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湖南长沙一中2011高三周考(理科数学)


2011 长沙一中高三理科数学(三)教师用卷 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分.考试时间 120 分钟. 一、选择题.本题共 8 小题,第小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.若集合 A ? {1, m2 }, B ? {2,4} ,则“ m ? 2 ”是“ A ? B ? {4} ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( A )

2.右图是一个算法的程序框图,该算法输出的结果是(C ) A.

1 2

B.

2 3

C.

3 4

D.

4 5

3.若 | a ? c |? h, | b ? c |? h ,则下列不等式一定成立的是 ( A ) B. | a ? b |? 2h D. | a ? b |? h

A. | a ? b |? 2h C. | a ? b |? h 4 已 知 f ( x) ? ? ( C ) A.-2
3 2

?x ?c o s ? f ( x ? 1) ? 1

x?0 4 4 则 f ( ) ? f (? ) 的 值 为 x?0 3 3
B.-1 C.1 D.2 ( B )

5.已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d在[?1,2] 上是减函数,那么 b+c

15 A.有最大值 2 15 C.有最小值 2

15 B.有最大值- 2 15 D.有最小值- 2


2 6.在△ABC 中,若 AB ? AB ? AC ? BA ? BC ? CA ? CB, 则? ABC 是( D

A.等边三角形 C.钝角三角形

B.锐角三角形 D.直角三角形

A

C

7.已知六面体 ABC—DEFG 中(如图) ,AB、AC、AD 两两互相 B 垂直, 平面 ABC//平面 DEFG. 平面 BEF//平面 ADGC, AB=AD=DG=2, AC=EF=1,则这个多 面体的体积为 ( B ) E

D

G F

A.2

B.4

C .6

D.8

8.生产一批零件,对尺寸有严格的要求.检查时,连续抽查 10 个,每个的误差(尺寸与标 准尺寸之差的绝对值)均不超过 5 微米时,视为检验合格.根据某检查人员连续检查了 10 个 尺寸所得误差的数据,一定表明该批产品符合标准的是 ( D ) A.总体平均值为 2,中位数为 3 B.总体平均值为 1,总体方差为 3 C.中位数为 2,众数为 1 D.总体平均值为 2,总体方差为 1

第Ⅱ卷(非选择题,共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. 9.已知

m ? 1 ? ni ,其中 m,n是实数, i是虚数单位,则 m ? ni ? 2+i 1? i

10.函数 y ? 2 sin(

?

3

? x) ? cos(

?

6

? x) ( x ?R)的最小值是–1.

11.如图,已知 EB 是半圆 O 的直径,A 是 BE 延长线上一点,AC 切半圆 O 于点 D,BC⊥AC 于 5 C,若 BC = 6,AC = 8,则 AE = ,AD = 5 . 2 12.已知数列 {an } 是公差为 d 的等差数列,其前 n 项和为 Sn,则有 S m?n ? S m ? S n ? mnd. 类似的, 对于公比为 q 的等比数列 {bn } 来说,设其前 n 项积为 Tn,则关于 Tm?n , Tm , Tn 及q 的一个关系式为 Tm?n ? Tm ? Tn ? qmn . 13.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0)与双曲线
x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 有相同的焦点 F,点 A 是两曲 a 2 b2

线的交点,且 AF⊥ x 轴,则双曲线的离心率为 2 ? 1 . 14. 给出下列四个命题中: ①命题“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 3x ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 3x ” ; ②“ m ? ?2 ”是“直线 (m ? 2) x ? my ? 1 ? 0 与直线 (m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 3 ? 0 相互垂直” 的充分不必要条件; ③ 设 圆 x ? y ? D x? E y ? F? 0(
2 2 2

D ? 2E ? 4

F? 0与 ) 坐标轴有 4 个交点,分别为

A( x1,0), B( x2 ,0), C(0, y1 ), D(0, y2 ) ,则 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ;
④关于 x 的不等式 x ? 1 ? x ? 3 ? m 的解集为 R ,则 m ? 4 . 其中所有真命题的序号是
2 ③④ ①○

.

15.若函数 y = f (x),x∈D 同时满足下列条件: (1)在 D 内的单调函数; (2) ? 实数 m,n,

当定义域为[m,n]时,值域为[m,n].则称此函数为 D 内可等射函数,设 f ( x) ? 且 a≠1) . 则(1)f (x)在 (??, ??) 的单调性为 增函数; (2)当 f (x)为可等射函数时,a 的取值范围是 (0,1)
(1, 2) .

ax ? a ? 3 (a>0 ln a

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c,且 a cos B ? b cos A ? (1)试求 tanA 与 tanB 的关系; (2)求 tan(A ? B) 的最大值. 解: (1)在△ABC 中,由正弦定理及 a cos B ? b cos A ? 可得 sin A cos B ? sin B cos A ?

3 c. 5

3 c, 5

3 3 sin C ? sin( A ? B) ????2 分 4 5

? 3 sin A cos B ? 3 cos A sin B 5 sin A cos B ? 5 sin B cos A ? sin A cos B ? 4 cos A sin B ? tan A ? 4 tan B. ??????????6 分 (2)? tan A ? 4 tan B ? 0 tan A ? tan B ? tan( A ? B) ? 1 ? tan A ? tan B

?

3 tan B ? 1 ? 4 tan 2 B

3 1 ? 4 tan B tan B

??????8 分

? 2?

3 1 ? 4 tan B tan B

?

3 ????????10 分 4

1 1 ? 4 tan B, 即 tan B ? 时取等号. tan B 2 1 3 ?当 tan A ? 2, tan B ? 时, tan( A ? B) max ? . ? 12 分 2 4
当且仅当

17 ( 本 题 满 分 12 分 ) . 10 个 实 习 小 组 在 显 微 镜 下 实 测 一 块 矩 形 芯 片 , 测 得 其 长 为 29 ?m ,30 ?m ,31 ?m 的小组分别有 3 个,5 个,2 个,测得其宽为 19 ?m ,20 ?m ,21 ?m 的小组 分别有 3 个,4 个,3 个,设测量中矩形芯片的长与宽分别为随机变量 ? 和 ? ,周长为 ? . (Ⅰ)以表格形式,填写随机变量 ? 和 ? 的分布律;

(Ⅱ)求周长 ? 的分布列及期望. 【解析】 (Ⅰ) 长度 ? ?m P 宽度 ? ?m P 29 0.3 30 0.5 31 0.2

…………………………………………………………………………………3 19 0.3 20 0.4 21 0.3

……………………………………………………………………………………6 (Ⅱ)P( ? =96) = 0.3×0.3=0.09; P( ? =98)= 0.3×0.4+0.5×0.3 =0.27; P( ? =100)= 0.5×0.4 + 0.2×0.3 + 0.3×0.3 = 0.35; P( ? =102)= 0.2×0.4 + 0.5×0.3 = 0.35; P( ? =104)= 0.2×0.3=0.06.………………………………………………………9 得周长分布律如下表所示: 周长 ? ?m P 96 0.09 98 0.27 100 0.35 3 6 102 0.2 103 0.0

………………………………………………….12 18.(本题满分 12 分)已知矩形 ABCD 中,AB=2AD=4,E 为 CD 的中点,沿 AE 将三角形 AED 折起,使 DB= 2 3 ,如图,O、H 分别为 AE,AB 的中点, (1)求证:平面 AED⊥平面 ABCD (2)求二面角 O—DH—E 的余弦值 D

E

C

A .解: (1)∵E 为 CD 中点,O 为 AE 中点∴DO⊥AE① ∵AB=2AD=4
2 2

H

B

∴AE=BE= 2 2
2

1 ∴EO=DO= AE ? 2 2

∴ AE ? BE ? AB 又∵BD ? 2 3

∴AE⊥EB

∴BO= OE ? BE ? 10
2 2

2 2 2 ∴ DO ? BO ? BD

∴ DO ? BO



由①②知 DO⊥面 ABCD ∴DO ? 面 ADE ∴面 ADE⊥面 ABCD……………………………………………6

(2)如图,以 O 为坐标原点,OA、OH、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐 z 标系,则 D(0,0, 2 ),E(– 2 ,0,0),H(0, 2 ,0),则 D

EH ? ( 2, 2,0) , DH ? (0, 2, ? 2) ,
设平面 DEH 的一个法向量为 n1 = (x, y, z),则

? ? 2x ? 2 y ? 0 ,令 z = 1,则 y = 1,x = –1, ? 2 y ? 2 z ? 0 ? ?
N1 = (–1,1,1),n2 = (1,0,,0)为平面 DOH 的一个法向量,
cos n1 ,n2 =
?1 3 ?? 3 . 3

E O B y

C

A x

H

故二面角 O—DH—E 的平面角的余弦值为

3 .????????????12 分 3

19. (本小题满分 13 分) 学校食堂改建一个开水房,计划用电炉或煤炭烧水,但用煤时也要用电鼓风及时排气, 用煤烧开水每吨开水费为 S 元,用电炉烧开水每吨开水费为 P 元,且

S ? 5 y ? 0.2x ? 5, P ? 10.2x ? 20 76 ? x.
其中 y 为每吨煤的价格, x 为每百度电的价格,如果用煤时的费用不超过用电炉时的费 用,则仍用原备的锅炉烧水,否则就用电炉烧水. (1)如果两种方法烧水费用相同,试将每吨煤的价格 y 表示为每百度电的价格 x 的函数; (2)如果每百度电的价格不低于 60 元,则用煤烧水时 每吨煤的最高价是多少? ..... 解: (1)由题意,得 5y+0.2x+5=10.2x+20 76 ? x , 即

y ? 2x ? 4 76 ? x ? 1(0 ? x ? 76)

????5 分

(2)因为用煤炉烧开水,所以 S≤P, 得 5y+0.2x+5 ? 10.2x+20 76 ? x ????7 分

? y ? 2x ? 4 76 ? x ? 1 ? ?2(76 ? x) ? 4 76 ? x ? 151? ?2( 76 ? x ? 1) 2 ? 153.
????10 分 ∵ ∴

60 ? x ? 76 .∴

0 ? 76 ? x ? 4 .

11 分

当 76 ? x ? 1 即 x ? 75 时, y max ? 153, ????12 分 ???13

答:每吨煤的最高价为 153 元. 20. (本小题满分 13 分)

已知抛物线 L : x 2 ? 2 py 点 M ? 2, 2 ? ,抛物线 L 上存在不同两点 A、B 满足 AM ? BM ? 0 (1)求实数 p 的取值范围;

(2)当 p=2 时,抛物线 L 上是否存在点 C,使得经过 A、B、C 三点的的圆和抛物线 L 在 点 C 处有相同的切线?请写出推理过程. 解: (1)解法 1:不妨设 A( x1 , ∵ AM ? BM ? 0 ,∴ (2 ? x1 , 2 ?
x12 x2 ), B( x2 , 2 ) ,且 x1<x2, 2p 2p x12 x2 ) ? (2 ? x2 , 2 ? 2 ) ? 0 . 2p 2p

2 ? 8 p .????????????????????????3 分 ∴ x1 ? x2 ? 4, x12 ? x2

( x1 ? x2 )2 ( x1 ? x2 ) ,即 8p>8, 2 ∴p>1,即 p 的取值范围为(1, +∞).????????????????????5 分
2 ∵ x12 ? x2 ?

解法 2:设 A、B 两点的坐标为 A(x1, y1),B(x2,y2),且 x1<x2. ∵ AM ? BM ? 0 ,可得 M 为 AB 的中点,即 x1 ? x2 ? 4 . 显然直线 AB 与 x 轴不垂直,设直线 AB 的方程为 y – 2 = k(x – 2), 即 y = kx + 2– 2k,????????????????????????????3 分 将 y = kx + 2– 2k 代入 x2 = 2py 中,得 x2 –2pkx + 4(k –1)p = 0. ∴?
2 2 ?? ? ? 4 p k ? 16(k ? 1) p ? 0, ? ? x1 ? x2 ? 2 pk ? 4.

∴ p>1. 故 p 的取值范围为(1, +∞).???????????????????????5 分 (2)当 p = 2 时,由(1)求得 A、B 的坐标分别为(0, 0)、(4,4)????????6 分
t2 假设抛物线 L 上存在点 C (t , ) (t≠0 且 t≠4),使得经过 A、B、C 三点的圆和抛物线 L 在 4 点 C 处有相同的切线. 设经过 A、B、C 三点的圆的方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F =0,
?F ? 0 ? 则 ?4 D ? 4 E ? F ? ?32 ? 2 4 2 ?16tD ? 4t E ? 16 F ? ?t ? 16t

整理得 t3 + 4(E + 4)t – 16(E + 8) = 0.①????????????????8 分 ∵函数 y ?
x x2 的导数为 y ? ? , 2 4

t t2 ∴抛物线 L 在点 C (t , ) 处的切线的斜率为 , 2 4 t t2 ∴经过 A、B、C 三点的圆 N 在点 C (t , ) 处的切线斜率为 . 2 4 ∵t≠0,∴直线 NC 的斜率存在.

∵圆心 N 的坐标为 (?

D E ,? ) , 2 2

t2 E ? t ∴ 4 2 ? ? ?1 ,即 t3 + 2(E + 4)t – 4(E + 8) = 0.② D 2 t? 2

∵t≠0,由①、②消去 E,得 t3 – 6t2 + 32 = 0??????????????12 分 即(t – 4)2(t + 2) =0. ∵t≠4,∴t = –2. 故满足题设的点 C 存在,其坐标为(–2,1).??????????????13 分 (也可以构造三次函数只证明存在性) 21.(本小题满分 13 分) 已知函数 f(x)=ex+2x2—3x (工)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)求证函数 f(x)在区间[0,1)上存在唯一的极值点; (Ⅲ)当 x≥

5 1 时,若关于 x 的不等式 f(x)≥ x2+(a—3)x+1 恒成立,试求实数 a 2 2

的取值范围. (Ⅰ)f'(x)=ex+4x-3,则 f'(1)=e+1, . . . . . . . . . . . .1 分 又 f(1)=e—1, ∴曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-e+1=(e+1)(x-1),且(e+1)x-y-2=0. . . . . . . . . . . .3 分 0 (Ⅱ)∵f'(0)=e -3=-2<0,f'(1)=e+1>0, ∴f'(0)·f'(1)<0 令 h(x)=f'(x)=ex+4x-3, 则 h'(x)=ex+4>0,f'(x)在 [0,1]上单调递增, ∴.f'(x)在[0,1]上存在唯一零点,f(x)在[0,1]上存在唯一的极值点.??7 分

5 2 5 2 x +(a-3)x+1 得 ex+2x2-3x≥ x +(a-3)x+1 2 2 1 即 ax≤ex-1/2 x2-1,∵x≥ , 2
(Ⅲ)由 f(x)≥
ex ?

∴a≤

1 2 1 1 x ?1 ex ? x2 ? 1 e x ( x ? 1) ? x 2 ? 1 2 2 2 令 g(x)= ,则 g’(x)= x x x2

1 2 x +1,则 ? ’(x)=x(ex-1) 2 1 1 ∵x≥ ,∴ ? ’(x)>0,∴ ? (x)在[ ,+∞)上单调递增, 2 2 7 1 1 e >0 ∴ ? (x)≥ ? ( )= 2 8 2 1 因此 g’(x)>0 ,故 g(x)在[ ,+∞)上单调递增, 2 9 1 9 则 g(x)≥g( ) ? 2 e ? ∴a 的取值范围是 a≤2 e - …………分 4 2 4
令 ? (x)=ex(x-1)-

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


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