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新课标高中数学必修2第四章


《新课标高中数学必修②精讲精练》——精讲

第四章 圆与方程

§ 4.1.1 圆的标准方程
¤学习目标:回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程;能用待定系数法、几何法求圆 的标准方程. ¤知识要点: 1. 圆的标准方程:方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (r ? 0) 表示圆

心为 A(a,b) ,半径长为 r 的圆. 2. 求圆的标准方程的常用方法: (1)几何法:根据题意,求出圆心坐标与半径,然后写出标准方程; (2)待定系数法:先根据条件列出关于 a、b、r 的方程组,然后解出 a、b、r,再代入标准方程. ¤例题精讲: 【例 1】 (01 年全国卷.文)过点 A(1, ?1) 、 B (?1,1) 且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是( ). A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 2 2 C.(x-1) +(y-1) =4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 解:由圆心在直线 x+y-2=0 上可以得到 A、C 满足条件, 再把 A 点坐标(1,-1)代入圆方程. 选 C. 另解:设圆心 C 的坐标为(a,b),半径为 r, 因为圆心 C 在直线 x+y-2=0 上, ∴b=2-a. 由|CA|=|CB|,得(a-1)2+(b+1)2=(a+1)2+(b-1)2,解得 a=1,b=1. 因此,所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 选 C. 【例 2】求下列各圆的方程: (1)过点 A(?2,0) ,圆心在 (3, ?2) ; (2)圆心在直线 2 x ? y ? 7 ? 0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0, ?4), B(0, ?2) 解: (1)设所求圆的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? r 2 . 则 解得 r 2 ? 29 . ∴ 圆的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 29 . (2)圆心在线段 AB 的垂直平分线 y ? ?3 上,代入直线 2 x ? y ? 7 ? 0 得 x ? 2 , , (? 2 ? 32 ) ? ( 0 ? 22 ) r ?2 圆心为 (2, ?3) ,半径 r ? (2 ? 0)2 ? (?3 ? 2)2 ? 5 . ∴ 圆 C 的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 5 . 【例 3】推导以点 A(a, b) 为圆心, r 为半径的圆的方程. 解:设圆上任意一点 M ( x, y ) ,则 | MA |? r . 由两点间的距离公式,得到 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r . 化简即得圆的标准方程: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 点评:这里的推导方法,实质就是求曲线方程的通法,其基本步骤是:建系设点(建立合适的坐标系,设所求曲线上的 动点 M ( x, y ) )→写条件(写出动点 M 所满足的条件)→列式(用坐标来表示所写出的条件,列出方程 f ( x, y ) ? 0 )→化为 最简→特殊说明. 【例 4】一个圆经过点 A(5,0) 与 B (?2,1) ,圆心在直线 x ? 3 y ? 10 ? 0 上,求此圆的方程. 解:设圆心 P(a, b) ,则 ?

A 不满足条件. 所以,

? ?a ? 3b ? 10 ? 0 , 2 2 2 2 ? ? (a ? 5) ? b ? (a ? 2) ? (b ? 1)

解得 ?

?a ? 1 . ?b ? ?3

圆的半径 r ? (a ? 5)2 ? b2 ? (1 ? 5)2 ? (?3)2 ? 5 . ∴ 圆的标准方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 .

5 ? 2 0 ?1 3 1 1? 0 1 , ) ,即 P' ( , ) . 直线 AB 的斜率 k ? ?? . 2 2 ?2 ? 5 7 2 2 1 3 所以弦 AB 的垂直平分线的方程为 y ? ? 7( x ? ) ,即 7 x ? y ? 10 ? 0 . 2 2 ? x ? 3 y ? 10 ? 0 ?x ? 1 解方程组 ? ,得 ? , 即圆心 P (1, ?3) . ?7 ? y ? 10 ? 0 ? y ? ?3
另解:线段 AB 的中点 P' ( 圆的半径 r ? (a ? 5)2 ? b2 ? (1 ? 5)2 ? (?3)2 ? 5 . ∴ 圆的标准方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 . 点评:两种解法,都是先求出圆心与半径,第一种解法用设圆心坐标后列方程而求,第二种解法用两条直线的交点求圆 心. 由上可得,解法关键都是如何求圆心与半径.

第 29 练 § 4.1.1 圆的标准方程
※基础达标 1.圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 2 的圆心和半径分别是( D ).

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日 :

~

:

自评



A. (?2,3) ,1

B. (2, ?3) ,3
2

C. (?2,3) , 2
2

D. (2, ?3) , 2 ).

2.已知直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 25 ? 0 ,则圆 x ? y ? 1 上的点到直线 l 的距离的最小值是( B A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3.过两点 P(2,2),Q(4,2) 且圆心在直线 x ? y ? 0 上的圆的标准方程是( A ). A. ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 2 C. ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 2 B. ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 2 D. ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 2

4.(04 年天津卷理 7)若 P(2, ? 1) 为圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是( A A. x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0

). ).

, 经 x 轴反射到圆周 C 的最短路程是( 5.已知圆 C: ( x ? 5)2 ? ( y ? 7)2 ? 4 ,一束光线从点 A(?11)
A. 6 2 ? 2 B. 8 C. 4 6 D. 10

B

解:圆心坐标(5,7),半径=2,A 点相对 X 轴的对称点是 A'(-1,-1),A'C 与圆 C 相交于点 D,则线段 A'D 的长度就是最短 距离。A'D 的长度 |A'D| = |A'C| - |CD|=根号[(5+1)^2+(7+1)^2]-2=10-2=8 即最短是 8
6.已知点 A(-4,-5),B(6,-1),则以线段 AB 为直径的圆的方程为 7. (04 年江苏卷.14) 以点 (1, 2) 为圆心, 与直线 4 x ? 3 y ? 35 ? 0 相切的圆的方程是 ※能力提高 8.求经过点 A(5,2) ,B(3,2) ,圆心在直线 2x-y-3=0 上圆方程. 解:设所求圆的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (r ? 0) , . ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 29 . ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 25

?(5 ? a) 2 ? (2 ? b) 2 ? r 2 ?a ? 4 ? ? 2 2 2 则 ?(3 ? a) ? (2 ? b) ? r ,解得 ?b ? 5 . ∴ 所求圆的方程为(x-4)2+(y-5)2=10. ? 2a ? b ? 3 ? 0 ? ?r ? 10 ? 另解:由 AB 为圆的弦,可知圆心 P 在 AB 中垂线 x=4 上, ?2 x ? y ? 3 ? 0 2 2 则由 ? ,解得圆心 P(4,5) , ∴ 半径 r=|PA|= 10 . ∴圆方程为(x-4) +(y-5) =10. ?x ? 4
9.求与 x 轴相切,圆心在直线 3 x ? y ? 0 上,且被直线 y ? x 截得的弦长等于 2 7 的圆的方程. 3a) . 解:因圆心在直线 3 x ? y ? 0 上,故可设圆心 O '(a, 又 ∵ 圆与 x 轴相切, ∴ r ?| 3a | , 由弦心距 d ? 从而设圆方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? 3a)2 ? (3a)2 .

2 2 ,解得 a 2) ? ( 7 ? ) a( 3 ) ? 2 |a|, ∴ ( 2 a ? ?1. 2 当 a ? ?1时, 3a ? ?3,r ? 3 ,圆方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 .

| a ? 3a |

当 a ? 1 时, 3a ? 3 ,r ? 3 ,圆方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 . ※探究创新 10. (03 年京春文) 设A (-c, 0) , B (c, 0) (c>0) 为两定点, 动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离的比为定值 a (a>0) , 求 P 点的轨迹. 解:设动点 P 的坐标为 P(x,y), 由

( x ? c) 2 ? y 2 | PA | =a(a>0) ,得 =a , | PB | ( x ? c) 2 ? y 2

化简得: (1-a2)x2+2c(1+a2)x+c2(1-a2)+(1-a2)y2=0. 2c(1 ? a 2 ) 2ac 1 ? a2 当 a≠1 时,得 x2+ x+c2+y2=0. 整理得: (x - 2 c)2+y2=( 2 )2. 2 a ?1 1? a a ?1 2ac a2 ? 1 所以当 a≠1 时,P 点的轨迹是以( 2 c,0)为圆心,| 2 |为半径的圆; a ?1 a ?1 当 a=1 时,P 点的轨迹为 y 轴.

当 a=1 时,化简得 x=0.

第 30 讲 § 4.1.2 圆的一般方程
¤学习目标:回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的一般方程;能用待定系数法求圆的一般方 程. ¤知识要点: 1. 圆 的 一 般 方 程 : 方 程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 ) 表 示 圆 心 是 (?

D E ,? ), 半 径 长 为 2 2

1 D2 ? E 2 ? 4F 的圆. 2. 轨迹方程是指点动点 M 的坐标 ( x, y ) 满足的关系式. 2
¤例题精讲: 【例 1】求过三点 A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)的圆的方程.
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第四章 圆与方程

解:设所求圆的方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 . 则
2 2

?4 ? 4 ? 2 D ? 2 E ? F ? 0 ? D ? ?8 ? ? ?25 ? 9 ? 5 D ? 3E ? F ? 0 , 解得 ? E ? ?2 . ?9 ? 1 ? 3D ? E ? F ? 0 ? F ? 12 ? ? 2 2 ∴ 圆的方程为 x ? y ? 8x ? 2 y ? 12 ? 0 .
【例 2】设方程 x2 ? y 2 ? 2(m ? 3) x ? 2(1 ? 4m2 ) y ? 16m4 ? 7m2 ? 9 ? 0 ,若该方程表示一个圆,求 m 的取值范围及圆心 的轨迹方程.
2 解:配方得 ? x ? (m ? 3) ? ? ? ? y ? (1 ? 4m ) ? ? ? 1 ? 6m ,该方程表示圆,则有 2 2

?x ? m ? 3 1 1 ? 6 m ? 0 ,得 m ? (? , ??) ,此时圆心的轨迹方程为 ? ,消去 m,得 y ? 4( x ? 3)2 ? 1 , 2 6 ? y ? 1 ? 4m
由 m ? (? , ??) 得 x=m+3 ? (

17 17 , ??) . ∴所求的轨迹方程是 y ? 4( x ? 3)2 ? 1 , x ? ( , ??) 6 6 2 2 【例 3】已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3),端点 A 在圆 ( x ? 1) ? y ? 4 上运动,求线段 AB 的中点轨迹方程. (教材

1 6

P133 例 5 另解) (利用中点坐标公式可更简单) 解:设圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 的圆心为 P(-1,0),半径长为 2,线段 AB 中点为 M(x, y). 取 PB 中点 N,其坐标为(

?1 ? 4 0 ? 3 3 3 , ),即 N( , ). 2 2 2 2

y N P A B(4,3) M(x,y) x

∵ M、N 为 AB、PB 的中点, ∴ MN∥PA 且 MN=

1 PA=1. 2 3 2 3 2

∴ 动点 M 的轨迹为以 N 为圆心,半径长为 1 的圆. 所求轨迹方程为: ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? 1 .

点评:此解为定义法,利用中位线这一几何性质,将所求动点的轨迹转化为到定点的距离等于定长,即圆的定义 . 解法 关键是连接 PB,取 PB 的中点 N,得到 MN 的长度为定值. 教材中的解法是通过设动点的坐标,然后找出相关的几何条件, 得到动点坐标所满足等式即所求轨迹方程. 【例 4】求经过 A(4, 2), B(?1,3) 两点,且在两坐标轴上的四个截距之和为 4 的圆的方程. 解:设所求圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . 当 x ? 0 时, y 2 ? Ey ? F ? 0 ,则 y1 ? y2 ? ?

E D ; 当 y ? 0 时, x 2 ? Dx ? F ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? . 2 2

? ?16 ? 4 ? 4 D ? 2 E ? F ? 0 ? 则 ?1 ? 9 ? D ? 3E ? F ? 0 , ? D E ?( ? ) ? ( ? ) ? 4 ? 2 2

? D ? ?3 ? 解得 ? E ? ?5 . ?F ? 2 ?

∴ 圆的方程为 x2 ? y 2 ? 3x ? 5 y ? 2 ? 0 . 点评:用待定系数法的一般步骤是“设(设含待定系数的方程)→列(利用条件列出系数所满足的方程组)→求(解方 程组)→写(写出所求方程) ”. 当已知圆上三点或两点时,选用圆的一般方程形式较为简单. 当易知圆心和半径时,选用 圆的标准方程形式易求解.

第 30 练 § 4.1.2 圆的一般方程
※基础达标 1.方程 x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 5m ? 0 表示圆的条件是( A. D ).

1 ? m ?1 4

B. m ? 1

C. m ?

1 4

D. m ? 1 B ).

2.M(3,0)是圆 x2 ? y 2 ? 8x ? 2 y ? 10 ? 0 内一点,过 M 点最长的弦所在的直线方程是( A. x ? y ? 3 ? 0 B. x ? y ? 3 ? 0 C. 2 x ? y ? 6 ? 0 D. 2 x ? y ? 6 ? 0

解:配方(x-4)? +(y-1)? =17,圆心 C(4,1),最长的弦就是直径,所以就是 MC,MC 斜率是(1-0)/(4-3)=1 所以是 x-y-3=0 3. (04 年重庆卷.文理 3)圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 的圆心到直线 x ? y ? 1 的距离为( D ).
A. 2
59

B.

2 2

C.

1

D.

2

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日 :

~

:

自评



4. (1999 全国文)曲线 x +y +2 2 x-2 2 y=0 关于( A. 直线 x= 2 轴对称 C. 点(-2, 2 )中心对称
2 2

2

2

B

).

B. 直线 y=-x 轴对称 D. 点(- 2 ,0)中心对称 ). C. ? 5 ? 3 D. ?6 5 ? 14

5.若实数 x, y 满足 x ? y ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则 x2 ? y 2 的最大值是( A A.

5 ?3

B. 6 5 ? 14

解;易知,d=√(x?+y?)的意义就是圆:(x+2)? +(y-1)? =9 上的点到原点的距离,而该圆的圆心(-2,1)到原点 O 的距离为√5,∴数形结合可知,[√(x?+y?)]max=√5.+3
1 1 . ( x ? )2 ? y 2 ? (x≠0) ; 2 4 7. (1997 上海卷)设圆 x2+y2-4x-5=0 的弦 AB 的中点为 P(3,1) ,则直线 AB 的方程是 . . x+y-4=0.
6.已知圆 C:(x-1)2+y2=1,过坐标原点 O 作弦 OA,则 OA 中点的轨迹方程是

解:首先确定圆心 O 为(2,0),设经过圆心和 AB 中点的直线方程为:y=kx+b,计算得出:k=1,b=-2 因为 OP⊥AB,(垂径定理)可知:直线 AB 斜率为-1,这样算出直线 AB 的方程为:y=-x+4
※能力提高 8.求经过三点 A(1, ?1) 、 B(1, 4) 、 C (4, ?2) 的圆的方程. 解:设所求圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , , 1 ) B (1, 4) 、 C (4, ?2) 三点在圆上,代入圆的方程并化简,得 ∵ A( 1 ? 、
? D ? E ? F ?2 ? ? ,解得 D=-7,E=-3,F=2. ? D ? 4 E ? F ? 1?7 ?4 D ? 2 E ? F ? ? 2 0 ?

∴ 所求圆的方程为 x2 ? y 2 ? 7 x ? 3 y ? 2 ? 0 .

1 的点的轨迹,求此曲线的轨迹方程. 2 1 解:设 M ( x, y ) 是曲线上的任意一点,∵ 点 M 到点 O、A 的距离之比为 , 2
9.一曲线是与定点 O(0,0),A(3,0)距离的比是 ∴

x2 ? y 2 ( x ? 3) ? y
2 2

?

1 ,化简得 x2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 . 2

※探究创新 10.如图,过圆 O:x2+y2=4 与 y 轴正半轴交点 A 作此圆的切线 AT,M 为 AT 上任一点,过 M 作圆 O 的另一条切线,切 点为 Q,求△MAQ 垂心 P 的轨迹方程. 解:连 OQ,则由 OQ⊥MQ,AP⊥MQ 得 OQ∥AP. 同理,OA∥PQ.又 OA=OQ, ∴ OAPQ 为菱形, ∴ |PA|=|OA|=2. ? x0 ? x 设 P(x,y),Q(x0,y0),则 ? .又 x02+y02=4, ∴ x2+(y-2)2=4(x≠0). ? y0 ? y ? 2

第 31 讲 § 4.2.1 直线与圆的位置关系
¤学习目标:能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;能用直线和圆 的方程解决一些简单的问题. ¤知识要点: 1. 直线与圆的位置关系及其判定: 方法一:方程组思想,由直线与圆的方程组成的方程组,消去 x 或(y) ,化为一元 二次方程,由判别式符号进行判别; | Aa ? Bb ? C | 方法二:利用圆心( a , b )到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? ,比较 d 与 r 的大小. A2 ? B 2 (1)相交 ? d ? r ? ? ? 0 ; (2)相切 ? d ? r ? ? ? 0 ; (3)相离 ? d ? r ? ? ? 0 . 2. 直线与圆的相切研究,是高考考查的重要内容. 同时,我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质,也要掌握一些常 | Ax0 ? By0 ? C | 用公式,例如点线距离公式 d ? A2 ? B 2 ¤例题精讲: 【例 1】 (02 年全国卷.文)若直线(1+a)x+y+1=0 与圆 x2+y2-2x=0 相切,则 a 的值为 . 解:将圆 x2+y2-2x=0 的方程化为标准式: (x-1)2+y2=1, 其圆心为(1,0) ,半径为 1,由直线(1+a)x+y+1= 0 与该圆相切,则圆心到直线的距离 d ?

|1 ? a ? 1| (1 ? a)2 ? 1

? 1 , ∴ a=-1.

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《新课标高中数学必修②精讲精练》——精讲
2 2

第四章 圆与方程

【例 2】求直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 被圆 C : ( x ? 3) ? y ? 9 所截得的弦长. (P144 练习 1 题)

?( x ? 3) ? y ? 9 设直线 2 x ? y ? 2 ? 0 与圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 9 交于点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则
2 2

解:由题意,列出方程组 ?

?2 x ? y ? 2 ? 0

,消 y 得 5x 2 ? 14 x ? 4 ? 0 ,得 x1 ? x2 ?

14 4 , x1 x2 ? . 5 5

14 4 2 145 . | AB |? (1 ? k 2 ) | x2 ? x1 |? (1 ? k 2 ) ( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 = (1 ? 22 ) ( ) 2 ? 4 ? ? 5 5 5
另解:圆心 C 的坐标是 (3,0) ,半径长 r ? 3 . 圆心到直线 2 x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ? 所以,直线 2 x ? y ? 2 ? 0 被圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 9 截得的弦长是 2 r 2 ? d 2 ? 2 32 ? (

| 2?3? 0 ? 2| 5

?

4 5 . 5

4 5 2 2 145 . ) ? 5 5
.

【例 3】 (04 年辽宁卷.13) 若经过点 P(?1 , 0) 的直线与圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 3 ? 0 相切, 则此直线在 y 轴上的截距是 解:圆的标准方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 2 ,则圆心 C (?2 ,1) ,半径 r ? 2 . 设过点 P(?1 , 0) 的直线方程为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 .
2 2

? r ? 2 ,解得 k ? 1 . k2 ?1 ∴ 直线方程为 y ? x ? 1 ,在 y 轴上的截距是 1. | Ax0 ? By0 ? C | ? r ,还可以由方程组只有一个实根进行解答. 点评:研究直线和圆的相切,简捷的方法是利用公式 d ? A2 ? B 2 选择恰当的方法,是我们解题的一种能力.
【例 4】设圆上的点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在这个圆上,且与直线 x-y+1=0 相交的弦长为 2 2 ,求圆的方程. 解:设 A 关于直线 x+2y=0 的对称点为 A’. 由已知得 AA’为圆的弦,得到 AA’的对称轴 x+2y=0 过圆心. 设圆心 P(-2a,a) ,半径为 r, 则 r=|PA|=(-2a-2)2+(a-3)2. 又弦长 2 2 ? 2 R2 ? d 2 ,圆心到弦 AA’的距离为 d ? ∴ R2 ? 2 ?

∴ 圆心到切线的距离 d ?

| ?2k ? 1 ? k |

| ?2a ? a ? 1| 2

?

| 3a ? 1| 2



(3a ? 1)2 (3a ? 1)2 , 即 4(a+1)2+(a-3)2=2+ , 解得 a=-7 或 a=-3. 2 2 当 a=-3 时,r= 52 ;当 a=-7 时,r= 244 . ∴ 所求圆方程为(x-6)2+(y+3)2=52 或(x-14)2+(y+7)2=244.
点评:在解答与圆的弦长相关的一些问题时,常用勾股定理,得到圆心到弦的距离 d、半径 r、半弦长的一个勾股式. 这 种方法与方程组的思想求解弦长问题相比,计算过程较为简单.

第 31 练 § 4.2.1 直线与圆的位置关系
※基础达标 1.直线 4x-3y-2=0 与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 11 ? 0 的位置关系是( A.相交 B.相切 C.相离 D.以上都不对 2. (08 年全国卷Ⅰ. 文 10)若直线 A. a 2 ? b2 ≤1 A ).

x y ? ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 1 有公共点,则( D ). a b 1 1 1 1 B. a 2 ? b 2 ≥ 1 C. 2 ? 2 ≤1 D. 2 ? 2 ≥ 1 a b a b

3.平行于直线 2x-y+1=0 且与圆 x2+y2=5 相切的直线的方程是( D ). A.2x-y+5=0 B.2x-y-5=0 C.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0 D.2x-y+5=0 或 2x-y-5=0 4.直线 x=2 被圆 ( x ? a)2 ? y 2 ? 4 所截弦长等于 2 3 , 则 a 的值为( A. -1 或-3 A. x ? 3 y ? 2 ? 0
2

C ).

B. 2 或 ? 2
2 2

C. 1 或 3 C. x ? 3 y ? 4 ? 0

D.

3
). . 2 2 4± 5

5. (04 年全国卷Ⅲ. 文 5 理 4)圆 x ? y ? 4 x ? 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程为( D B. x ? 3 y ? 4 ? 0
2

D. x ? 3 y ? 2 ? 0
2 2

6.已知圆 C: ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 及直线 l : x ? y ? 3 ? 0 ,则直线 l 被 C 截得的弦长为

7. (03 年上海春)若经过两点 A(-1,0) 、B(0,2)的直线 l 与圆(x-1) +(y-a) =1 相切,则 a= ※能力提高 8.求直线 3 x+y-2 3 =0 截圆 x2+y2=4 得的劣弧所对的圆心角. 解:如图所示,

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? 3x ? y ? 2 3 ? 0 ? 由? , 2 2 ? ?x ? y ? 4
又|OB|=|OA|=2,

消 y 得:x2-3x+2=0,

∴x1=2,x2=1.

∴ A (2 ,0 ) ,B(1, 3 ).

∴|AB|= (2 ?1)2 ? (0 ? 3)2 =2. ∴△AOB 是等边三角形,∴∠AOB= 60? .

9.一直线过点 P(?3, ? ) ,被圆 x2 ? y 2 ? 25 截得的弦长为 8, 求此弦所在直线方程. 解: (1)当斜率 k 不存在时, 过点 P 的直线方程为 x ? ?3 , 代入 x 2 ? y 2 ? 25 ,得 y1 ? 4, y2 ? ?4 . ∴ 弦长为 | y1 ? y2 |? 8 , 符合题意.

3 2

3 3 ? k ( x ? 3) , 即 kx ? y ? 3k ? ? 0 . 2 2 | k ? 0 ? 0 ? 3k ? 3 / 2 | 3 2 2 ? 3 , 解得 k ? ? . 由已知, 弦心距 OM ? 5 ? 4 ? 3 , ∴ 2 4 k ?1 3 3 所以,此直线方程为 y ? ? ? ? x ? 3? , 即 3x ? 4 y ? 15 ? 0 . 2 4 所以所求直线方程为 x ? 3 ? 0 或 3x ? 4 y ? 15 ? 0 . ※探究创新 10.(1997 全国文)已知圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3∶1;③圆心到直线 5 l:x-2y=0 的距离为 . 求该圆的方程. 5 解:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 令 x=0,得 y2-2by+b2+a2-r2=0.
(2)当斜率 k 存在时, 设所求方程为 y ? |y1-y2|= ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? 2 r 2 ? a 2 =2,得 r2=a2+1① 令 y=0,得 x2-2ax+a2+b2-r2=0, |x1-x2|= ( x1 ? x2 )2 ? 4x1 x2 ? 2 r 2 ? b2 ? 2r ,得 r2=2b2 由①、②,得 2b -a =1. 又因为 P(a,b)到直线 x-2y=0 的距离为
5 | a ? 2b | 5 ? ,得 d= ,即 a-2b=±1. 5 5 5
2 2



?2b2 ? a 2 ? 1 ?2b2 ? a 2 ? 1 ? a ? ?1 ? a ? 1 综上可得 ? 或? ,解得 ? 或? . 于是 r2=2b2=2. b ? ? 1 b ? 1 a ? 2 b ? 1 a ? 2 b ? ? 1 ? ? ? ? 所求圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=2 或(x-1)2+(y-1)2=2.

第 32 讲 § 4.2.2 圆与圆的位置关系
¤学习目标:能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关系. 掌握坐标法的思想,用解方程组判别位置关系或求交点坐 标. ¤知识要点: 两圆的位置关系及其判定: 设两圆圆心分别为 O1 , O2 ,半径分别为 r1 , r2 ,则: (1)两圆相交 ?| r1 ? r2 |?| O1O2 |? r1 ? r2 ; (2)两圆外切 ?| O1O2 |? r1 ? r2 ; (3)两圆内切 ?| O1O2 |?| r1 ? r2 | ; ¤例题精讲: 【例 1】已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 6x ? 6 ? 0 ①,圆 C2 : x2 ? y 2 ? 4 y ? 6 ? 0 ② (1)试判断两圆的位置关系; (2)求公共弦所在的直线方程. 解: (1)∵圆 C1 的圆心为(3,0) ,半径为 r ,半径为 r2 ? 10 , 1 ? 15 ,圆 C2 的圆心为(0,2) 又 | C1C2 |? 13 ,∴ | r1 ? r2 | < | C1C2 |? r1 ? r2 , ∴圆 C1 与 C2 相交. (2)由①-②,得公共弦所在的直线方程为 3x ? 2 y ? 0 . 【例 2】求经过两圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 4 ? 0 和 x2 ? y 2 ? 6 y ? 28 ? 0 的交点,并且圆心在直线 x ? y ? 4 ? 0 上的圆的方程. 解:设所求圆的方程为 x2 ? y 2 ? 6 y ? 28 ?? ( x2 ? y 2 ? 6x ? 4) ? 0 ,即

(1 ? ? ) x2 ? (1 ? ? ) y 2 ? 6? x ? 6 y ? 28 ? 4? ? 0 , 3? 3 则所求圆的圆心为 (? ,? ). 1? ? 1? ? 3? 3 1 ∵圆心在直线 x ? y ? 4 ? 0 上, ∴? ? ? 4 ? 0 ,解得 ? ? ? . 1? ? 1? ? 7
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第四章 圆与方程

∴ 所求圆的方程为 x + y ? x ? 7 y ? 32 ? 0
2

2

【例 3】 (04 年全国卷Ⅱ.文理 4)已知圆 C 与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 关于直线 y ? ?x 对称,则圆 C 的方程为 A. ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 B. x2 ? y 2 ? 1 C. x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 解:已知圆的半径 r ? 1,圆心 (1,0) , 圆心 (1,0) 关于直线 y ? ?x 的对称点为 (0, ?1) , 则圆 C 的方程为 x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 . 选 C. 点评:圆关于直线的对称图形仍然是圆,半径不变,圆心关于直线对称. 我们要掌握一些常见对称问题的解答思路,例 如点关于直线的对称,曲线关于直线的对称,曲线关于点的对称等,解答理论基础有中点坐标公式、垂直时斜率乘积为-1、 代入法、转化思想.同时,我们也要掌握一些简单对称,如点 (a, b) 关于直线 y ? x 的对称点为 (b, a) . 【例 4】求圆 x2 ? y 2 ? 4 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 12 ? 0 的公共弦的长. (教材 P144 习题 A 组 9 题) 解:由题意,列出方程组 ? D. x2 ? ( y ? 1)2 ? 1

? x2 ? y 2 ? 4 ? 0 ? ,消去二次项,得 y ? x ? 2 . 2 2 ? ? x ? y ? 4 x ? 4 y ? 12 ? 0

把 y ? x ? 2 代入 x2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 0 ,得 x 2 ? 2 x ? 0 ,解得 x1 ? ?2, x2 ? 0 , 于是 y1 ? 0, y2 ? 2 ,两圆的交点坐标是 A(?2,0) , B(0, 2) ,所以,公共弦长 | AB |? 2 2 . 另解:由题意,列出方程组
2 2 ? ?x ? y ? 4 ? 0 ,消去二次项,得 y ? x ? 2 ,它即公共弦所在直线的方程. ? 2 2 ? ? x ? y ? 4 x ? 4 y ? 12 ? 0

圆 x2 ? y 2 ? 4 ? 0 的圆心到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ?

|0?0? 2| 2

? 2.

所以,两圆的公共线长为 2 r 2 ? d 2 ? 2 22 ? ( 2)2 ? 2 2 . 点评:为何两圆的方程消去二次项后,即为公共弦所在直线的方程,我们易由曲线系的知识可得 . 比较方程思想与几何 方法求解两圆的公共弦长,几何方法更为简捷. 先求公共弦所在直线,再求一圆心到直线的距离,通过公式 2 r 2 ? d 2 求得 弦长.

第 32 练 § 4.2.2 圆与圆的位置关系
※基础达标 1.圆 C1 : ( x ? m)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 与圆 C2 : ( x ? 1)2 ? ( y ? m)2 ? 4 外切,则 m 的值为( C ). A. 2 B. -5 C. 2 或-5 D. 不确定 2. (1995 全国文)圆 x2+y2-2x=0 和 x2+y2+4y=0 的位置关系是( C ). A.相离 B.外切 C.相交 D.内切 3. (04 年湖北卷.文 4)两个圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 与 C2 : x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 的公切线有且仅有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 2 2 4.求与圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 同心,且与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 相切的圆的方程.
2 2 (x ? 1 ) ? (y ? 2) ? 4 ,所以所求圆的圆心为(1,-2). 解:将方程 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 配方,得

B

).

又∵所求圆与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 相切,∴圆的半径 r ? ∴所求圆的方程 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 .

2 ?1 ? 2 ? 1
2 22 ? (? 1 )

? 5,

5.圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 和 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的公共弦所在直线方程为( B ). A. x ? 2 y ? 0 B. x ? 2 y ? 0 C. 2 x ? y ? 0 D. 2 x ? y ? 0 6.两圆:x 2 + y 2 + 6 x + 4y = 0 及 x 2+y 2 + 4x + 2y – 4 =0 的公共弦所在直线方程为 . x+y+2=0 7. (2000 上海春,11)集合 A={ (x,y)|x2+y2=4} ,B={ (x,y)|(x-3)2+(y-4)2=r2} ,其中 r>0,若 A∩B 中有且 仅有一个元素,则 r 的值是 .3或7. ※能力提高 8.若圆 x2 ? y 2 ? 8 和圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 0 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为( A. x ? y ? 0 B. x ? y ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0 9.求圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 12 y ? 39 ? 0 关于直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 的对称圆方程. 解:圆方程可化为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 6)2 ? 1 , 圆心 C(-2,6), 半径为 1. 设对称圆圆心为 C ' ( a, b) ,则 C 与 C 关于直线


C

).

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32 b?6 ? ? a?2 a? 3? ? 4? ?5 ? 0 ? ? ? ? 5 2 2 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 对称,因此有 ? , 解得 ? . 26 b ? 6 3 ? ? b?? ? ? ?1 ? ? 5 ? ?a ? 2 4 32 2 26 2 ∴ 所求圆的方程为 ( x ? ) ? ( y ? ) ? 1 . 5 5 ※探究创新 10.求一宇宙飞船的轨道,使得在轨道上任一点处看地球和月球的视角都相等. 解:设地球和月球的半径分别为 R、r,球心距为 d,以地球、月球球心连线的中点为原点,连线所在直线为 x 轴,建立 平面直角坐标系(如图). d d 设地球大圆圆心 O1 (? , 0) ,月球大圆圆心 O2 ( ,0) ,轨道上任一点 M ( x, y ) ,从 M 点向圆 O1 作切线,切点为 A,从 M 2 2 点向圆 O2 作切线,切点为 B, 由题意知, ?O1 MA ? ?O2 MB ,∴ Rt ?O1 MA ∽ Rt ?O2 MB

d d ( x ? )2 ? y 2 ( x ? )2 ? y 2 | MO1 | | MO2 | | MO1 |2 | MO2 |2 2 2 ∴ = ,∴ = ,即 = , | O1 A | | O2 B | r2 R2 R2 r2
整理得 x2 ? y 2 ?

d ( R2 ? r 2 ) d2 x? ? 0. 2 2 4 R ?r d ( R2 ? r 2 ) d2 x? ? 0. 2 2 4 R ?r

∴ 满足条件的宇宙飞船的运行轨道为圆 x2 ? y 2 ?

第 33 讲 § 4.2.3 直线与圆的方程的应用
¤学习目标:能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 在平面解析几何初步的学习过程中,体会用代数方法处理几何 问题的思想. ¤知识要点: 坐标法:建立适当的直角坐标系后,借助代数方法把要研究的几何问题,转化为坐标之间的运算,由此解决几何问题 ¤例题精讲: 【例 1】有一种大型商品,A、B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是:每单位距 离,A 地的运费是 B 地运费的 3 倍.已知 A、B 两地相距 10 千米,顾客购物的标准是总费用较低,求 A、B 两地的售货区域 的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地. 解:建立使 A(-5,0)、B(5,0)的直角坐标系,设单位距离的运费是 a 元. 若在 A 地购货费用较低,则:价格+A 地运费≤价格+B 地运费 即 3a ( x ? 5)2 ? y2 ? a ( x ? 5)2 ? y2 .

25 2 2 15 2 ) +y ≤( ) . 4 4 25 15 ∴ 两地购物区域的分界线是以点 C(- ,0)为圆心, 为半径的圆. 4 4
∵ a>0,∴ 8x2+8y2+100x+200y≤0.得 (x+ 所以,在圆 C 内的居民从 A 地购物便宜,圆 C 外的居民从 B 地购物便宜, 圆 C 上的居 民从 A、B 两地购物总费用相等. 【例 2】自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射, 其反射光线所在的直线与圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 相切, 求 光线 l 所在的直线方程. ‘ ‘ 解:由已知可得圆 C: ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 关于 x 轴对称的圆 C 的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,其圆心 C(2,-2) , 易知 l 与圆 C’相切. 设 l: y-3=k(x+3), 即 kx-y+3k+3=0.

3 4 ? 1 ,整理得 12k2+ 25k+12=0, 解得 k ? ? 或 k ? ? . 4 3 1? k 3 4 所以,所求直线方程为 y-3= ? (x+3)或 y-3= ? (x+3),即 3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0. 4 3 点评: 关于求切线问题, 利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件, 是解决圆的切线方程的常用方法. 如果由方程组思 想,通过“ ? ? 0 ”求切线方程也可, 但过程要复杂些.

2

5k ? 5

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第四章 圆与方程

【例 3】实数 x, y 满足 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 , 求下列各式的最大值和最小值: (1 ) 解:原方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,表示以 P (?1, 2) 为圆心,2 为半径的圆. (1)设 k ?

y ; (2) 2 x ? y . x?4 y
M(x,y) P o Q(4,0) x

y ,几何意义是:圆上点 M ( x, y ) 与点 Q(4,0) 连线的斜率. x?4

由图可知当直线 MQ 是圆的切线时, k 取最大值与最小值。 设切线 y ? 0 ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0 .

k ?1 y 20 ∴ 的最大值为 0,最小值为 ? . x?4 21 (2)设 2 x ? y ? m ,几何意义是:直线 2 x ? y ? m ? 0 与圆有公共点. | ?2 ? 2 ? m | ∴ 圆心 P 到直线的距离 ≤2,解得 ?4 ? 2 5 ≤ m ≤ ?4 ? 2 5 . 22 ? 1
2

圆心 P 到切线的距离

| ? k ? 2 ? 4k |

? 2 ,化简为 21k 2 ? 20k ? 0 ,解得 k ? 0 或 k ? ?

20 . 21

∴ 2 x ? y 的最大值为 ?4 ? 2 5 ,最小值为 ?4 ? 2 5 . 点评:代数式最大值最小值的研究,常用数形结合思想方法,将要研究的代数问题转化为几何问题,关键是如何挖掘代 数式的特点,利用几何意义进行转化。例如,由代数式 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F 联想到两点的距离公式,或圆的方程;由代数 式

y ?b 联想到两点的斜率,或直线的方程;由代数式 Ax ? By 联想到直线的方程;由代数式 | x ? a | ? | x ? b | 联想到数轴上 x?a

到两点的距离之和,等等。

第 33 练 § 4.2.3 直线与圆的方程的应用
※基础达标 1.实数 x,y 满足方程 x ? y ? 4 ? 0 ,则 x2 ? y 2 的最小值为( C ). A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 2.若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交,则点 P(a,b)的位置是( B ). A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.都有可能 3.如果实数满足 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 ,则 A.

3

B. ? 3

y 的最大值为( A x 3 3 C. D. ? 3 3

).

4.一辆卡车宽 2.7 米,要经过一个半径为 4.5 米的半圆形隧道(双车道,不得违章),则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地 面的高度不得超过( C ). A. 1.4 米 B. 3.0 米 C. 3.6 米 D. 4.5 米 2 2 5. (2000 全国)过原点的直线与圆 x +y +4x+3=0 相切,若切点在第三象限,则该直线方程是( C ).

3 3 x D. y=- x 3 3 6.(04 年全国卷Ⅰ. 文 15 理 14)由动点 P 向圆 x2 ? y 2 ? 1 引两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B, ∠APB=60°,则
A. y= 3 x B. y=- 3 x C. y= 动点 P 的轨迹方程为 . x2 ? y 2 ? 4 . (? 5, ?2] 7.已知直线 2 x ? y ? c ? 0 与曲线 y ? 1 ? x2 有两个公共点,则 c 的取值范围 ※能力提高 8.已知实数 x, y 满足 x2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ,求

y?2 的值域. x ?1

.解:方程 x2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 化为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 ,其几何意义为:以 C (2, 0) 为圆心,1 为半径的圆.

y?2 ? k ,其几何意义为:圆 C 上的点 P( x, y ) 与点 Q(1, 2) 连线的斜率. x ?1 y?2 将 ? k 变形为 PQ : kx ? y ? k ? 2 ? 0 ,则 x ?1
设 圆心到直线 PQ 的距离 d ? ∴
| ?2k ? k ? 2 | k ?1
2

? 1 ,解得

3? 3 3? 3 . ?k ? 4 4

3? 3 3? 3 y?2 的值域为 [ , ]. x ?1 4 4

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9.在直径为 AB 的半圆内,划出一块三角形区域,使三角形的一边为 AB,顶点 C 在半圆上,其它两边分别为 6 和 8, 现要建造一个内接于△ ABC 的矩形水池 DEFN,其中,DE 在 AB 上,如图的设计方案是使 AC=8, BC=6. (1)求△ ABC 中 AB 边上的高 h; (2)设 DN=x,当 x 取何值时,水池 DEFN 的面积最大? (3)实际施工时,发现在 AB 上距 B 点 1.85 的 M 处有一棵大树,问:这棵大树是否位于最大矩形 水池的边上?如果在,为保护大树,请设计出另外的方案,使内接于满足条件的三角形中欲建的最大 矩形水池能避开大树. 1 1 AC ?BC 6 ? 8 解:(1)由 S ? AB? h ? AB?BC ,得 h ? ? ? 4.8 . 2 2 AB 10 h ? DN NF (2)∵NF∥AB,∴△CNF∽△CAB,∴ . ? h AB 10(4.8 ? x) 10(4.8 ? x) 25 ∴ NF ? , SDEFN ? x? ? ? x2 ? 10 x . 4.8 4.8 12 ∴当 x=2.4 时, S DEFN 的值最大. (3)当 S DEFN 最大时 x=2.4,此时 F 为 BC 中点. 在 Rt△FEB 中,EF=2.4,BF=3, ∴ BE ? BF 2 ? EF 2 ? 32 ? 2.42 ? 1.8 . 又 BM=1.85>BE,故大树必位于欲修建的水池边上,应重新设计方案. 又∵ 当 x=2.4 时,DE=5,∴ AD=3.2. 由圆的对称性知满足题设条件的另外设计方案是如图(2) ,此时,AC=6,AD=1.8,BD=8.2,此方案满足条件且能避 开大树. ※探究创新 10.船行前方的河道上有一座圆拱桥,在正常水位时,拱圈最高点距水面为 9m,拱圈内 水面宽 22m.船只在水面以上部分高 6.5m、船顶部宽 4m,故通行无阻.近日水位暴涨了 2.7m, 船已经不能通过桥洞了.船员必须加重船载,降低船身.试问船身必须降低多少,才能顺利地 通过桥洞? 解:画出正常水位时的桥、船的示意图如图 1;涨水后桥、船的示意图如图 2.以正常水 位时河道中央为原点,建立如图 2 所示的坐标系. 设桥拱圆顶的圆心 O1(0, y1), 桥拱半径为 r, 则桥拱圆顶在坐标系中的方程为 x2+(y-y1)2=r2. 桥拱最高点 B 的坐标为(0,9),桥拱与原始水线的交点 A 的坐标为(11,0).圆 O1 过点 A, B,因此 02+(9-y1)2=r2,112+(0-y1)2=r2, 20 两式相减后得 121+18y1-81=0, y1=- ?-2.22; 9 回代到两个方程之一,即可解出 r?11.22. 所以桥拱圆顶的方程是 x2+(y+2.22)2=125.94. 当船行驶在河道的正中央时, 船顶最宽处角点 C 的坐标为(2, y). 使船能通过桥洞的最低要求, 2 2 是点 C 正好在圆 O1 上,即 2 +(y+2.22) =125.94,解出 y?8.82. 扣除水面上涨的 2.70, 点 C 距水面为 8.82-2.70=6.12. ∴船身在水面以上原高 6.5,为使船能通过桥洞,应降低船身 6.5-6.12=0.38(m)以上

第 34 讲 § 4.3.1 空间直角坐标系
¤学习目标:通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性,了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的 位置. ¤知识要点: 1. 空间直角坐标系:从空间某一个定点 O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴 Ox、Oy、Oz,这样的坐标系叫做空 间直角坐标系 O-xyz,点 O 叫做坐标原点,x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为 xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. 2. 右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的正方向,若中指指向 z 轴的 正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3. 空间直角坐标系中的坐标:对于空间任一点 M,作出 M 点在三条坐标轴 Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴上的射影,若射影在相 应数轴上的坐标依次为 x、y、z,则把有序实数组(x, y, z)叫做 M 点在此空间直角坐标系中的坐标,记作 M(x, y, z),其中 x 叫 做点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标. 4. 在 xOy 平面上的点的竖坐标都是零,在 yOz 平面上的点的横坐标都是零,在 zOx 平面上的点的纵坐标都是零;在 Ox 轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零,在 Oy 轴上的点的横坐标、竖坐标都是零,在 Oz 轴上的点的横坐标、纵坐标都是零
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第四章 圆与方程
z M(6,-2,4) 4 6 O y

¤例题精讲: 【例 1】在空间直角坐标系中,作出点 M(6,-2, 4). 解:点 M 的位置可按如下步骤作出: 先在 x 轴上作出横坐标是 6 的点 M 1 ,再将 M 1 沿与 y 轴平行的方向向左移动 2 个单位得到点 M 2 , 然后将 M 2 沿与 z 轴平行的方向向上移动 4 个单位即得点 M. M 点的位置如图所示. 【例 2】在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB=12,AD=8, AA1 =5,试建立适当的空间直角坐标系, 写出各顶点的坐标. 解:以 A 为原点,射线 AB、AD、 AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0)、B(12,0,0)、C(12,8,0)、D(0,8,0)、 A1 (0,0,5)、 B1 (12,0,5)、 C1 (12,8,5)、 D1 (0,8,5). 【例 3】已知正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 4,侧棱长为 10,试建立适当的空间直角 坐标系,写出各顶点的坐标. 分析:先由条件求出正四棱锥的高,再根据正四棱锥的对称性,建立适当的空间直角坐 标系. 解:? 正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 4,侧棱长为 10, ∴正四棱锥的高为 2 23 . 以正四棱锥的底面中心为原点,平行于 AB、BC 所在的直线分别为 x 轴、y 轴,建立如 图所示的空间直角坐标系, 则正四棱锥各顶点的坐标分别为

M 22 M1
x

A(2,-2,0)、B(2,2,0)、C(-2,2,0)、D(-2,-2,0)、P(0,0, 2 23 ). 点评:在求解此类问题时,关键是能根据已知图形,建立适当的空间直角坐标系,从而便于计算所需确定的点的坐标 . 【例 4】在空间直角坐标系中,求出经过 A(2,3,1)且平行于坐标平面 yOz 的平面 ? 的方程. 分析:求与坐标平面 yOz 平行的平面的方程,即寻找此平面内任一点所要满足的条件,可利用与坐标平面 yOz 平行的平 面内的点的特点来求解. 解:? 坐标平面 yOz⊥x 轴,而平面 ? 与坐标平面 yOz 平行, ∴平面 ? 也与 x 轴垂直, ∴平面 ? 内的所有点在 x 轴上的射影都是同一点,即平面 ? 与 x 轴的交点, ∴平面 ? 内的所有点的横坐标都相等。 ? 平面 ? 过点 A(2,3,1), ∴平面 ? 内的所有点的横坐标都是 2, ∴平面 ? 的方程为 x=2. 点评:对于空间直角坐标系中的问题,可先回忆与平面直角坐标系中类似问题的求解方法,再用类比方法求解空间直角 坐标系中的问题。本题类似于平面直角坐标系中,求过某一定点且与 x 轴(或 y 轴)平行的直线的方程.

第 34 练 § 4.3.1 空间直角坐标系
※基础达标 1.点 A(2,0,3) 在空间直角坐标系的位置是( A. y 轴上 B. xOy 平面上 C ). D. yOz 平面上 ) . C. xOz 平面上

2.在空间直角坐标系中,下列说法中:①在 x 轴上的点的坐标一定是 (0, b, c) ;②在 yOz 平面上的点的坐标一定可写成

(0, b, c) ; ③在 z 轴上的点的坐标可记作 (0,0, c) ; ④在 xOz 平面上的点的坐标是 (a, 0, c) . 其中正确说法的序号依次是 ( D
A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②③④ 3.结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意图. 其中实点●代表钠原子,黑点?代表 氯原子. 建立空间直角坐标系 O—xyz 后,图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是( A ).

1 1 1 1 1 B. (0,0,1) C. (1, ,1) D. (1, , ) 2 2 2 2 2 4.点 A(?1, 2,1) 在 x 轴上的射影和在 xOy 平面上的射影点分别为( B ). A. ( ?1, 0,1) 、 (?1, 2,0) B. (?1,0,0) 、 (?1, 2,0) C. (?1,0,0) 、 (?1,0,0) D. (?1, 2,0) 、 (?1, 2,0) 5.点 M (a, b,0), N (0, a, b), P(a,0, b) 分别在面( A ). A. xOy, yOz, xOz 上 B. yOz, xOy, xOz 上 C. xOz, yOz, xOy 上 D. xOy, xOz, yOz 上 6.点 P(1,3,5) 关于原点对称的点的坐标是 . (?1, ?3, ?5)
A. ( , ,1)

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日 :

~

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自评



x1 ? x2 y1 ? y2 7.连接平面上两点 P , ) ,那么,已知空间中两点 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 的线段 P 1P 2 的中点 M 的坐标为 ( 2 2 x ? x y ? y2 z1 ? z2 . ( 1 2, 2 P , ) 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 , z2 ) ,线段 P 1P 2 的中点 M 的坐标为 2 2 2
※能力提高 8.如图,点 A(0,0, a) ,在四面体 ABCD 中,AB⊥平面 BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E、F 分别是 AC、 AD 的中点. 求 D、C、E、F 这四点的坐标. 解:由 A(0, 0, a) 及∠ADB=30°,得到点 D 坐标 (0, 3a, 0) .

3 3 a, a,0) . 2 2 3 3 a 3 a 由 E、F 分别是 AC、AD 的中点,得 E( a, a, ) , F (0, a, ) 4 4 2 2 2
又 BC=CD,∠BCD=90°,得 C ( 9.在空间直角坐标系中,给定点 M (1, ?2,3) ,求它关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标. 解:点 M (1, ?2,3) 关于平面 xOy 、平面 yOz 、平面 xOz 的对称点的坐标分别是 (1, ?2, ?3) 、 (?1, ?2,3) 、 (1, 2,3) . 点 M (1, ?2,3) 关于 x 轴、y 轴、z 轴、原点的对称点的坐标分别是 (1, 2, ?3) 、 (?1, ?2, ?3) 、 ( ?1, 2,3) 、 (?1, 2, ?3) . ※探究创新 ?10.在空间直角坐标系中,求出经过 B(2,3,0)且垂直于坐标平面 xOy 的直线方程 解:所求直线的方程为 x=2, 且 y=3.

第 35 讲 § 4.3.2 空间两点间的距离公式
¤学习目标:通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距离公式. ¤知识要点:
2 2 2 1. 空间两点 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 , z2 ) 间的距离公式: | PP 1 2 |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z2 ) .

2. 坐标法求解立体几何问题时的三个步骤:①在立体几何图形中建立空间直角坐标系;②依题意确定各相应点的坐标 ; ③通过坐标运算得到答案. 3. 对称问题,常用对称的定义求解. 一般地,点 P(x, y, z) 关于坐标平面 xOy、yOz、zOx 的对称点的坐标分别为(x, y,- z)、 (-x, y, z)、(x, -y, z);关于 x 轴、y 轴、z 轴的对称点的坐标分别为(x, -y,- z)、(-x, y, -z)、(-x, -y, z);关于原点的对称点的坐标为 (-x,- y,- z). ¤例题精讲: 【例 1】已知 A(x,2,3)、B(5,4,7),且|AB|=6,求 x 的值. 解:? |AB|=6,∴ ( x ? 5)2 ? (2 ? 4)2 ? (3 ? 7)2 ? 6 , 即 ( x ? 5)2 ? 16 ,解得 x=1 或 x=9. 【例 2】求点 P(1,2,3)关于坐标平面 xOy 的对称点的坐标. 解:设点 P 关于坐标平面 xOy 的对称点为 P? ,连 PP? 交坐标平面 xOy 于 Q, 则 PP? ? 坐标平面 xOy,且|PQ|=| P? Q|, ∴ P? 在 x 轴、y 轴上的射影分别与 P 在 x 轴、y 轴上的射影重合, P? 在 z 轴上的射影与 P 在 z 轴上的射影关于原点对 称, ∴ P? 与 P 的横坐标、纵坐标分别相同,竖坐标互为相反数, ∴ 点 P(1,2,3)关于坐标平面 xOy 的对称点的坐标为(1,2,-3). 【例 3】在棱长为 a 的正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 中,求异面直线 BD1与CC1 间的距离. 解:以 D 为坐标原点,从 D 点出发的三条棱所在直线为坐标轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设 P、Q 分别是直线 BD1 和 CC1 上的动点,其坐标分别为(x, y, z)、(0, a, z1 ),则由正方体的对称性,显然有 x=y. 异面直线 BD1与CC1 间的距离,即求 P、Q 两点间的最短距离. 设 P 在平面 AC 上的射影是 H,由在 ? BDD1 中, 要求

PH BH z ? ,所以 ? D1 D BD a

2a ? 2 x 2a

?

a?x ,∴x=a-z, a

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第四章 圆与方程

∴ P 的坐标为(a-z, a-z, z) ∴ |PQ|= (a ? z)2 ? z 2 ? (z ? z1)2 = ( z ? z1 )2 ? 2( z ? )2 ?

a 2

a2 2

2 a a. 时,|PQ|取得最小值,最小值为 2 2 2 a. ∴ 异面直线 BD1与CC1 间的距离为 2
∴ 当 z ? z1 ? 点评:通过巧设动点坐标,得到关于两点间距离的目标函数,由函数思想得到几何最值 . 注意这里对目标函数最值的研 究,实质就是非负数最小为 0. 【例 4】在四面体 P-ABC 中,PA、PB、PC 两两垂直,设 PA=PB=PC=a,求点 P 到平面 ABC 的距离. 解:根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系 P-xyz, 则 P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a). 过 P 作 PH ? 平面 ABC,交平面 ABC 于 H,则 PH 的长即为点 P 到平面 ABC 的距离. ? PA=PB=PC,∴H 为 ? ABC 的外心, 又? ? ABC 为正三角形, ∴H 为 ? ABC 的重心,可得 H 点的坐标为 ( ,

a a a , ). 3 3 3

a a a 3 a, ∴|PH|= (0 ? ) 2 ? (0 ? ) 2 ? (0 ? ) 2 ? 3 3 3 3
3 a 3 点评:重心 H 的坐标,可以由比例线段得到. 通过建立空间直角坐标系,用代数方法来计算点面距离. 本题也可以用几 何中的等体积法来求解.
∴点 P 到平面 ABC 的距离为

第 35 练 § 4.3.2 空间两点间的距离公式
※基础达标 1.点 P( x, 2,1) 到 Q(1,1, 2), R(2,1,1) 的距离相等,则 x 的值为( A. B ).

1 2

B.

1

C.

3 2

D. 2 A )提示:. B

2.设点 B 是点 A(2, ?3,5) 关于 xOy 面的对称点,则 | AB | =(

?2,?3,?5?

A. 10 B. 10 C. 38 D. 38 3.到点 A(?1, ?1, ?1) , B (1,1,1) 的距离相等的点 C ( x, y, z ) 的坐标满足( B

).

A. x ? y ? z ? ?1 B. x ? y ? z ? 0 C. x ? y ? z ? 1 D. x ? y ? z ? 4 4.已知 A(?2,3, 4) ,在 y 轴上求一点 B,使 | AB |? 7 ,则点 B 的坐标为( B ). A. (0, 3 ? 29,) 0 C. (0, 3 ? 29,) 0 B. (0, 3 ? 29,) 0 或 (0, 3 ? 29,) 0 D. (0,, 或 0 3 ? 29) (0,, 0 3 ? 29)

5.已知三角形 ABC 的顶点 A(2,2,0) ,B(0,2,0) ,C(0,1,4),则三角形 ABC 是( A ). A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 2 2 2 6. 在空间直角坐标系下, 点 P( x, y, z ) 满足 x ? y ? z ? 1 , 则动点 P 表示的空间几何体的表面积是 7.点 M (4, ?3,5) 到 x 轴的距离为 .
34

. 4?

※能力提高 8.(1)已知 A(2,5,-6),在 y 轴上求一点 B,使得|AB|=7;(2)求点 P(5,-2,3)关于点 A(2,0,-1)的对称点的坐标. 解: (1)B(0,2,0)或 B(0,8,0).(2)(-1,2,-5) 9.已知 A(1, 2 ? 1) 、 B(2,0, 2) ,在 xOz 平面内的点 M 到 A 点与 B 点等距离,求点 M 的轨迹. 解:设点 M 的坐标为 ( x, 0, z ) ,则有 ( x ?1)2 ? (0 ? 2)2 ? ( z ? 1)2 ? ( x ? 2)2 ? (0 ? 0)2 ? ( z ? 2)2 ,化简得 2x ? 6z ? 2 ? 0 , 即 x ? 3z ?1 ? 0 .所以,点 M 的轨迹是 xOz 平面内的一条直线. ※探究创新 10.点 P 在坐标平面 xOy 内,A 点的坐标为(-1,2,4),问满足条件|PA|=5 的点 P 的轨迹是什么? 解:设点 P 的坐标为(x, y, z), ? 点 P 在坐标平面 xOy 内,∴z=0.

? |PA|=5,∴ ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? ( z ? 4)2 ? 5 ,即 ( x ? 1)2 ?( y ? 2)2 ?( z ? 4)2 =25, ∴点 P 在以点 A 为球心,半径为 5 的球面上, ∴点 P 的轨迹是坐标平面 xOy 与以点 A 为球心,半径为 5 的球面的交线,即在坐标平面 xOy 内的圆,且此圆的圆心即 为 A 点在坐标平面 xOy 上射影 A? (-1,2,0). ? 点 A 到坐标平面 xOy 的距离为 4,球面半径为 5,
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自评



∴在坐标平面 xOy 内的圆 A? 的半径为 3, ∴点 P 的轨迹是圆 ( x ? 1)2 ?( y ? 2)2 =9,z=0.

第 36 讲 第四章 圆与方程 复习
¤学习目标:掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程;能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位 置关系;能根据给定两个圆的方程,判断两圆的位置关系;能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;了解空间直角坐标系, 会用空间直角坐标表示点的位置;会推导空间两点间的距离公式;初步了解用代数方法处理几何问题的思想. ¤例题精讲: 【例 1】设直线 3x ? 4 y ? m ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 0 相交于 P、Q 两点,O 为坐标原点,若 OP ? OQ ,求 m 的值. 解:? 圆 x2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 0 过原点,并且 OP ? OQ , ∴ PQ 是圆的直径,圆心的坐标为 M (? , 1) 又 M (? , 1) 在直线 3x ? 4 y ? m ? 0 上, ∴

1 2

【例 2】 (1997 上海)设圆 x2+y2-4x-5=0 的弦 AB 的中点为 P(3,1) ,则直线 AB 的方程是 2 2 解法一:已知圆的方程为(x-2) +y =9,可知圆心 C 的坐标是(2,0) , 又知 AB 弦的中点是 P(3,1) ,所以 kCP=

1 2

1 5 3 ? (? ) ? 4 ?1 ? m ? 0 ,解得 m ? ? . 2 2
.

1? 0 =1,而 AB⊥CP,所以 kAB=-1. 3? 2

故直线 AB 的方程是 x+y-4=0. 解法二:设所求直线方程为 y-1=k(x-3). 代入圆的方程,得关于 x 的二次方程: (1+k2)x2-(6k2-2k+4)x+9k2-6k-4=0,由韦达定理:x1+x2=

6k 2 ? 2k ? 4 =6,解得 k=-1. 1? k2

解法三:设所求直线与圆交于 A、B 两点,其坐标分别为 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,

?( x1 ? 2)2 ? y12 ? 9 ? 则有 ? , 两式相减,得(x2+x1-4) (x2-x1)+(y2-y1) (y2+y1)=0. 2 2 ? ?( x2 ? 2) ? y2 ? 9
又 AB 的中点坐标为(3,1) ,∴x1+x2=6,y1+y2=2. y2 ? y1 ∴ =-1,即 AB 的斜率为-1,故所求方程为 x+y-4=0. x2 ? x1 【例 3】长为 2 a 的线段 AB 的两端点 A 和 B,分别在 x 轴和 y 轴上滑动,求线段 AB 中 点的轨迹方程. 解:设线段 AB 的中点坐标为 M ( x, y ) ,则 点 A(2 x,0) , B(0, 2 y) . 由 | AB |? 2a ,得 (2x)2 ? (2 y)2 ? 2a .所以,所求轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? a 2 . 点评:此解体现了求曲线轨迹方程的基本思路,先设动点的坐标,再写出题目所满足的 几何条件,然后由所写条件式列出方程,最后化简即得所求轨迹方程. 另解:∵ | AB |? 2a ,M 是 AB 中点,x 轴⊥y 轴, ∴ | OM |? 即线段 AB 中点 M 的轨迹是以原点 O 为圆心, a 为半径的圆. ∴ 所求轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? a 2 .

y B o M(x,y) A x

1 | AB |? a , 2

y B o M(x,y) A x

点评:由已知条件分析得出动点的轨迹,再由轨迹写出方程,这种解法类似于数形结合思 想,关键找出图形的重要特征. 【例 4】已知圆 C: (x-1)2+(y-2)2=25,直线 l: (2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R). (1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆恒交于两点; (2)求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程. 解: (1)证明:l 的方程可化为(x+y-4)+m(2x+y-7)=0. ∵m∈R,∴ ?

?2 x ? y ? 7 ? 0 ?x ? 3 ,得 ? ,即 l 恒过定点 A(3,1). ?x ? y ? 4 ? 0 ?y ?1

∵圆心 C(1,2) ,|AC|= 5 <5(半径) ,∴点 A 在圆 C 内,从而直线 l 恒与圆 C 相交于两点. (2)弦长最小时,l⊥AC,由 kAC=-

1 ,∴l 的方程为 2x-y-5=0. 2

点评:本题考查了圆的弦长问题,直线系的知识,进一步考查了参数思想 . 解题关键是抓住图形的几何性质,灵活运用 几何知识和代数知识将条件恰当转化,推演,达到合乎逻辑、说理充分、陈述严谨 .

第 36 练 第四章 圆与方程 复习
※基础达标 1. (06 年江苏卷)圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 的切线方程中有一个是( C ).
70

《新课标高中数学必修②精讲精练》——精讲

第四章 圆与方程

A. x-y=0 B. x+y=0 C. x=0 D. y=0 2 2 2. (04 年天津卷)若 P (2, ?1) 为圆 ( x ? 1) ? y ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是( A. x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0 3. (06 年陕西卷)设直线过点(0,a),其斜率为 1, 且与圆 x2+y2=2 相切,则 a 的值为( A.± 2 B.±2 B.± 2 2 D.±4. 4.(06 年重庆卷)以点(2,-1)为圆心且与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 相切的圆的方程为( A. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 3
2 2

A ).

B ). C ).

B. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 3
2 2

C. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 9
2 2

D. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 3 ). C. 6 2 D. 5 2

5. (06 年湖南卷)圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是(C A.36 B. 18 解:因为直线与圆相离,所以最大距离与最小距离的差应为直径。因为半径为 3

2
. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2

, 且与直线 x ? y ? 4 相切的圆的方程 6. (07 年湖南.文理 11)圆心为 (11)

7.(06 年全国卷Ⅱ)过点 (1, 2) 的直线 l 将圆(x-2)2+y2=4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线 l 的斜率 k=

2 (要想圆心角最小,即圆心到直线的距离为圆心与点 (1, 2) 的距离,即直线 l 垂直于圆心与点的连线。 2 ※能力提高 8.一圆的圆心在直线 x-y-1=0 上, 与直线 4x+3y+14=0 相切, 在 3x+4y+10=0 上截得弦长为 6, 求圆的方程. 解:由圆心在直线 x-y-1=0 上, 可设圆心为(a,a-1),半径为 r, 由题意可得 ? 4a ? 3 ? a ? 1? ? 14 ?r ? 5 ? , 经计算得 a=2, r=5. 所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=25 ? 2 ?r 2 ? 9 ? ? 3a ? 4 ? a ? 1? ? 10 ? ? ? ? 5 ? ? ?
. 9.已知圆 x2 ? y 2 ? x ? 6 y ? m ? 0 和直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 交于 P、Q 两点且 OP⊥OQ(O 为坐标原点) ,求该圆的圆心坐标

及半径. 解:

将 x ? 3 ? 2 y 代入方程 x2 ? y 2 ? x ? 6 y ? m ? 0 ,得 5 y 2 ? 20 y ? 12 ? m ? 0 设 P( x1, y1 ) 、 Q( x2, y2 ) ,则 y1, y2 满足条件:

y1 ? y2 ? 4, y1 y2 ?

m ? 12 ∵ OP⊥OQ, 5

∴ kOP ?kOQ ? ?1 ,即

y1 y2 ? ? ?1 ,从而 x1 x2 ? y1 y2 ? 0, x1 x2

又 x1 ? 3 ? 2 y1 , x2 ? 3 ? 2 y2 ,∴ x1 x2 ? 9 ? 6 ? y1 ? y2 ? ? 4 y1 y2 ,∴m=3,此时Δ >0,圆心坐标为(-

1 5 ,3 ) ,半径 r ? . 2 2

※探究创新 ?10. 某铝制品厂在边长为 40cm 的正方形铝板上割下四个半径为 20 厘米的圆形(如图所示的阴影部分).为节约铝材, 该厂打算用余下部分制作底面直径和高相等的圆柱形包装盒(接缝用料忽略不计).问: (1)包装盒的最大直径是多少?(精确到 0.01 厘米) (2)画出你设计的剪裁图. 10. 解:如图建立直角坐标系,依题意,若使圆柱底面直径最大,应如图所示剪裁.设底面半径为 r, 由于 2r 为圆柱的高,故 AD=2r,AB=2π r, 于是 A 点的坐标为(π r,r). ∴ AC 的直线方程为 y ?

1

?

x ①;

⊙O′的方程为:(x-20)2+(y-20)2=20 2 ②. 将①代入②,得 (π y-20)2+(y-20)2=20 2, 求解得 y1≈3.01(cm),y2≈12.23(cm)(舍去). ∴ r≈3.01(cm). 于是 O″(0,6.02),O′(20,20), ∴ | O ' O '' |? 202 ? (20 ? 6.02)2 ? 24.40 (cm) . 而 r+20=23.01<24.41, 所以,在裁下矩形 ABCD 后,可在余下部分裁下两个半径为 3.01 的圆(⊙O″).这样,每块余料做一圆柱形(直径与高相 等)的包装盒,底面最大直径是 6.02(cm).

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