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数学经典易错题会诊与高考试题预测13


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经典易错题会诊与 2012 届高考试题 预测(十三)
考点 13 概率与统计 ? 求某事件的概率 ? 离散型承受机变量的分存列、期望与方差 ? 统计 ? 与比赛有关的概率问题 ? 以概率与统计为背景的数列题 ? 利用期望与方差解决实际问题 经典易错题会诊 命题角度 1 求某事件的概率 1. (典型例题Ⅰ)从数字 1,2,3,4,5 中,随机抽取 3 个数字(允许重复)组成一个三位 数,其各位数字之和等于 9 的概率为
13 125 18 C. 125 A. 16 125 19 D. 125 B.
3





[考场错解] 基本事件总数为 5 =125, 而各位数字之和等于 9 的情况有: (1) 这三个数字为 1, 3,5; (2)这三个数字为 2,3,4; (3)这三个数字都为 3。第(1)种情况有 A33 个,第 (2)种情况有 A33 个,第(3)种情况只有 1 个。∴各位数字之各等于 9 的概率为
13 。选 125

A [专家把脉]考虑问题不全面,各位数字之和等于 9 的情况不只三种情况,应该有五种情况, 考虑问题的分类情况,应有一个标准,本题应这样来划分: (1)三人数字都不相同; (2)三 个数字有两个相同; (3)三个数字都相同。这样就不会出现错解中考虑不全面的错误。 [对症下药] 基本事件总数为 5×5×5=125,而各位数字之和等于 9 分三类: (1)三个数字都 不相同,有(1,3,5) , (2,3,4) ;共 2A 3 =12 个; (2)三个数字有两个相同,有(2,2, 1 5) , (4,4,1) ,共 2C 3 个三位数; (3)三个数字都相同,有(3,3,3) ,共 1 个三位数。 ∴所求概率为
12 ? 6 ? 1 19 ? 。选 D。 125 125
3

2. (典型例题)甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的 10 道试题中,甲能答对 其中的 6 题,乙能答对其中的 8 题,规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试,至 少答对 2 题才算合格。 (1)分别求甲、乙两人考试合格的概率; (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。

1

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[考场错解] (1)由已知从 10 道题中,任选一道,甲答对的概率为 ,那么选 3 道题甲至少 答对 2 道相当于三次独立重复试验发生两次或三次.∴甲合格的概率为
3 2 4 112 3 3 C2 ? ( )2 ? ? C3 ? ( )3 ? . 5 5 5 125 3 5

[专家把脉] 相互独立事件的概念理解错误,只有当事件 A 发生与否对事伯 B 没有任何影响时, 才能说 A 与 B 相互独立.而错解中,答对第一题这个事件发生与不发生对 “答对第二题” 这人 事件有影响。所以它们之间不独立。 [对症下药] (1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B,那么对于 A:基本事件总数为 C3 10 ,而考试合格的可能有: (1)答对 2 题,共 C2 6 C14 ; (2)答对 3 题,共 C36 。
? P( A) ?
6 6 4 C3 ? C2 C1 10 C3

?

2 14 .同理P( B) ? . 3 15

( 2 )由( 1 )知 A 与 B 相互独立,∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 P ( A ? B ) = P( A) P( B) ? (1 ? )(1 ? P=1-P ( A ? B ) =12 3 14 1 )? , ∴ 甲 、 乙 两 人 至 少 有 一 人 考 试 合 格 的 概 率 为 15 45

1 44 ? . 45 45

3. (典型例题)某人有 5 把钥匙,其中有 1 把可以打开房门,但忘记了开门的是哪一把,于 是他逐把不重复地试开,那么恰好第三次打开房门的概率是____________. [考场错解] 基本事件总数为 A5 5 =120,而恰好第三次打开房门的可能为 A2 4 =12,故所求概率 为
1 . 10 m 时,分子、分母的标准不一致,分母 n

[专家把脉] 在利用等可能事件的概率公式 P(A)=

是将五把钥匙全排列,而分子只考虑前三次,导致错误。正确的想法是:要么分子分母都考 虑 5 次,要么都只考虑前三次,或者干脆都只考虑第三次。 [对诊下药] (方法一)5 把钥匙的次序共有 A55 种等可能结果。第三次打开房门,看作正 确的钥匙恰好放在第三的位置,有 A4 4 种,∴概率 P= (方法二)只考虑前 3 把的次序,概率 P= (方法三)只考虑第 3 把钥匙,概率 P= . 4. (典型例题)20 典型例题)甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 和 。假设 两人射击中目标,相互之间没有影响;每次射击是否击中目标,相互之间没有影响。 (1)求甲射击 4 次,至少 1 次未击中目标的概率; (2)求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率; (3)假设某人连续 2 次未击中目标,则停止射击。问:乙恰好射击 5 次后,被中止射击的 概率是多少? [考场错解] 第(3)问,乙恰好射击 5 次后,被中止,则乙前 3 次都击中,4、5 次未击中,
2 3 3 4 1 5
4 A2 5 A5 4 A4 5 A5

?

1 . 5

?

1 . 5

2

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∴所求概率为
3 1 1 27 ( )3 ? ? ? . 4 4 4 1024

[专家把脉] 乙恰好射击 5 次后, 被中止射击, 则 4、 5 次未击中, 但前 3 次不一定全部击中, 可能有 1 次未击中,也可能有 2 次未击中。 [对症下药] (1) 甲射击 4 次, 全部击中的概率为 ( ) 4 , 则至少 1 次未击中的概率为 1 ? ( ) 4 ?
2 3 1 3 3 4 1 4
2 3

2 3

65 . 81

2 3 ( ) 2 ? ( ) 2 乙恰好击中目标 3 次的概率为 C4 ? ( ) ? ( )1, ∴ (2) 甲恰好击中目标 2 次的概率为 C4

2 4 ? ( )2 ? ( )2 ? C3 ? ( )3 ? 甲恰好击中 2 次且乙恰好击中 3 次的概率为 C4

2 3

1 3

3 4

1 1 ? . 4 8

(3)依题意,乙恰好射击 5 次后,被中止射击,则 4、5 两次一定未击中,前 3 次若有 1 次未 击中,则一定是 1、2 两次中的某一次;前 3 次若有 2 次未击中,则一定是 1、3 两次,但此 时第 4 次也未中, 那么射击 4 次后就被停止, ∴这种情况不可能; 前三次都击中也符合题意。 ∴所求事件的概率为
1 1 3 2 3 3 45 ( )2 ? [C1 . 2 ? ?( ) ?( ) ] ? 4 4 4 4 1024

考场思维训练 1 (典型例题)掷三枚骰子,求所得点数中最大点数是最小点数两倍的概率是 (
A. 1 3
5



B.

2 3
5

C.

1 6
3

D.

1 3

答案: C 解析:基本事件总数是:6 ,而这数点数是最小数点数的两倍包括:(1,1,2), (1,2,2),(2,2,4),(2,3,4),(2,4,4),(3,3,6),(3,4,6),(3,5,6),(3, 6,6).其中(1,1,2),(1,2,2),(2,2,4),(2,4,4),(3,3,6),(3,6,6)各包
1 1 3 含 C3 种结果,共有 6 C3 种结果;(2,3 ,4),(3,4 ,6),(3 ,5,6)各包含 A3 种结果,共有 3 3 A3 种结果.∴所求概率为

1 3 6C3 ? 3 A3

63

?

1 6

∴选 C 2 (典型例题)同时抛掷 3 枚均匀硬币 16 次,则这三枚硬币至少出现一次两个正面一个反 而的概率__________(用式子作答) 。
2 ( )3 ? , 则p( A) ? 答案:1-( )16 解析:事件 A:出现两个正面一个反面的概率为 C3

5 8

1 2

3 8

5 ,而 8

事件 B:“至少出现一次两个正面一个反面”的对立事件 B : “没有一次出现两个正面一个反 面”的概率 P( B )=( ) . ∴所求事件的概率为 1-( )16 . 3 (典型例题) 设棋子在正四面体 ABCD 的表面从一个顶点向另外三个顶点移动是等可能的, 现抛掷骰子根据其点数决定棋子是否移动,若抛出的点数是奇数,则棋子不动;若抛出的点 数是偶数,棋子移动到另一顶点,若棋子的初始位置为 A,则:
5 8 5 8
16

3

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(1)投掷 2 次骰子,棋子才到达顶点 BA 的概率; 答案: “棋子才到达顶点 B” 包括两种可能:(1)第一次掷出奇数,第二次掷出偶数;(2)第 一次掷出偶数,第二次掷出偶数.它们的概率分别为 P1 = ? ? , P2 ? ? ? ? . ∴所求事 件的概率为 P=Pl +P2 =
5 . 36

1 2

1 2

1 3

1 2

2 3

1 3

1 2

(2)投掷次骰子,棋子恰巧在顶点 B 的概率是多少? 答案:设 Pn 表示掷 n 次骰子,棋子恰巧在顶点 B 的概率,Pn-1 表示掷 n-1 次骰子,棋子恰巧 在顶点 B 的概率,掷 n 次骰子, “棋子恰巧在顶点 B”包括两种可能:①掷 n-1 次骰子,棋 子恰巧在顶点 B,第 n 次掷出奇数,棋子在 B 处不动;②掷 n-1 次骰子,棋子不在 B,第 n 次掷出偶数, 棋子从别的顶点移向 B. ∴Pn = · pn-1 +(1-Pn-1 )· ? ? Pn ?1 ? ,而 P1 = ? ? ∴P2 = , P3 ? 专家会诊 对于等可能性事件的概率,一定要注意分子分母算法要一致,如分母考虑了顺序,则分子也 应考虑顺序等;将一个较复杂的事件进行分解时,一定要注意各事件之间是否互斥,还要注 意有无考虑全面;有时正面情况较多,应考虑利用公式 P(A)=1-P( A ) ;对于 A、B 是否 独立,应充分利用相互独立的定义,只有 A、B 相互独立,才能利用公式 P(A·B)=P(A) ·P (B) ,还应注意独立与互斥的区别,不要两者混淆。 命题角度 2 离散型随机变量的分布列、期望与方差 1. (典型例题)盒子中有大小相同的球 10 个,其中标号为 1 的球 3 个,标号为 2 的球 4 个, 标号为 5 的球 3 个。第一次从盒子中任取 1 个球,放回后第二次再任取 1 个球(假设取到每 个球的可能性都相同) 。记第一次与第二次取得球的标号之和为ξ 。 (1)求随机变量ξ 的分布列; (2)求随机变量ξ 的期望。 [考场错解] (1)依题意,ξ 的取值是 3,6,7,它们所对应的概率分别为 0.24,0.18,0.24, 故随机变量ξ 的分布列如下: ξ 3 6 7 P 0.24 0.18 0.24 [专家把脉] 随机变量ξ 的取值不正确,当然随之概率之和不等于 1,由于两次可能取到同 标号的球,所以承受机变量ξ 的取值应为 2,3,4,6,7,10。 [对症下药] (1)由题意可得,随机变量ξ 的取值是 2,3,4,6,7,10。且 P(ξ =2)=0.3 × 0.3=0.09,P( ξ =3)=C12×0.3×0.4=0.24,P( ξ =4)=0.4×0.4=0.16,P( ξ =6)=2×0.3×0.3=0.18,P(ξ =7)2×0.4×0.3=0.24,P(ξ =10)=0.3×0.3=0.09.故随机变量ξ 的分 布列如下: ξ P 2 0.09 3 0.24 4 0.16 5 0.18 7 0.24 10 0.09
2 9 13 13 ∴所求事件的概率为: . 54 54 1 2 1 1 2 3 1 3 1 6 1 2 1 3 1 . 6

(2)随机变量ξ 的数学期望 Eξ =2×0.09+3×0.24+4×0.16+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2.

4

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2. (典型例题Ⅱ)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题竞赛规则规定:每题回答正确 得 100 分,回答不正确得-100 分,假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8,且各题回答 正确与否相互之间没有影响。 (1)求这名同学回答这三个问题的总得分ξ 的概率分布和数学期望; (2)求这名同学总得分不为负分(即ξ ≥0)的概率。 [考场错解] (1)由于这名同学每题回答正确的概率均为 0.8,且各题回答正确与否相互之 间没有影响,∴ξ 服从二项分布。∴Eξ =100×0.8。 [专家把脉] 二项分布的概念理解错误,把 n 次独立重复试验事件 A 发生的次数作为随机变 量,则这个随机变量服从二项分布,而本题中的得分不是这种随机变量,所以不服从二项分 布,实际上本题中回答正确的个数服从二项分布。 [对症下药] (1)设这名同学回答正确的个数为随机变量η ,则依题意η ~B(3,0.8), ∴ Eη =2.4,又ξ =-300=180. η =0 时,ξ =-300; η =1 时,ξ =-100; η =2 时,ξ =100; η =3 时,ξ =300.所以ξ 的分布列如下表所示: ξ P -300 0.008 -100 0.096 100 0.384 300 0.512

(2)这名同学总得分不为负分的概率为 P(ξ ≥0)=0.384+0.512=0.986. 3. (典型例题) 某电器商经过多年经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ξ 是一个随机变 量,它的分布列如下: ξ P 1
1 12

2
1 12

3
1 12

? ?

12
1 12

设每售出一台电冰箱,电器商获利 300 元,如销售不出而囤积于仓库,则每台每月需花保养 费 100 元,问电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己平均收益最大? [考场错解] (解答 1)由题意,ξ 的期望 Eξ =
1 13 (1+2+?+12)= ,由期望的意义知: 12 2

电器商月初购进 6 台或 7 台电冰箱才能使自己平均收益最大。 (解答 2)设月初购进 x 台电冰箱,则获利也是随机变量,取值为 300-(x-1) ·100,600( x-2 )· 100, ? , 300x , 它 们 的 概 率 均 为
x ? (400 ? 100 x ? 300 x) 1 25 2 ? ? ( x ? 2 x), ∵1≤x≤2. 2 12 3
1 , ∴ 获 利 的 期 望 为 12

∴x=12 时期望最大,∴月初购进 12 台电冰箱。 [专家把脉] 解答 1,错把期望当作与实际等同,Eξ =
13 13 表示平均能卖 台,不是一定能卖 2 2

13 1 台,总之是期望理解错误;解答 2 中当获利的取值为 300x 时,概率也为 是错误的, 12 2

错误认为只有 x 台, 卖出比 x 大的台数不可能。 实际上获利的取值为 300x 时, 概率应为

13 ? x 。 12

[ 对症下药 ] 设月初进 x 台,则获利 η 是一个随机变量取值为 300- ( x-1 ) · 100 , 600(x-2) ·100,?300x,共 x 个值,它的分布列如下: η 300-(x-1) ·100 600-(x-2)· 100 ? 300x

5

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P ∴Eη =
1 12 1 12 13 ? x 12

1 13 ? x 50 (400-100x+800-100x+?+300x-400)+300x· = ? (x2 -19x).当 x=9 或 x=10 12 12 3

时,Eη 最大,即月平均收益最大。 ∴月初购进 9 台或 10 台电冰箱才能使月平均收益最大。 4. (典型例题Ⅰ)一接等中心有 A、B、C、D 四部热线电话,已知某一时刻电话 A、B 占线的 概率为 0.5,电话 C、D 战线的概率为 0.4,各部电话是否占线相互之间没有影响,假设该时 刻有ξ 部电话占线,试求随机变量ξ 的概率分布和它的期望。 [考场错解] 由已知得,ξ 的取值为 0,1 ,2,3 ,4。且 P (ξ =0)=0.5 ×0.6 =0.09,P(ξ =1)=0.52 ×0.62 +0.52 ×0.4×0.6=0.15,P( ξ =2)=0.52 ×0.62 +0.52 ×0.4×0.6+0.52 ×0.42 =0.23,P( ξ =4)=0.52 ×0.42 =0.04,P(ξ =3)1-0.09-0.15-0.23-0.04=0.49. Eξ =1×0.15+2×0.23+4×0.04+3×0.49=2.4 [专家把脉] P(ξ =1) ,P(ξ =2) ,P(ξ =3)的计算有错误。P(ξ =1)表示一部电话占线 的概率,它有两种情况: (1)A、B 当中有一部占线,C、D 都不占线; (2)A、B 都不占线, C、D 当中有一部占线,而对于(1) ,A、B 当中有一部占线应为两次独立重复试验发生一次 的概率,ξ (1)的概率应为 C 2 ×0.5 ×0.6 ; 1 2 1 2 2 1 2 同理 (2) 的概率应为 C 2 ×0.5 ×0.4×0.6. ∴P(ξ =1)=C +×0.5 ×0.6 +C 2 ×0.5 ×0.4×0.6=0.3. 同理可求 P(ξ =2) ,P(ξ =3) 。 [对症下药] 由题意知ξ 的取值为 0, 1, 2, 3, 4, 它们的概率分别是: (ξ =0 ) P =0.5 ×0.6 =0.09, P(ξ =1)=C1 2 ×0.52 ×0.62 +C1 2 ×0.52 ×0.4×0.6=0.3, P(ξ =2)=0.5 ×0.6 +C 2 C 2 ×0.5 ×0.4×0.6+0.5 ×0.4 =0.37, P(ξ =3)=C1 2 ×0.52 ×0.4×0.6+C12 ×0.52 ×0.42 =0.2, P(ξ =4)=0.52 ×0.42 =0.04。 ∴ξ 的概率分布如下: ξ P 0 0.09 1 0.3 2 0.37 3 0.2 4 0.04
2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2

∴Eξ =0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8. 5. (典型例题)某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点,一位客人浏览这三个景点的概率分别为 0.4,0.5,0.6,且客人是否浏览哪个景点互不影响, 设ξ 表示客人离开该城市时浏览的景点数 与没有浏览的景点数之差的绝对值。 (1)求ξ 的分布及数学期望; (2)记“函数 f(x)=x2 -3ξ x+1,在区间[2,+∞]上单调递增”为事件 A,求事件 A 的概率。 [ 考 场 错 解 ] ( 1 ) ξ 的 取 值 为 1 , 3 , ξ =3 表 示 客 人 浏 览 了 3 个 景 点 , ∴ P( ξ =3)=0.4×0.5×0.6=0.12. ∴P(ξ =1)=1-0.12=0.88,Eξ =0.36+0.88=1.24. [专家把脉] ξ =3 表示的事件应为两个互斥事件, 而错解中的ξ =3 表示一个事件, 所以错误, 这是很容易出现的错误,所以在做概率分布的题目时,特别应分析随机变量取某个值,对应 哪些事件。 [对症下药] (1)客人浏览的景点数的可能取值为 0,1,2,3,相应地,客人没有浏览的 景点数的可能取值为 3,2,1,0,所以ξ 的取值为 1,3.P(ξ =3)=0.4×0.5×0.6+0.6×

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0.5×0.4=0.24,P(ξ =1)=1-0.24, ∴Eξ =1×0.76+3×0.24=1.48. (2)当ξ =1 时,函数 f(x)=x2 -3x+1 在区间上单调递增;当ξ =2 时,函数 f(x)=x2 -9x+1 在区 间[2,+∞]上不单调递增。∵P(A)=P(ξ =1)=0.76。 考场思维训练 1.某商店搞促销活动规则如下:木箱内放有 5 枚白棋子和 5 枚黑棋子,顾客从中一次性任 意取出 5 枚棋子, 如果取出的 5 枚棋子中恰有 5 枚白棋子或 4 枚白棋子或 3 枚白棋子, 则有 奖品,奖励办法如下表: 取出的棋子 5 枚白棋子 4 枚白棋子 3 枚白棋子 如果取出的不是上述三种情况,则顾客需用 50 元购买商品。 (1)求获得价值 50 元的商品的概率;
5 答案:解: (1)依题意,基本事件总数为 C10 ,而取到 5 枚白棋子的可能只有一种.

奖品 价值 50 元的商品 价值 30 元的商品 价值 10 元的商品

∴获得价值 50 元的商品的概率为 (2)求获得奖品的概率;

1
5 C10

?

1 252.

答案:获得奖品有三种情况:①摸到 5 枚白棋子,概率为 棋子,概率为
4 1 C5 ? C5 5 C10

1 ;②摸到 4 枚白棋子、1 枚黑 252 .

?

25 C 3 ? C1 100 ; ③摸到 3 枚白棋子,2 枚黑棋子,概率为 5 5 5 ? , 由于互斥, 252 252 C10

所以获得奖品的概率为 P=

1 25 100 1 ? ? . + 252 . 252 252 2

(3)如果顾客所买商品成本价为 10 元,假设有 10000 人次参加这项促销活动,同商家可以 获得的利润大约是多少(精确到元) 。 答案:设商家在某顾客处获得的利润为随机变量ξ ,则ξ 的取值为:-50,-30,-10,40, 它们所对应的概率分别为 ξ P ∴Eξ =-52×
1 25 100 1 , , , .∴ξ 的分布列如下所示: 252 252 252 2

-50
1 252

-30
1 252

-10
100 252

40
1 2

1 1 100 1 90 +(-30)× +(-10)× +40× = . 252 252 252 2 7 90 ×10000=128571 元. 7

∴10000 人参加这项促销活动,则商家可以获得的利润大约为

2.A、B 两地之间有 6 条网线并联,它们能通过的信息量分别为:1,1,2,2,3, 3,现 从中任取三条网线,设可通过的信息量为 x,当可通过的信息量 x≥6 时,则保证信息畅通。 (1)求线路信息畅通的概率; 答案:解: (1)线路信息畅通包括三种情况,且它们彼此互斥:①x=6; ②x=7;③x=8.由已 知 P(x=6)=

7

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1 1 C1 2 ? C2 ? C 2 3 C6

?

2 C1 ? C1 1 C1 1 , p ( x ? 7) ? 2 3 2 ? , p ( x ? 8) ? 2 ? . ∴ 线 路 信 息 畅 通 的 概 率 3 5 5 10 C6 C6

P= ? ?

2 5

1 5

1 7 ? . 10 10

(2)求任取三条网线所通过信息量的数学期望。 答案:任取三条网线所通过的信息量 为随机变量 x,且 x 的取值为:4,5,6,7,8。它们 所对应的概率分别为 x P
C1 2
3 C6

?

1 2C1 2 2 1 1 , 32 ? , , , ,? x 的分布列如下: 10 C6 10 5 5 10

4
1 10

5
1 5

6
2 5

7
1 5

8
1 10

∴Ex=4×

1 1 2 1 1 +5× +6× +7× +8× =6. 10 5 5 5 10

∴任取三条网线所通过信息量的数学期望为 6。 3.袋中放 2 个白球和 3 个黑球,每次从中取一个球,直到取到白球为止,若每次取出的球 不再放回去,求取球次数ξ 的概率分布及数学期望。 答案:解:∵袋中放 2 个白球和 3 个黑球,每次从中取一球,直至取到白球为止,∴取球次 数ξ 的取值为 1,2,3,4,它们所对应的概率分别为 P(ξ =1)= ,P(ξ =2) ? P( ξ =3)= ? × ξ p
2 5
3 5 2 4 3 2 1 1 2 1 ? , P(? ? 4) ? = ? × ? 1 ? . 故ξ 的分布列为: 5 4 3 10 3 5

2 5

3 5

2 3 ? , 4 10

1
2 5 3 1 1 +3× +4× =2. 10 5 10

2
3 10

3
1 5

4
1 10

∴Eξ =1× +2× 专家会诊

离散型随机变量的分布列, 期望与方差是概率统计的重点内容, 对离散型随机变量及分布列, 期望与方差的概念的关键。求离散型随机变量的分布列的步骤是: (1)根据问题实际找出随 机变量ξ 的所有可能值 xi ;(2)求出各个取值的概率 P(ξ =xi )=Pi ;(3)画表填入相应数字, 其中随机变量ξ 的取值很容易出现错误, 解题时应认真推敲, 对于概率通常利用所有概率之 和是否等于 1 来进行检验。 期望与方差的计算公式尤其是方差的计算公式较为复杂, 要在理 解的基础上进行记忆。 命题角度 3 统计 1. (典型例题)样本总体中有 100 个个体,随机编号为 0,1,2,?,99,依编号顺序平均 分成 10 个小组,组号依次为 1,2,3,?,10,现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样 本, 规定如果在第一组抽取的号码为 m 那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m+k 的个位数 字相同,若 m=6,则在第 7 组中抽取的号码是____________. [考场错解] 由于 m=6,k=7,∵m+k=13,它的个位数字是 3,∴在经 7 组中抽取的号码是 73。 或这样解答:由于第一组抽取的为 6 号,则第二组抽取的为 16 号,?第 7 组抽取的为 66

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号。 [专家把脉] 答案为 73 的错因是:第 7 组中个体的号码错误,第 7 组应为 61,62,?69。 答案为 66 的错因是:死套课本上介绍的方法不管问题实际。 [对症下药] ∵m=6,k=7,∴m+k=13,它的个位为 3,依题意第 7 组的号码为 61,62,?,69。 ∴第 7 组抽取的号码应为 63。 2. (典型例题)某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了 50 名学 生得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结果用图 13-1 所示 的条形图表示,根据条形图可得这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读 时间为 ( ) A.0.6 B.0.9 C.1.0 D.1.5 [考场错解] 由图可以盾出用时间为 0.5 的人数最多,∴选 A。 [专家把脉] 对条形图理解错误,实际上条形图应是一个离散型随机变量的期望的问题。 [对症下药] 设每人阅读的时间为ξ ,则ξ =0,0.5,1.0,1.5,2.0.且 P (ξ =0)= =0.5 ) = =0×
2 ,P( ξ 5 1 ,P(ξ 10

=1.0)=

1 5

,P( ξ

=1.5)=

1 5

,P( ξ

=2.0)=

1 10

.

∴ E ξ

5 20 10 10 5 ? 0.5 ? ? 1.0 ? ? 1.5 ? ? 2.0 ? ? 0.9 . 50 50 50 50 50

∴这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 0.9 小时。∴选 B。 3. (典型例题)若随机变量ξ 、η 都服从正态分布,并且 ξ ~N(3,2) ,η = 变量η 的期望是_________。 [考场错解] ∵ξ ~N(3,2) ,∴μ =3,σ 2 =2,σ = 2 , ∴Eξ =μ =3,又η =
? ?3
2

? ?3
2

,则随机

,∴Eη =(

? ?3
2

)=

1 2

(Eξ -3)=0。

∴η 的期望为 0。 4. (典型例题)设随机变量服从正态分布 N(0,1) ,记φ (x)=P(ξ <x),则下列结论不正 确的是 (
1 2



A.φ (0) ?

B.φ (x)=1-φ (-x) C.P(|ξ |<a)=2φ (a)-1(a>0) D.P(|ξ |>a)=1-φ (a)(a>0) [考场错解] 由于φ (a)可能小于 ,即 2φ (a)-1 可能小于 0,∴选 C。 [专家把脉] 对正态分布不熟悉导致错误,实际上φ (a)>φ (0)= . [对症下药] 由玤态函数的图像知;φ (0)= ,φ (x)=1-φ (-x),P(|ξ |<a)=P(-a<ξ <a)=
1 2 1 2 1 2

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φ (a)- φ (-a)=2φ (a)-1,而 P(| ξ |>a)=P( ξ >a)+P(ξ <-a)=1-φ (a)+ φ (-a)=1-2φ (a). ∴不正确的为 D。∴选 D。 考场思维训练 1 某厂生产的零件外径ξ ~N(10,0.04) ,今从该厂上午生产的零件中各取一件,测得外径 分别为 9.9cm,9.3cm,则可认为 ( ) A.上午生产情况正常,下午生产情况异常 B.上午生产情况异常,下午生产情况正常 C.上、下午生产情况均正常 D.上、下午生产情况均不正常 A 解析:由已知μ =10,σ =0.2,∴9.9∈(9.4,10.6) ,9.3? (9.4,10.6). ∴ 选 A. 2 设随机变量ξ ~N(μ ,σ ) ,且 P(ξ ≤c)=P(ξ >Ac),则 c 等于 A.0 B .6 C.-μ D. μ 答案: D 解析:由正态分布的知识知:C 应为正态函数的对称轴,∴C=μ ,选 D. 3 从某社区家庭中按分层抽样的方法,抽取 100 户高、中、低收入家庭调查社会购买力的某 项指标,若抽出的家庭中有 56 户中等收入户和 19 户低收入户,已知该社区高收入家庭有 125 户,则该社区家庭总户数为__________. 答案: 3.500 解析: ∵分层抽样是按比例抽取, 而高收入家庭有 125 户, 抽取了 100(56+19) =25 户,所以抽取的比例为 ,∴中等收入家庭有 280 户,低收入家庭有 95 户,∴该社区 家庭总户数为 280+95+125=500. 专家会诊 对抽样方法, 总体分布的估计, 正态分布及线性回归近几年高考要求都不高, 有的尚未考查, 但作为新的知识点,高考也不会完全放弃,所以平时学习应以基础知识为主,重点学习抽样 方法,正态分布的基础知识。抽样方法主要是概念的理解,正态分布主要是图像的性质。 探究开放题预测 预测角度 1 与比赛有关的概率问题 1.甲、乙两个围棋队各 5 名队员按事先排好的顺序进行擂台赛,双方 1 号队员选赛,负者 被淘汰, 然后负方的 2 号队员再与对方的获胜队员再赛, 负者又被淘汰, 一直这样进行下去, 直到有一方队员全被淘汰时,另一方获胜。假设每个队员实力相当,则甲方有 4 名队员被淘 汰且最后占胜乙方的概率是____________。 [解题思路] 假设第一个被淘汰的队员站在第一个位置,第二个被淘汰的队员站在第二个位 置,依此类推,最后获胜队员站在第十个位置,考虑双方队员的位置可得解。 [解答] 基本事件总数为:从 10 个位置中选 5 个位置给甲方队员,剩下 5 个给乙方队员,∴ 基本事件总数为 C 10 ,依题意甲方有 4 名队员被淘汰且最后战胜乙方就是说甲方前 4 个人应 排在前 8 个位置中的 4 个,原因是第 9 应是乙方的第 5 人,第 10 应是甲方的第 5 人,∴事 件包含的可能有 C4 8 ,且每种可能等可能性。∴所求事件的概率为
8 C4 10 C5
5 2

1 5

?

5 . 18

2.某种比赛的规则是 5 局 3 胜制,甲、乙两人在比赛中获胜的概率分别是 和 。

2 3

1 3

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(1)若有 3 局中乙以 2:1 领先,求乙获胜的概率; (2)若胜一局得 2 分,负一局得分,求甲得分ξ 的数学期望。 [解题思路] 乙获胜的可能有两种: (1)3:1,乙只需用胜第 4 场即可; (2)3:2,乙需第 4 场失败,第 5 场获胜,第(2)问先分析ξ 的取值,注意在计算各种情况的得分时要将正 分加上负分。 [解答] (1)依题意,前三局乙以 2:1 领先,∴乙获用的可能有两种: (1)乙在第 4 局获 胜,概率为 ; (2)乙在第 4 局失败,在第 5 局获胜,概率为 ? ? , 而这两种情况互斥, ∴乙获胜的概率为 ?
1 3 2 5 ? . 9 9 1 3 2 3 1 3 2 9

(2)将甲获胜的场数写在前面,则比赛结果有以下几种: (1 )0:3; (2)1 :3; (3 )2:3; (4)3:0; (5)3:1; (6)3:2。 (1)中ξ =-3, (2)中=-1, (3)中ξ =1, (4)中ξ =6, ) (5)中ξ =5, (6)中ξ =4 。∴ξ 的 取值为-3,-1,1,4,5,6。P(ξ =-3)= ( )3 ? P(ξ =-1)=C1 3· ( )2 ?
1 3 2 3 2 1 3 3 1 3 1 27

2 2 1 8 1 2 16 ,P(ξ =1)=C24·( )2 ? ( )3 ? , P(ξ =4)=C24·( ) 2 ? ( )3 ? , 3 3 81 27 3 3 81 2 8 8 ,P(ξ =6)= ( )3 ? . ∴ξ 的分布列如下所示: 3 27 27

P(ξ =5)=C13 ? ? ( )3 ? ξ P -3
1 27

-1
2 27

1
8 81

4
16 81

5
8 27

6
8 27

∴Eξ =-3×

1 2 8 16 8 8 +(-1)× +1× +4× +5× +6× 。 27 27 27 27 81 81

∴甲得分ξ 的数学期望为 预测角度 2

107 . 27

以概率与统计为背景的数列题 1.从原点出发的某质点 M,按向量 a=(0,1)移动的概率为 ,按向量 b=(0,2)移动的概 率为 ,设 M 到达点(0,n)的概率为 Pn ,求 Pn [解题思路] 引进数列{Pn },再根据题意,找到递推关系,再求 Pn ,注意 Pn 的实际意义,M 到达点(0,n)的概率为 Pn ,那么到达(0,n-1)的概率为 Pn-1 。 [解答] 依题意,M 到达点(0,n)有两种情形: (1)从点(0,n-1)按向量 a=(0,1)移动到 点(0,n) ,由于 M 到达点(0,n-1)的概率为 Pn-1 ,按 a=(0,1)移动的概率为 。∴这种情 形的概率为 Pn ?1 ; (2)从点(0,n-2)按向量 b=(0,2)移动到点(0,n) ,依(1)同样想 法,得这种情形的概率为 Pn ? 2 .
1 3 2 3

2 3

1 3

2 3

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2 3




1 3

1






1 3

2








2 3


2 3


2 3 1 3


7 9





Pn= Pn?1 ? Pn?2 (n ? 3).? Pn ? Pn?1 ? ? ( Pn?1 ? Pn?2 )(n ? 3),又易得P 1 ? ,P 2 ? ? ? ? . ∴{Pn -Pn-1 }是以 P2 -P1 = 为首项,- 为公比的等比数列,于是 Pn -Pn-1 = · (- ) =(- ) (n ≥2). ∴
1 9 1 3 1 9 1 3
n-2

1 3

n

Pn =P1 +(P2 -P1 )+(P3 -P2 )+

?

2 1 1 1 2 +(Pn -Pn-1 )= ? (? ) 2 ? (? )3 ? ? ? (? )n ? ? 3 3 3 3 3

1 1 (? ) 2 [1 ? (? ) n ?1 ] 2 1 1 3 1 1 3 3 ? ? [1 ? (? ) n ?1 ] ? ? ? (? ) n . 1 3 12 3 4 4 3 1 ? (? ) 3

∴质点能达(0,n)的概率为 ? (? )n . 2.一个口袋中放有若干个球,每一球上标有 1 至 n 中某一个整数,设标有数 k 的球有 k 个, 现从中任取一球。ξ 为取的球上所标数字,求ξ 的期望与方差。 [解题思路] 先求ξ 的分布列,再利用数列求和的知识求 Eξ 和 Dξ 。 [解答] 依题意袋中共有球 1+2+?+n= =
n(n ? 1) 个。由于标有数字 k 的球有 k 个,∴P(ξ =k) 2

3 4

1 4

1 3

k 2k ? , ∴ξ 的分布列如下所示 n(n ? 1) n(n ? 1) 2

ξ P
1?

1
2 n(n ? 1)

2
4 n(n ? 1)

? ?

k
2k n(n ? 1)

?

n

2 n?

2 4 2k 2 2n 2 ? 2? ??? ?? n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) 2 ? (12 ? 22 ? ? ? n 2 ) n(n ? 1) 2 n(n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 ? ? ? . n ( n ? 1 ) 6 3 ∴Eξ = 2k 2n k2 ? ? ? ? n2 ? n(n ? 1) n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 3 3 ? (1 ? 2 ? ? ? n3 ) ? . n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2n ? 1 2 1 2 ? D? ? E? 2 ? ( E? ) 2 ? ?( ) ? (n ? n ? 2). 2 3 18

预测角度 3 利用期望与方差解决实际问题 1.四位母亲带领自己的孩子参加电视台“我爱妈妈”综艺节目,其中有一环节,先把四位 小孩的眼睛蒙上,然后四位母亲分开站,而且站眘不许动、不许出声,最后让蒙上眼睛的小 朋友找自己的妈妈,一位母亲的身边只许站一位小朋友,站对一对后亮起两盏红灯,站错不 亮灯,求所亮灯数的期望值。

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[解题思路] 先求灯数的分布列,再求期望。 [解答]设所亮灯数为ξ ,则ξ 的取值为 0,2,4,8,且 P(ξ =0)= P(ξ =2)= P(ξ =4)= P(ξ =8)=
1 C1 4C 2 4 A4 4 C2 4 A4 1 1 C3 C3 4 A4

?

3 , 8

?
1 , 4

1 , 3

?

1
4 A4

?

1 . 24

∴亮灯数ξ 的分布列如下: ξ P
0? 3 1 1 1 ? 2? ? 4? ? 8? ? 2. 8 3 4 24

0
3 8

2
1 3

4
1 4

8
1 24

∴Eξ =

(注意:ξ 不可能等于 6,因为有 3 人站对后,第 4 人一定站对) 。 2.某商场根据天气预报来决定节目节日在商场内还有在商场外开展促销活动,统计资料表 明, 每一年五一节商场内的促销活动可获得经济效益 2.5 万元, 商场外的促销活动如果不遇 害到有雨天可获得经济效益 12 万元,如果促销活动遇到雨天则带来经济损失 5 万元,4 月 30 日气象台报五一节当地有雨的概率是 40%,问商场应该采用哪种促销方式? [解题思路] 计算出商场外的促销活动可获得经济效益的期望值, 将这个值与 2.5 万元比较。 [解答] 设五一节商场外促销收益为ξ (万元) ,则依题意,ξ 的分布列如下: ξ P 12 0.6 -5 0. 4

∴Eξ =12×0.6+(-0.4×5)=5.2 万元,又 5.2>2.5, ∴商场应采用在商场外的促销活动。 考点高分解题综合训练 1 一个盒子里装有相同大小的黑球 10 个,红球 12 个,白球 4 个,从中任取两个,其中白 球的个数记为ξ ,则下列算式中等于 A.P(0<ξ ≤2) C.Eξ B.P(ξ ≤1) D.Dξ
2 C22 2 C26 1 2 C1 22C4 ? C22 2 C26

的是





B 解析: P( ξ ≤1) =P(ξ =0)+P( ξ =1)=

?

1 C1 22C4 2 C26

?

1 2 C1 22C4 ? C22 2 C26

. ∴选 B.

2 袋中有红、黄、绿色球各 1 个,每次任取一球,又放回地抽取三次,球颜色全不相同的 概率是
1 27 2 C. 9 A.




1 9 2 D. 27 B.

3 答案: C 解析:基本事件总数为 33 =27,而球颜色全不相同的可能有 A3 种,∴所求概率为

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3 A3

3

3

?

2 ,? 选C. 9

3 在独立重复的射击试验中,某射手击中目标的概率为 0.4,则他在射击时击中目标所需 要的射击次数的数学期望,方差分别为 A.2.5,4 B.2.5,3.75 ( )

C.0.24,3.75 D.25,37.5 答案:B 解析: 依题意他射击中目标所需要的射击次数服从几何分布, P=0.4,q=1-P=0.6, ∴ Eξ =
1 1 q ? ? 2.5, D? ? 2 ? 3.75,? 选B P 0.4 p

4 袋中有红球 3 个,白球 3 个,任抽取一球确认颜色后放入袋中,最多可以取 3 次,但是 取到红球后就不能再取了, 若每取一次可以得到 10 元, 那么可得金额的期望值为 ( A.30 元 B.20 元 )

C.17.5 元 D.13.75 元 答 案 : C 解 析 : 依 题 意 摸 球 次 数 ξ 的 取 值 为 1 , 2 , 3 , 且 P ( ξ =1 ) =
70 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 ? ? , P(? ? 3) ? 1 ? ? ? ,? E? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? ,? 可 得金额的期望 值为 =17.5 4 2 2 4 2 4 4 2 4 4 4

元. 5 若ξ ~N(2,σ 2 ) ,且 P(2<ξ <4)=0.4,则 P(ξ <0)的值为___________. 答案:0.1 解析:由正态分布的密度函数图像的意义及其对称性知 P (ξ <0)=P(ξ >4)=
1 1 1 [1-P(0<ξ <4)]= [1-2P(2<ξ <4)]= (1-2×0.4)=0.1, 2 2 2

∴填 0.1 6 甲、乙二人各拿两骰子做抛掷游戏,规则如下:若掷出的点数之和为 3 的倍数,该掷骰 子的人再继续掷;若掷出的点数之和不是 3 的倍数时,就由对方接着掷,第一次由 A 掷,若第 n 次由 A 掷的概率为 Pn ,则 Pn =__________. 答案:
1 1 1 + ×(- )n-1 解析:第 n 次由 A 掷的概率为 P,则第 n 次由 B 搓的概率为 1-Pn 2 2 3

则第 n+1 次由 A 掷的可能有两种: (1)第 n 次由 A 掷,掷出的点数和为 3 倍数, 第 n+1 次由 A 掷,概率为 Pn ; (2)第 n 次 B 掷,掷出的点数和不为 3 的倍数,第 n+1 次由 A 掷,概率 为
1
2 3
1 3



1-Pn



,

























Pn+1 = 3

Pn ?

2 1 2 1 1 1 1 1 n ?1 (1 ? Pn ) ? ? Pn ? ,? Pn ? ? ? ( Pn ? ),? Pn ? ( P , 又P 1 ? ) ? (? ) 1 ?1 3 3 3 2 3 2 2 3

∴Pn= ? ? (? )n?1. 7 某电路图如图 13-2 所示,在某段时间内,开关 A、B、C、 D 能合(接通)的概率为 P, 且互不影响,计算这段时间内电灯不亮的概率。 答案:解析:先求电灯亮的概率,电灯亮包括以下几种情形:

1 2

1 2

1 3

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(1)AD BC ; (2)ABC 互 (3)ABCD.(其中 D 表示 D 能合, D 表示 D 不能合)。且三种情形 D; 斥
2



P(AD BC )=P(A)·P(D)·[1-P(B)P(C)]=P·P(1-P )P(ABC D )=P(A)·P(B)·P(C)·(1-P(D))=P·P 4 ·P(1-P),P(ABCD)=P , ∴灯亮的概率为 P +P -P 。 ∴灯不亮的概率为 1-P2 +P4 -P3 8 美国 DBA 总决赛采用七局四胜制,预计 2006 年比赛,两队实力相当,且每场比赛组织者 可获得 200 万美元,问: (1)组织者在本次比赛中获得 800 万美元的概率是多少? 答案:依题意,组织者在本次比赛中获利 800 万美元,则比赛结果应是某队以 4:0 获胜。 其概率为 P=2× ( )4 ? . (2)组织者在本次比赛中获利不低于 1200 万美元的概率是多少 答案:组织者在本次比赛中获利不低于 1200 万美元,则至少打 6 场,分两种情况: (1)只
2 打 6 场,则比赛结果应是某队以 4:2 获得胜利,其概率为 P1 =0· C5 · ( )5 ? ?
3 7 则比赛结果应是某队以 4:3 获得胜利,其概率为 P2 = C1 2C6 ? ( ) ?
2 3 4

1 2

1 8

1 2

1 2

5 ; (2)打7场 , 16

1 2

5 , 由于两种情况互斥,∴ 16

P=P1 +P2 = ,∴获利不低于 1200 万美元的概率为 . 9 已知方程 ax +2bx+c=0 的系数可以随机地取 1,2,3,4,5 中三个数字(不许重复) ,试 求方程有实数解的概率。
3 答案:解:由已知基本事件总数为 A5 =60,方程有实数解的充要条件是△=4b2 -4c2 ≥0,即 b2
2

5 8

5 8

≥ ac, ∵ ac ≥ 2, ∴ 2 ≤ b ≤ 5. 当 b ≥ 4 时, ac ≤ 3×5=15,b2 ≥ ac 总成立,这样的选法有
2 2 C1 1,3或1,4中取值 , 这样的选法有 2 A2 ? 4种 ;当 b=3 时,a、c 在 1、2 或 1、 2 ? A4 ? 24种;当b ? 2时, a, c在
2 4 或 1、 5 或 2、 4 中取值, 这样的行选法有 4 4 A2 ∴方程有实数解的可能有 24+4+8=36 ? 8 种,

种. ∴所求概率为
36 3 ? . 60 5

10 一个工人看管三台机床,在一小时内机床不需要工人照顾的概率第一台是 0.9,第二台 是 0.8,第三台是 0.85,求在一小时的过程中不需要工作照顾的台数ξ 的期望。 答案:解:依题意ξ 的取值为 0,1,2,3. P(ξ =0)=(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.85)=0.003, P(ξ =1)=0.9×(1-0.8)(1-0.85)+(1-0.9)×(1-0.8)×0.55+(1-0.9) ×(1-0.85)×0.8=0.056, P(ξ =2)=0.9×0.8×(1-0.85)+0.9×(1-0.8) ×0.85+(1-0.9)×0.8 ×0.85=0.329, P(ξ =3)=0.9×0.8×0.85=0.612 ∴Eξ =0×0.003+1×0.056+2×0.329+3×0.612=2.55(台).

15

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11 冰箱中放有甲、乙两种饮料各 5 瓶,每次饮用时从中任取一瓶,取用甲或乙种饮料的概 率相同 (1)求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下 3 瓶的概率; 答案: 由题意知, 甲种饮料已饮用 5 瓶, 乙种饮料已被饮用 2 瓶, 记 “次饮用的是甲种饮料”
5 为事件 A,则即求 7 次独立重复试验事件 A 发生 5 次的概率 P= C7 ? ( )7 ?

1 2

21 . 128

(2)求甲种饮料饮用瓶数比乙种饮料饮用数至少多 4 的概率。
5 ? ( ) 6 ? ( )5 ? ( ) 4 ? 答案:依题意,有三种情形:①甲 5 瓶,乙 1 瓶,概率为 C6

1 2

1 2

1 2

3 . 16

12

一块电路板上有 16 个焊点,其中有 2 个不合格的虚焊点,但不知道是哪两个,现要逐 个进行检查, 直到查出所有的虚焊点为止, 设ξ 是检查出两个虚焊点时已查焊点的个数。
k ?1 C1 2 ? Ck ?1 k A16

答案: 解: (1) 依题意, ξ 的取值为 2, 3?16, 且P (ξ =k) = ∴ξ 的分布列如下: ξ P
16

?

k ?1 (2 ? k ? 16, k ? N *), 120

2
1 120

3
2 120

? ?

k
k ?1 120

? ?

16
15 120

∴Eξ =

?
k ?2

k ?1 1 ?k ? 120 120

? (k
k ?2

16

2

? k) ?

34 . 3

由(1)得 P(ξ ≤8)= 13

1 2 7 28 7 ? ??? ? ? 120 120 120 120 30

A 有一只放有 x 个红球,y 个白球,z 个黄球的箱子(x,y,z≥0,x+y+z=6),B 有一只放 有 3 个红球,2 个白球,1 个黄球的箱子,两人各自从自己的臬子中任取一球,规定两 球同色时为 A 胜,异色时为 B 胜。



(1)用 x、y、z 表示 A 胜的概率; 案 : 解 : ( 1 ) A 、

B

















x 1 x y 1 y z 1 z ? ? ; A, B都取白球的概率为 ? ? ; A, B都取黄球的概率为 ? ? . ∴ A 6 2 12 6 3 18 6 6 36 x y z 1 ? ? ? (3x ? 2 y ? z ). 12 18 36 36

胜 的 概 率 为

(2)若又规定当 A 取红、白、黄而胜的得分分别为 1,2,3,负则得 0 分,求使 A 得到 最大值的 x、y、z 答案:13. (2)令ξ 表示 A 的分数,则ξ 的取值为 0,1,2,3,由(1)得ξ 的分布列如下: ξ P 于是 Eξ = 14
1?

0
3x ? 2 y ? z 36

1
3x 36

2
2b 36

3
z 36

1 2 (18+y), 又 0≤y≤6. 故当 y=6,x=z=0 时,Eξ 的最大值为 . 36 3

已知从某批材料中任取一件时,取得的材料的强度ξ ~N(200,182 ) (1)计算这件材料强度不低于 180 的概率;

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答案:解: (1)P(ξ ≥180)=1-P(ξ <180)=1-φ (
180 ? 200 ) ? 1 ? ? (?1,11) ? 08665; 18

(2)如果所用材料的强度不低于 150 的概率要求为 99%,问这些材料是否符合要求。
180 ? 200 ) =1-φ (-2.78)=0.9973 18

答案: P(ξ ≥150)=1-P(ξ <150)=-φ ( ∴这批材料符合要求.

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