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数列中分奇偶项求和问题


数列中分奇偶数项求和问题
数列求和问题中有一类较复杂的求和,要对正整数 n 进行分奇数和偶数情形的 讨论,举例说明如下: 一、相邻两项符号相异; 例 1:求和:
n ?1 Sn ?? ?? ? ? ? ??? ? … ? (-1)(4n-3)

?n ? N ? ?

解:当 n 为偶数时: Sn ? ?1 ? 5 ? ? ? 9 ? 13? ??? ???n ? ???????n ? ??? ? ? 当 n 为奇数时: Sn ? ?1 ? 5? ? ? 9 ? 13? ??? ???n ?????????n ? ??? ? ? n-3) (4 ?

n ? ?4 ? ? ??n 2

n -1 ? ?4 ? ?(4n-3)? ?n ?? 2

二、相邻两项之和为常数; 例 2:已知数列{an}中 a1=2,an+an+1=1,Sn 为{an}前 n 项和,求 Sn 解:①当 n 为偶数时: Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? … ? an ?1 ? an
? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a 4 ) ? … ? (an ?1 ? an ) ? n n ?1? 2 2

②当 n 为奇数时: Sn ? a1 ? (a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ) ? … ? (an ?1 ? an )
? 2? n ?1 n ? 3 ? 2 2

三、相间两项之差为常数; 例 3:已知数列{an}中 a1=1,a2=4,an=an-2+2 (n≥3) n 为{an}前 n 项和,求 Sn ,S 解:∵an-an-2=2 (n≥3) ∴a1,a3,a5,…,a2n-1 为等差数列;a2,a4,a6,…,a2n 为等差数列 n ?1 ? 1) ? 2 ? n 当 n 为奇数时: an ? 1 ? ( 2 n 当 n 为偶数时: an ? 4 ? ( ? 1) ? 2 ? n ? 2 2 即 n∈N+时,
an ? n ? ?1 ? (?1) n ? ? ?

∴①n 为奇数时:

S n ? (1 ? 2 ? 3 ? … ? n) ?

n ?1 n(n ? 1) ?2 ? ? n ?1 2 2

n n(n ? 1) Sn ? (1 ? 2 ? 3 ? … ? n) ? ? 2 ? ?n 2 2 ②n 为偶数时:

四、相间两项之比为常数;
1 例 4:已知 an,an+1 为方程 x 2 ? Cn x ? ( ) n ? 0 的两根 n∈N+,a1=2,Sn=C1+C2+…+Cn, 3
1

求 an 及 S2n。
1 a 1 解:依题意: an ? an ?1 ? ( ) n ∴ n ? 2 ? 3 an 3

其中 a1 ? 2, a2 ?

1 。 6

∴ a1 , a3 , a5 ,..., a2n?1 为等比数列; a2 , a4 , a6 ,..., a2n 为等比数列

1 n ?1 1 1 n ?1 1 1 n an ? a2 ( ) 2 ? ( ) 2 ? ( ) 2 3 6 3 2 3 ∴①n 为偶数时:
? ? 1 n2 1?1 1 n2 1 ? 2( ) ②n 为奇数时: an ? 2( ) 3 3

1 n ?1 2( ) 2 3 则有: an ? { 1 1 n ( )2 2 3
而 Cn=an+an+1

n ? 2k ? 1(k ? N ? ) n ? 2k ( k ? N ? )

1 n ?1 1 1 n ?1 13 1 n ?1 Cn ? an ? an ?1 ? 2( ) 2 ? ( ) 2 ? ( ) 2 3 2 3 6 3 ∴①n 为奇数时,n+1 为偶数:
则:
13 1 (1- n ) 3 C1 ? C3 ? C5 ? … ? C2 n ?1 ? 6 1 1? 3

1 1 n 1 n 5 1 n Cn ? an ? an ?1 ? ( ) 2 ? 2( ) 2 ? ( ) 2 2 3 3 2 3 ②n 为偶数时, 为奇数: n+1 则:
5 1 (1- n ) 3 C2 ? C4 ? C6 ? … ? C2 n ? 6 1 1? 3 于是:

S2 n ? c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ... ? c2 n ?1 ? c2 n 1 1 (1 ? n ) (1 ? n ) 13 5 3 ? . 3 ? 9 (1 ? 1 ) ? . 6 1? 1 6 1? 1 2 3n 3 3

2


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