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【步步高】(人教A版,文科)2015届高三数学第一轮大练习复习学案:2.5 指数与指数函数


§ 2.5

指数与指数函数

1.分数指数幂 m n (1)规定:正数的正分数指数幂的意义是 a = am(a>0,m,n∈N*,且 n>1);正数的负分 n m 1 数指数幂的意义是 a- = (a>0,m,n∈N*,且 n>1);0 的正分数指数幂等于 0;0 n n am 的负分数指数幂没有意义. (2)有理

指数幂的运算性质:aras=ar s,(ar)s=ars,(ab)r=arbr,其中 a>0,b>0,r,s∈Q.


2.指数函数的图象与性质

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 4 (1)( ?-4?)4=-4. 2 1 (2)(-1) =(-1) = -1. 4 2 (3)函数 y=a x 是 R 上的增函数.


( × ( × ( × ( × ( ×

) ) ) ) )

(4)函数 y=ax2+1(a>1)的值域是(0,+∞). (5)函数 y=2x
-1

是指数函数.

1

1 - (6)函数 y=( )1 x 的值域是(0,+∞). 4 2.若 a=(2+ 3) 1,b=(2- 3) 1,则(a+1) 2+(b+1) 1 2 A.1 B. C. 4 2
- - - -2

( √ 的值是 2 D. 3 ( )

)

答案 D 解析 a=(2+ 3) 1=2- 3,b=(2- 3) 1=2+ 3,
- -

∴(a+1) 2+(b+1) 2=(3- 3) 2+(3+ 3) 1 1 2 = + = . 12-6 3 12+6 3 3
- - -

-2

3.设函数 f(x)=a

-|x|

(a>0,且 a≠1),f(2)=4,则 B.f(-1)>f(-2) D.f(-2)>f(2)

(

)

A.f(-2)>f(-1) C.f(1)>f(2) 答案 A 解析 ∵f(x)=a
-|x|

1?-|x| |x| 1 - (a>0,且 a≠1),f(2)=4,∴a 2=4,∴a= ,∴f(x)=? ?2? =2 , 2

∴f(-2)>f(-1). 4.若函数 y=(a2-1)x 在(-∞,+∞)上为减函数,则实数 a 的取值范围是__________. 答案 (- 2,-1)∪(1, 2)

解析 由 y=(a2-1)x 在(-∞,+∞)上为减函数,得 0<a2-1<1,∴1<a2<2,即 1<a< 2或 - 2<a<-1. 1 5.已知 0≤x≤2,则 y=4x- -3· 2x+5 的最大值为________. 2 5 答案 2 解析 令 t=2x,∵0≤x≤2,∴1≤t≤4, 1 - 又 y=22x 1-3· 2x+5,∴y= t2-3t+5 2 1 1 = (t-3)2+ , 2 2 5 ∵1≤t≤4,∴t=1 时,ymax= . 2

题型一 指数幂的运算

例 1 化简: (2)(-
? 27 ? 3 - ) +(0.002) 2 -10( 5-2) 1+( 2- 3)0. 8 2 1

思维启迪 运算中可先将根式化成分数指数幂,再按照指数幂的运算性质进行运算.

2

思维升华

(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则

计算,但应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加;②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 4 (1)化简 16x8y4(x<0,y<0)得 A.2x2y B.2xy C.4x2y D.-2x2y ( )

答案

8 (1)D (2) 5

题型二 指数函数的图象、性质 例2 (1)函数 f(x)=ax
-b

的图象如 ( )

图所示,其中 a,b 为常数,则下列结论正确的是 A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0

(2)若函数 f(x)=e-(x-μ)2 (e 是自然对数的底数)的最大值是 m,且 f(x)是偶函数,则 m+μ =________ 思维启迪 对于和指数函数的图象、 性质有关的问题, 可以通过探求已知函数和指数函数 的关系入手. 答案 (1)D (2)1

3

解析

(1)由 f(x)=ax
-b

-b

的图象可以观察出函数 f(x)=ax b 在定义域上单调递减, 所以 0<a<1.


函数 f(x)=ax

的图象是在 f(x)=ax 的基础上向左平移得到的,所以 b<0.

(2)由于 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x), 即 e-(-x-μ)2=e-(x-μ)2,∴(x+μ)2=(x-μ)2,∴μ=0, ∴f(x)=e-x2.又 y=ex 是 R 上的增函数,而-x2≤0, ∴f(x)的最大值为 e0=1=m,∴m+μ=1. 思维升华 (1)与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通

过平移、对称变换得到其图象. (2)对复合函数的性质进行讨论时,要搞清复合而成的两个函数,然后对两层函数分别进 行研究. ex+e x (1)函数 y= x -x的图象大致为 e -e


(

)

(2)若函数 f(x)=ax-1(a>0 且 a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数 a=________. 答案 解析 +
2x

(1)A (2) 3 - ex+e x 2 (1)y= x -x=1+ 2x ,当 x>0 时,e2x-1>0,且随着 x 的增大而增大,故 y=1 e -e e -1

2 >1 随着 x 的增大而减小,即函数 y 在(0,+∞)上恒大于 1 且单调递减.又函数 y e -1

是奇函数,故只有 A 正确. (2)当 a>1 时,x∈[0,2],y∈[0,a2-1],∴a2-1=2,即 a= 3. 当 0<a<1 时,x∈[0,2],y∈[a2-1,0],此时定义域与值域不一致,无解. 综上,a= 3. 题型三 指数函数的应用 例3 (1)k 为何值时,方程|3x-1|=k 无解?有一解?有两解? 1 (2)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2x- |x|. 2 3 ①若 f(x)= ,求 x 的值; 2 ②若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围. 思维启迪 方程的解的问题可转为函数图象的交点问题; 恒成立可以通过分离参数求最值

4

或值域来解决. 解 (1) 函数 y=|3x-1|的图象是由函数 y=3x 的图象向下平移一个单位后,再把位于 x 轴

下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的,函数图象如图所示. 当 k<0 时,直线 y=k 与函数 y=|3x-1|的图象无交点,即方程无 解;当 k=0 或 k≥1 时,直线 y=k 与函数 y=|3x-1|的图象有唯 一的交点,所以方程有一解; 当 0<k<1 时,直线 y=k 与函数 y=|3x-1|的图象有两个不同的交点,所以方程有两解. (2)①当 x<0 时,f(x)=0,无解; 1 当 x≥0 时,f(x)=2x- x, 2 1 3 由 2x- x= ,得 2· 22x-3· 2x-2=0, 2 2 1 看成关于 2x 的一元二次方程,解得 2x=2 或- , 2 ∵2x>0,∴x=1. 1? 2t ? t 1? ②当 t∈[1,2]时,2t? ?2 -22t?+m?2 -2t?≥0, 即 m(22t-1)≥-(24t-1),∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1), ∵t∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5], 故 m 的取值范围是[-5,+∞). 思维升华 对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提,方程 f(x)=g(x)解的个数即为 函数 y=f(x)和 y=g(x)图象交点的个数;有关复合函数问题的关键是通过换元得到两个新 的函数,搞清复合函数的结构. 设函数 f(x)=kax-a x(a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数.


(1)若 f(1)>0,试求不等式 f(x2+2x)+f(x-4)>0 的解集; 3 - (2)若 f(1)= ,且 g(x)=a2x+a 2x-4f(x),求 g(x)在[1,+∞)上的最小值. 2 解 因为 f(x)是定义域为 R 的奇函数,

所以 f(0)=0,所以 k-1=0,即 k=1. 1 (1)因为 f(1)>0,所以 a- >0,又 a>0 且 a≠1, a 所以 a>1. 因为 f′(x)=axln a+a xln a=(ax+a x)ln a>0,
- -

所以 f(x)在 R 上为增函数,原不等式可化为 f(x2+2x)>f(4-x), 所以 x2+2x>4-x,即 x2+3x-4>0, 所以 x>1 或 x<-4. 所以不等式的解集为{x|x>1 或 x<-4}. 3 1 3 (2)因为 f(1)= ,所以 a- = , 2 a 2

5

1 即 2a2-3a-2=0,所以 a=2 或 a=- (舍去). 2 所以 g(x)=22x+2
- -2x

-4(2x-2 x)=(2x-2 x)2-4(2x-2 x)+2.
- - -

令 t(x)=2x-2 x(x≥1),则 t(x)在(1,+∞)为增函数(由(1)可知), 3 即 t(x)≥t(1)= , 2 所以原函数为 ω(t)=t2-4t+2=(t-2)2-2, 所以当 t=2 时,ω(t)min=-2,此时 x=log2(1+ 2). 即 g(x)在 x=log2(1+ 2)时取得最小值-2.

换元法解决与指数函数有关的值域问题 1 典例:(10 分)(1)函数 y=( )x2+2x-1 的值域是 2 A.(-∞,4) C.(0,4] B.(0,+∞)

(

)

D.[4,+∞) 1x 1x (2)函数 y=( ) -( ) +1 在 x∈[-3,2]上的值域是________. 4 2 1 2 解析 (1)设 t=x +2x-1,则 y=( )t. 2 1 因为 t=(x+1)2-2≥-2,y=( )t 为关于 t 的减函数, 2 1 1- 所以 0<y=( )t≤( ) 2=4, 2 2 故所求函数的值域为(0,4]. 1 1 (2)因为 x∈[-3,2],若令 t=( )x,则 t∈[ ,8]. 2 4 1 3 则 y=t2-t+1=(t- )2+ . 2 4 1 3 当 t= 时,ymin= ;当 t=8 时,ymax=57. 2 4 3 所以所求函数值域为[ ,57]. 4 3 答案 (1)C (2)[ ,57] 4 温馨提醒 和指数函数有关的值域或最值问题,通常利用换元法,将其转化为两个基本初等 函数的单调性或值域问题,注意换元过程中“元”的取值范围的变化.

方法与技巧 1.判断指数函数图象上底数大小的问题,可以先通过令 x=1 得到底数的值再进行比较. 2.指数函数 y=ax (a>0,a≠1)的性质和 a 的取值有关,一定要分清 a>1 与 0<a<1.
6

3.对和复合函数有关的问题,要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成. 失误与防范 1.恒成立问题一般与函数最值有关,要与方程有解区别开来. 2.复合函数的问题,一定要注意函数的定义域. 3.对可化为 a2x+b· ax+c=0 或 a2x+b· ax+c≥0 (≤0)形式的方程或不等式,常借助换元法解 决,但应注意换元后“新元”的范围.

A 组 专项基础训练 一、选择题 1.函数 y=ax-a(a>0,且 a≠1)的图象可能是 ( )

答案 C 解析 当 x=1 时,y=0,故函数 y=ax-a(a>0,且 a≠1)的图象必过点(1,0),显然只有 C 符合. 2.已知 a= 5-1 ,函数 f(x)=ax,若实数 m、n 满足 f(m)>f(n),则 m、n 的关系为( 2 B.m+n>0 D.m<n 5-1 5-1 x <1,∴f(x)=ax=( ), 2 2 )

A.m+n<0 C.m>n 答案 D 解析 ∵0<

且 f(x)在 R 上单调递减, 又∵f(m)>f(n),∴m<n,故选 D. 1 - 3.若函数 f(x)=a|2x 4|(a>0,a≠1),满足 f(1)= ,则 f(x)的单调递减区间是 9 A.(-∞,2] C.[-2,+∞) 答案 B 1 1 解析 由 f(1)= 得 a2= , 9 9 1 1 1 - ∴a= (a=- 舍去),即 f(x)=( )|2x 4|. 3 3 3
7

(

)

B.[2,+∞) D.(-∞,-2]

由于 y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增, 所以 f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.故选 B. 1 4.若存在负实数使得方程 2x-a= 成立,则实数 a 的取值范围是 x-1 A.(2,+∞) C.(0,2) 答案 C 1 解析 在同一坐标系内分别作出函数 y= 和 y=2x-a 的图象 x-1 知,当 a∈(0,2)时符合要求. 5.已知实数 a,b 满足等式 2 014a=2 015b,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b; ④b<a<0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有 A.1 个 答案 B 解析 设 2 014a=2 015b=t,如图所示,由函数图象,可得 (1)若 t>1,则有 a>b>0; (2)若 t=1,则有 a=b=0; (3)若 0<t<1,则有 a<b<0. 故①②⑤可能成立,而③④不可能成立. 二、填空题 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ( ) B.(0,+∞) D.(0,1)

(

)

7.若指数函数 y=ax 在[-1,1]上的最大值与最小值的差是 1,则底数 a=________. 5± 1 答案 2 解析 若 0<a<1,则 a 1-a=1, -1+ 5 -1- 5 即 a2+a-1=0,解得 a= 或 a= (舍去). 2 2


若 a>1,则 a-a 1=1,即 a2-a-1=0, 1+ 5 1- 5 解得 a= 或 a= (舍去). 2 2 5± 1 综上所述 a= . 2


8.若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是________. 答案 (1,+∞)

解析 令 ax-x-a=0 即 ax=x+a,若 0<a<1,显然 y=ax 与 y=x+a

8

的图象只有一个公共点;若 a>1,y=ax 与 y=x+a 的图象如图所示有两个公共点. 三、解答题 9.已知函数 f(x)=b· ax(其中 a,b 为常量且 a>0,a≠1)的图象经过点 A(1,6),B(3,24). (1)试确定 f(x); 1 1 (2)若不等式( )x+( )x-m≥0 在 x∈(-∞,1]上恒成立,求实数 m 的取值范围. a b 解 (1)∵f(x)=b· ax 的图象过点 A(1,6),B(3,24), ?b· a=6, ① ?

∴? 3 ?b· a =24, ② ?

②÷ ①得 a2=4,又 a>0 且 a≠1,∴a=2,b=3, ∴f(x)=3· 2x. 1 1 1 1 (2)由(1)知( )x+( )x-m≥0 在(-∞,1]上恒成立化为 m≤( )x+( )x 在(-∞,1]上恒成立. a b 2 3 1x 1x 令 g(x)=( ) +( ) , 2 3 则 g(x)在(-∞,1]上单调递减, 1 1 5 ∴m≤g(x)min=g(1)= + = , 2 3 6 5 故所求实数 m 的取值范围是(-∞, ]. 6 10.设 a>0 且 a≠1,函数 y=a2x+2ax-1 在[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值. 解 令 t=ax (a>0 且 a≠1), 则原函数化为 y=(t+1)2-2 (t>0). 1? ①当 0<a<1 时,x∈[-1,1],t=ax∈? ?a,a?, 1? 此时 f(t)在? ?a,a?上为增函数. 1? ?1 ?2 所以 f(t)max=f? ?a?=?a+1? -2=14. 1 ?2 1 1 所以? ?a+1? =16,所以 a=-5或 a=3. 1 又因为 a>0,所以 a= . 3 1 ? ②当 a>1 时,x∈[-1,1],t=ax∈? ?a,a?, 1 ? 此时 f(t)在? ?a,a?上为增函数. 所以 f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14, 1 解得 a=3(a=-5 舍去).综上得 a= 或 3. 3 B 组 专项能力提升 1 ? ?x ?x>0?, 1.设函数 f(x)=? 若 F(x)=f(x)+x,x∈R,则 F(x)的值域为( x ? ?e ?x≤0?, A.(-∞,1] B.[2,+∞) )

9

C.(-∞,1]∪[2,+∞) 答案 C 1 解析 当 x>0 时,F(x)= +x≥2; x

D.(-∞,1)∪(2,+∞)

当 x≤0 时,F(x)=ex+x,根据指数函数与一次函数的单调性, F(x)是单调递增函数, F(x)≤F(0)=1,所以 F(x)的值域为(-∞,1]∪[2,+∞). 2.若关于 x 的方程|ax-1|=2a (a>0 且 a≠1)有两个不等实根,则 a 的取值范围是( A.(0,1)∪(1,+∞) C.(1,+∞) 答案 D 解析 方程|ax-1|=2a (a>0 且 a≠1)有两个实数根转化为函数 y=|ax-1|与 y=2a 有两个 交点. 1 ①当 0<a<1 时,如图(1),∴0<2a<1,即 0<a< . 2 ②当 a>1 时,如图(2),而 y=2a>1 不符合要求. B.(0,1) 1? D.? ?0,2? )

图(1) 1 综上,0<a< . 2

图(2)

3?x 2+3a 3.关于 x 的方程? ?2? = 5-a 有负数根,则实数 a 的取值范围为__________. 2 3? 答案 ? ?-3,4? 3?x 解析 由题意,得 x<0,所以 0<? ?2? <1, 2+3a 2 3 从而 0< <1,解得- <a< . 3 4 5-a 1 1 4.已知 f(x)=( x + )x3(a>0 且 a≠1). a -1 2 (1)讨论 f(x)的奇偶性; (2)求 a 的取值范围,使 f(x)>0 在定义域上恒成立. 解 (1)由于 ax-1≠0,则 ax≠1,得 x≠0,

所以函数 f(x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠0}. 对于定义域内的任意 x,有 1 1 f(-x)=( -x + )(-x)3 a -1 2 ax 1 =( + )(-x)3 1-ax 2

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1 1 + )(-x)3 ax-1 2 1 1 =( x + )x3=f(x). a -1 2 =(-1- ∴f(x)是偶函数. (2)方法一 当 a>1 时, 对 x>0,由指数函数的性质知 ax>1, 1 1 ∴ax-1>0, x + >0. a -1 2 又 x>0 时,x3>0, 1 1 ∴x3( x + )>0,即当 x>0 时,f(x)>0. a -1 2 又由(1)知,f(x)为偶函数,故 f(-x)=f(x), 当 x<0 时,-x>0,有 f(x)=f(-x)>0. 综上知当 a>1 时,f(x)>0 在定义域内恒成立. ?ax+1?x3 当 0<a<1 时,f(x)= x . 2?a -1? 当 x>0 时,1>ax>0,ax+1>0, ax-1<0,x3>0,此时 f(x)<0,不满足题意; 又 f(x)为偶函数,所以当 x<0 时, -x>0,f(x)=f(-x)<0,也不满足题意. 综上可知,a 的取值范围是 a>1. 方法二 由(1)知 f(x)为偶函数, ∴只需讨论 x>0 时的情况. 1 1 当 x>0 时,要使 f(x)>0,即( x + )x3>0, a -1 2 ax+1 1 1 即 x + >0,即 x >0, a -1 2 2?a -1? 即 ax-1>0,ax>1,ax>a0. 又∵x>0,∴a>1. ∴当 a>1 时,f(x)>0. 故 a 的取值范围是 a>1. 5.已知定义在实数集 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2,且当 x∈(0,1)时,f(x)= (1)求函数 f(x)在(-1,1)上的解析式; (2)判断 f(x)在(0,1)上的单调性; (3)当 λ 取何值时,方程 f(x)=λ 在(-1,1)上有实数解? 解 (1)∵f(x)是 x∈R 上的奇函数,∴f(0)=0. 2x . 4 +1
x

设 x∈(-1,0),则-x∈(0,1),

11

2 x 2x f(-x)= -x = x =-f(x), 4 +1 4 +1 2x ∴f(x)=- x , 4 +1


x∈?-1,0?, ? ∴f(x)=?0, x=0, , x∈?0,1?. ?4 2 +1
x x

2x - x , 4 +1

(2)设 0<x1<x2<1, f(x1)-f(x2)= =

(2 x1 ? 2 x2 ) ? (2 x1 ? 2 x2 ? 2 x2 ? 2 x1 ) (4 x1 ? 1)(4 x2 ? 1)

(2 x1 ? 2 x2 )(1 ? 2 x1 ? x2 ) , (4 x1 ? 1)(4 x2 ? 1)
x1

∵0<x1<x2<1,∴ 2

? 2 x 2 , 2 x1 ? x 2 >20=1,

∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x)在(0,1)上为减函数. (3)∵f(x)在(0,1)上为减函数, 21 20 2 1 ∴ 1 <f(x)< 0 ,即 f(x)∈( , ). 5 2 4 +1 4 +1 1 2 同理,f(x)在(-1,0)上时,f(x)∈(- ,- ). 2 5 1 2 2 1 又 f(0)=0,当 λ∈(- ,- )∪( , ), 2 5 5 2 或 λ=0 时,方程 f(x)=λ 在 x∈(-1,1)上有实数解.

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