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2017届一轮复习基本不等式(文) 课件


第3节 基本不等式

最新考纲 1.了解基本不等式的证明过程.

2. 会 用 基 本 不 等 式 解 决 简 单 的 最大 (小)值问题.

知识链条完善
【教材导读】

把散落的知识连起来

1.不等式 a2+b2≥2ab 与 a+b≥2 ab 的应用条件是什么?



提示:在 a2+b2≥2ab 中,a,b∈R,而在 a+b≥2 ab 中要求 a>0,b>0.
2.函数 y=x+
1 1 的值域,以及函数 y=x+ (x≥2)的值域均能利用基本不 x x

等式求解吗?若能,请求出其值域.若不能请说明理由? 1 提示:对于函数 y=x+ 可以利用基本不等式求解. x 1 当 x>0 时,y=x+ ≥2(当且仅当 x=1 时取“=”); x 1 1 当 x<0 时,y=x+ =-(-x+ )≤-2(当且仅当 x=-1 时取“=”); ?x x

故其值域为(-≦,-2]∪[2,+≦).
1 而函数 y=x+ (x≥2)不能直接利用基本不等式求值域,因为 x

取“=”号的条件不成立,可利用函数的单调性求解,函数 y=x+
1 5 (x≥2)在[2,+≦)上单调递增,故其值域为[ ,+≦). x 2

知识梳理
1.基本不等式:
a?b ≥ ab 2

(1)基本不等式成立的条件 a≥0,b≥0.
(2)等号成立的条件当且仅当
a=b

时取等号.

(3)其中 的

a?b 称为正数 a,b 的 2

算术平均数

, ab 称为正数 a,b

几何平均数

.

2.利用基本不等式求最值 (1)两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若 a,b 为正实数,且
M2 a+b=M,M 为定值,则 ab≤ ,等号当且仅当 a=b 4

时成立.(简记:和

定积最大)
(2)两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若 a,b 为正实数,且 ab=P,P 为定值,则 a+b≥ 2 P ,等号当且仅当 a=b 时成立.(简记:积定 和最小)

3.几个常用的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).

a?b 2 ) (a,b∈R). 2 a ? b 2 a 2 ? b2 (3)( )≤ (a,b∈R). 2 2

(2)ab≤(

记住这些不等式!

b a + ≥2(ab>0). a b a?b 2 a 2 ? b2 (5) ≤ ab ≤ ≤ (a>0,b>0). 1 1 2 2 ? a b

(4)

夯基自测
1.若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( C (A)a+b≥2 ab (C)
b a + ≥2 a b

)

(B)

1 1 2 + > a b ab
2 2

根据基本不等式及其变形判断

(D)a +b >2ab

解析:若 a<0,b<0,选项 A,B 不成立.若 a=b,则选项 D 不成立. 因为 ab>0,所以
b a b a b a >0, >0.所以 + ≥2 ? =2. a b a b a b

b a (当且仅当 = ,即 a=b 时取等号). a b

x y 2.(2015 高考福建卷)若直线 + =1(a>0,b>0)过点(1,1),则 a+b 的最小 a b

值等于( (A)2

C

) (C)4 (D)5

(B)3

解析:法一 1=

因为直线

x y 1 1 + =1(a>0,b>0)过点(1,1),所以 + =1,所以 a b a b

1 1 2 1 1 + ≥2 (当且仅当 a=b=2 时取等号),所以 ab ≥2.又 ? = a b a b ab

a+b≥2 ab (当且仅当 a=b=2 时取等号),所以 a+b≥4(当且仅当 a=b=2 时 取等号),故选 C.

法二 所以

x y 因为直线 + =1(a>0,b>0)过点(1,1), a b 1 1 + =1, a b
1 1 a b a b + )=2+ + ≥2+2 ? =4(当且仅当 a=b=2 时取 a b b a b a

所以 a+b=(a+b)( 等号),故选 C.

3.(2016 锦州质检)已知 x>0,y>0,且 x+y= .

3 4 1 ,则 + 的最小值为 4 x y

4 1 4 4 1 4 4y x 解析:因为 x>0,y>0,所以 + = ( + )(x+y)= (5+ + ) x x y 3 x y 3 y
1 ? x? , ? 4 4 4y x ? 2 ≥ (5+2 时取“=”) ? )= ×(5+4)=12.(当且仅当 ? 3 3 x y ?y?1 ? 4 ?
答案:12

4.已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值为
4 的最小值为 x ?1 解析:若 0<x<1,则 1-x>0,

,若 x>1,则

x+

.
1? x ? x 2 3 1 ) = .(当且仅当 x= 时取“=”) 2 4 2

所以 x(3-3x)=3(1-x)x≤3×( 若 x>1,则 x-1>0.

4 4 所以 x+ =x-1+ +1≥2 x ?1 x ?1 即 x=3 时取“=”) 4 故 x+ 的最小值为 5. x ?1

4 4 +1=5.(当且仅当 x-1= , ? x ? 1? ? x ?1 x ?1

答案:

1 2

5

考点专项突破

在讲练中理解知识

考点一 利用基本不等式求最值

【例 1】 (1)(2014 高考重庆卷)若 log4(3a+4b)=log2 ab ,则 a+b 的最小 值是( (A)6+2 3 ) (B)7+2 3 (C)6+4 3 (D)7+4 3
化简确定条件

解析:(1)因为 log4(3a+4b)=log2 ab ,

? 3a ? 4b>0, 所以 log4(3a+4b)=log4(ab),即 3a+4b=ab,且 ? 即 a>0,b>0,所以 ?ab>0, 4 3 4 3 4b 3a + =1(a>0,b>0),a+b=(a+b)·( + )=7+ + ≥ a b a b a b
4b 3a 4b 3a 3 =7+4 , 当且仅当 = 时取等号, ? a b a b 故选 D.

7+2

1的代换构造基本不等式

(2)(2015 甘肃一诊)已知 x>0,y>0,且 实数 m 的取值范围是( (A)(0,2] (B)(0,2) )

2 1 + =1,若 x+2y>m2+2m 恒成立,则 x y

(C)(-4,2)

(D)(-2,4)

2 1 4y x 解析: (2)因为 x+2y=(x+2y)( + )=2+ + +2≥8, 转化为求最值问题, x x y y 1的代换构造基本

当且仅当

4y x = ,即 x=2y 时等号成立. x y
2 2 2

不等式求最值

因为 x+2y>m +2m 恒成立,所以 m +2m<8,m +2m-8<0, 解得-4<m<2.故选 C.

反思归纳

(1)利用基本不等式求最值需注意以下三个方面:①

各数(式)均为正;②和或积为定值;③等号能否成立.这三个条件缺

一不可,为便于记忆简述为“一正、二定、三相等”.
(2)合理拆分项或配凑因式或“1”代换是常用技巧,目的是构造出基 本不等式的框架形式.

(3)当多次使用基本不等式时,要保证等号能同时取得.

【即时训练】 (1)若函数 f(x)=x+ 于( ) (B)1+ 3
1 =(x-2)+ x?2

1 (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a 等 x?2

(A)1+ 2

(C)3

(D)4

解析:(1)f(x)=x+

1 1 +2≥2+2=4,当且仅当 x-2= x?2 ? x ? 2?

时取等号,此时 x=3.故选 C.
答案:(1)C

(2)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是

.

3 1 解析: (2)因为 x+3y=5xy,且 x>0,y>0.所以 + =5, x y

1 1 3 1 12 y 3x 所以 3x+4y= (3x+4y)( + )= (13+ + ) x 5 x 5 y y



1 1 12 y 3x (13+2 )= (13+12)=5. ? 5 5 x y

?12 y 3 x ? x ? y , ? x ? 1, ? ? 当且仅当 ? 即? 1 时取“=”.所以 3x+4y 的最小值是 5. y? ? 3 ? 1 ? 5, ? 2 ? ? ?x y
答案:(2)5

考点二

利用基本不等式证明不等式
每个因式分别求最值

【例 2】 已知 x>0,y>0,z>0.
x z x z x y 求证:( + )( + )( + )≥8. z z y x y y

证明:因为 x>0,y>0,z>0, 所以
2 yz x z y z 2 xz + ≥ >0, + ≥ >0, x x y y x y

2 xy x y + ≥ >0, z z z

所以(

8 yz ? xz ? xy x z y z x y + )( + )( + )≥ =8. x x z z y y xyz

当且仅当 x=y=z 时等号成立.

反思归纳

利用基本不等式证明不等式的策略

(1)若要证明的不等式不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、配

凑等方法对要证不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的条件.
(2)若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和要证不等式之间的 联系,当已知条件中含有“1”时,要注意“1”的代换.

(3)解题时要时刻注意取得等号的条件能否成立.

1 1 【即时训练】设 a,b 均为正实数,求证: 2 + 2 +ab≥2 2 . a b

证明:由于 a,b 均为正实数,所以 当且仅当

1 1 2 1 1 + ≥ 2 = , ? 2 2 2 2 ab a b a b

1 1 = ,即 a=b 时等号成立, 2 2 a b

2 2 又因为 +ab≥2 ? ab =2 2 , ab ab 2 1 1 2 当且仅当 =ab 时等号成立,所以 2 + 2 +ab≥ +ab≥2 2 , ab ab a b 1 ?1 ? , 2 2 ? ?a b 当且仅当 ? 即 a=b= 4 2 时取等号. ? 2 ? ab ? ? ab

考点三

基本不等式的实际应用

【例 3】 小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业,经过市场调 查,生产某小型电子产品需投入年固定成本 3 万元,每生产 x 万件,需另投
1 2 入流动成本为 W(x)万元,在年产量不足 8 万件时,W(x)= x +x(万元).在 3

年产量不小于 8 万件时,W(x)=6x+

100 -38(万元).每件产品售价为 5 元. x

通过市场分析,小王生产的商品能当年全部售完. (1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(万件)的函数解析式;(注:年利 润=年销售收入-固定成本-流动成本)

解:(1)因为每件商品售价为 5 元,则 x 万件商品销售收入为 5x 万元,依 题意得,当 0<x<8 时,
1 2 1 2 L(x)=5x-( x +x)-3=- x +4x-3; 3 3

当 x≥8 时,L(x)=5x-(6x+

100 100 -38)-3=35-(x+ ). x x

? 1 2 ? x ? 4 x ? 3,0<x<8. ? ? 3 所以 L(x)= ? ? 35 ? ? x ? 100 ? , x ? 8. ? ? ? x ? ? ?

(2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大
利润是多少?

1 解: (2)当 0<x<8 时,L(x)=- (x-6)2+9. 3 此时,当 x=6 时,L(x)取得最大值 L(6)=9 万元,

当 x≥8 时,L(x)=35-(x+ 此时,当且仅当 x=

100 100 )≤35-2 x ? =35-20=15, x x

100 时,即 x=10 时,L(x)取得最大值 15 万元. x 因为 9<15,所以当年产量为 10 万件时,小王在这一商品的生产中所获 利润最大,最大利润为 15 万元.

反思归纳

应用基本不等式解决实际问题的基本步骤

(1)理解题意,设出变量,建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为

函数的最大值或最小值问题;
(2)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (3)还原为实际问题,写出答案.

【即时训练】(2014高考福建卷)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖 长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方 米10元,则该容器的最低总造价是( )

(A)80元 (B)120元

(C)160元

(D)240元

解析:设该容器的总造价为 y 元,长方体的底面矩形的长为 x m,因为无 盖长方体的容积为 4 m ,高为 1 m,所以长方体的底面矩形的宽为
2? 4 4 依题意,得 y=20×4+10(2x+ )=80+20(x+ )≥ x x
3

4 m, x

4 4 80+20×2 x ? =160(当且仅当 x= ,即 x=2 时取等号).所以该容器的 x x

最低总造价为 160 元.故选 C.

备选例题
【例 1】 设函数 f(x)=x+
a ,x∈[0,+∞). x ?1

(1)当 a=2 时,求函数 f(x)的最小值;

解:(1)当 a=2 时,f(x)=x+
2 当且仅当 x+1= , x ?1

2 2 =x+1+ -1≥2 2 -1, x ?1 x ?1

即 x= 2 -1 时取等号, 所以 f(x)min=2 2 -1.

(2)当0<a<1时,求函数f(x)的最小值.

解: (2)当 0<a<1 时,任取 0≤x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[1-

? x1 ? 1?? x2 ? 1?

a

].
a

因为 0<a<1,(x1+1)(x2+1)>1,所以 1-

? x1 ? 1?? x2 ? 1?

>0,

因为 x1<x2,所以 x1-x2<0,所以 f(x1)-f(x2)<0, 故 f(x1)<f(x2),即 f(x)在[0,+≦)上为增函数. 所以 f(x)min=f(0)=a.

【例2】 某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房,由于 地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过a m.房屋正面的造价为400 元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为5 800

元,如果墙高为3 m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总
造价最低?

解:由题意可得,总造价 y=3×2x×150+3× 800=900(x+
16 )+5 800(0<x≤a), x

12 ×400+5 x

则 y=900(x+ 当且仅当 x=

16 16 )+5 800≥900×2 x ? +5 800=13 000, x x

16 ,即 x=4 时取等号. x

若 a≥4,则当 x=4 时,y 有最小值 13 000; 若 a<4,任取 x1,x2∈(0,a]且 x1<x2. 16 16 y1-y2=900(x1+ )+5 800-900(x2+ )-5 800 x1 x2
? ? 1 1 ? ? 900 ? x1 ? x2 ?? x1x2 ? 16? =900 ? x1 ? x2 ? 16 ? ? ? ? = . x1x2 ? ? ? x1 x2 ? ? ? 因为 x1<x2≤a,所以 x1-x2<0,x1x2<a2<16,即 x1x2-16<0.所以 y1-y2>0, 16 所以 y=900(x+ )+5 800 在(0,a]上是减函数. x 16 所以当 x=a 时,y 有最小值 900(a+ )+5 800. a 综上,若 a≥4,当 x=4 时,总造价有最小值为 13 000 元; 16 若 a<4,当 x=a 时,总造价有最小值为 900(a+ )+5 800 元. a


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