 b2

b

1 1 >0,所以有:椭圆的焦点在 y 轴,抛物线的开口向左,得 D 选项. > b a

解析二:将方程 ax+by2=0 中的 y 换成-y,其结果不变,即说明:ax+by2=0 的图形关于 x 轴对称,排除 B、C,又 椭圆的焦点在 y 轴.故选 D. 评述:本题考查椭圆与抛物线的基础知识,即标准方程与图形的基本关系.同时,考查了代数式的恒等变形及简单 的逻辑推理能力. ,双曲线焦点( 2m 2 + 3n 2 ,0) , 2.D;解析:由双曲线方程判断出公共焦点在 x 轴上,∴椭圆焦点( 3m 2 ? 5n 2 ,0) ∴3m2-5n2=2m2+3n2∴m2=8n2 又∵双曲线渐近线为 y=± 6 ? | n | ·x∴代入 m2=8n2,|m|=2
2| m|

2 |n|,得 y=± 3 x。
4

3.C;解析:抛物线 y=ax2 的标准式为 x2=

1 y,∴焦点 F(0, 1 ). a 4a

取特殊情况,即直线 PQ 平行 x 轴,则 p=q. 如图,∵PF=PM,∴p= 1 ,故 1 + 1 = 1 + 1 = 2 = 4a . 2a p q p p p
4.D;



2 2 , ,又 P 在 x + y =1 的椭圆上得 y0= 5.A;解析:由条件可得 F1(-3,0) PF1 的中点在 y 轴上,∴P 坐标(3,y0) 12 3

± 3 ,∴M 的坐标(0,± 3 ) ,故选 A. 2 4 评述:本题考查了椭圆的标准方程及几何性质,中点坐标公式以及运算能力.
6.A;解法一:由双曲线方程知|F1F2|=2
2 5 ,且双曲线是对称图形,假设 P(x, x ? 1 ) ,由已知 F1P⊥F2 P,有

4

x2 x2 ?1 ?1 24 1 x2 4 4 ? = ?1 ,即 x 2 = ,S = ?2 5 ? ? 1 = 1 ,因此选 A. 5 2 4 x? 5 x+ 5 评述:本题考查了双曲线的标准方程及其性质、两条直线垂直的条件、三角形面积公式以及运算能力. 7.D;8.D;9.B;10.C; 二、
11.4;解析:∵抛物线 y2=2px(p>0)的焦点坐标是( p ,0) ,由两点间距离公式,得 ( p + 2) 2 + 32 =5。解得 p=4. 2 2 12. 16 ;解析:如图 8—15 所示,设圆心 P(x0,y0) ,则|x0|= c + a = 5 + 3 =4, 2 2 3

代入 x ? y =1,得 y02= 16 × 7 ,∴|OP|= x0 2 + y 0 2 = 16 . 9 16 9 3 评述:本题重点考查双曲线的对称性、两点间距离公式以及数形结合的思想.
2 2

13. 16 ;解析:设|PF1|=M,|PF2|=n(m>n) a=3、b=4、c=5,∴m-n=6 , 5
m2+n2=4c2,m2+n2-(m-n)2=m2+n2-(m2+n2-2mn)=2mn=4×25-36=64,mn=32.

又利用等面

积法可得:2c·y=mn,∴y= 16 。 5
14. 6 ? 2 ; 三、

( ( , ,则 c ? 15.解: 1)设 F2(c,0) c>0) P(c,y0) 2

2

a

y 0 =1。解得 y =± b 2 , 0 b2 a

2

∴|PF2|= b ,在直角三角形 PF2F1 中,∠PF1F2=30°
a

2

解法一:|F1F2|= 3 |PF2|,即 2c= 3 b ,将 c2=a2+b2 代入,解得 b2=2a2 a 解法二:|PF1|=2|PF2|,由双曲线定义可知|PF1|-|PF2|=2a,得|PF2|=2a. 2 2 ∵|PF2|= b ,∴2a= b ,即 b2=2a2,∴ b = 2 a a a 故所求双曲线的渐近线方程为 y=±

2

2 x。

16.解: 解 (1)∵ F1 ( ?c,0), 则x M = ?c, y M = ∵ k AB

(2)设

b2 b2 ,∴ k OM = ? 。 a ac b b2 b 2 = ? ,∴b=c,故 e = = ? , OM 与 AB 是共线向量,∴ ? 。 a ac a 2 F1Q = r1 , F2Q = r2 , ∠F1 QF2 = θ ,
∴ r1 + r2 = 2a, F1 F2 = 2c,
r12 + r22 ? 4c 2 ( r1 + r2 ) 2 ? 2r1r2 ? 4c 2 a 2 a2 = = ?1 ≥ ?1 = 0 r +r 2r1r2 2r1r2 r1r2 ( 1 2 )2 2

cos θ =

当且仅当 r1 = r2 时,cosθ=0,∴θ ∈ [0,

π

2

]。

说明:由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用,因此,解析几何中与平行线、三点 说明 共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是:正确理解向量共线与解析几何 中平行、三点共线等的关系,把有关向量的问题转化为解析几何问题。 17.解:(Ⅰ) ∵焦点为 F(c, 0), AB 斜率为

b b , 故 CD 方程为 y= (x-c). 于椭圆联立后消去 y 得 2x2-2cx-b2=0. ∵CD a a

的中点为 G(

c bc bc bc c 2 ,? ), 点 E(c, - )在椭圆上, ∴将 E(c, - )代入椭圆方程并整理得 2c2=a2, ∴e = = . 2 2a a a a 2 2 (x-c), b=c, a= 2 c. 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 CD 的方程为 y=

与椭圆联立消去 y 得 2x2-2cx-c2=0. ∵平行四边形 OCED 的面积为 S=c|yC-yD|=

2 2 6 2 2 2 2 c (xC + x D) ? 4 xC x D = c c + 2c = c = 6, 2 2 2 x2 y2 + =1 4 2

∴c= 2 , a=2, b= 2 . 故椭圆方程为

18.解:直线 l 的方程为 bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且 a>1,得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1 = 同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离 d2 = 由 s≥

b(a ? 1) a2 + b2



b(a + 1) a2 + b2

.s= d1 +d2=

ab a2 + b2

=

2ab . c

4 2ab 4 2 2 c,得 ≥ c,即 5a c ? a ≥2c2. 5 c 5
2

于是得 5 e ? 1 ≥2e2.即 4e2-25e+25≤0.解不等式,得 由于 e>1>0,所以 e 的取值范围是

5 ≤e2≤5. 4

5 ≤e≤ 5. 2

19.解法一:如图建立坐标系,以 l1 为 x 轴,MN 的垂直平分线为 y 轴,点 O 为坐标原点. 依题意知:曲线段 C 是以点 N 为焦点,以 l2 为准线的抛物线的一段,其中 A、B 分别为 C 的端点. 设曲线段 C 的方程为,y2=2px(p>0)(xA≤x≤xB,y>0) , 其中 xA、xB 分别为 A、B 的横坐标,p=|MN|.所以 M( ? 由|AM|=

p p ,0) ,N( ,0) 2 2

17 ,|AN|=3 得:
① ② 图 4 p = 4 ?p = 2 ,再将其代入①式并由 p>0,解得 ? 或? ? p x A = 1 ?x A = 2 ?

(xA+ p )2+2pxA=17
2

(xA ?

p 2 ) +2pxA=9 2

由①②两式联立解得 xA=

因为△AMN 是锐角三角形,所以 p >xA,故舍去 ? p = 2 ? 2 ?xA = 2 所以 p=4,xA=1.由点 B 在曲线段 C 上,得 xB=|BN| ?

p =4 . 2

综上得曲线段 C 的方程为 y2=8x(1≤x≤4,y>0) . 解法二:如图建立坐标系,分别以 l1、l2 为 x、y 轴,M 为坐标原点.作 AE⊥l1,AD⊥l2,BF⊥l2,垂足分别为 E、 D、F.设 A(xA,yA) B(xB,yB) N(xN,0) 、 、 依题意有 xA=|ME|=|DA|=|AN|=3,yA=|DM|= | AM |2 ? | DA |2 = 2 2 由于△AMN 为锐角三角形,故有
xN=|ME|+|EN|=|ME|+ | AN | 2 ? | AE | 2 =4,xB=|BF|=|BN|=6.

设点 P(x,y)是曲线段 C 上任一点,则由题意知 P 属于集合 { x,y)|(x-xN)2+y2=x2,xA≤x≤xB,y>0} ( 故曲线段 C 的方程为 y2=8(x-2) 3≤x≤6,y>0) ( . 评述:本题考查根据所给条件选择适当的坐标系,求曲线方程的解析几何的基本思想,考查了抛物线的概念和性 质、曲线和方程的关系以及综合运用知识的能力.

c 20.由 e= 2 ,得 = 2 ,a2=2c2,b2=c2。
2

a

2

2 2 设椭圆方程为 x + y =1。又设 A(x1,y1),B(x2,y2)。由圆心为(2,1),得 x1+x2=4,y1+y2=2。 2b 2 b 2
2 2 2 2 x2 ? x2 y2 ? y2 又 x1 + y1 =1, x 2 + y 2 =1,两式相减,得 1 2 2 + 1 2 2 =0。 2b b 2b 2 b 2 2b 2 b 2 y1 ? y 2 x1 + x2 ∴ =? = ?1 x1 ? x2 2( y1 + y 2 )

∴直线 AB 的方程为 y-1= -(x-2),即 y= -x+3。
2 2 将 y= -x+3 代入 x + y =1,得 3x2-12x+18-2b2=0

2b 2

b2

又直线 AB 与椭圆 C2 相交,∴Δ=24b2-72>0。 由|AB|= 2 |x1-x2|= 2
2 24b 2 ? 72 = 20 。 ( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 = 20 ,得 2 · 3 3 3

解得 b2=8,故所求椭圆方程为

x2 y2 + =1。 16 8


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