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高中数学必修4期末试卷及答案


丽星高中 2012-2013 学年度(下)高一期末考试 数 学 试 卷

C. 向左平移

? 个单位 3
?
12 ) cos( x ?

D. 向右平移

? 个单位 3


6.函数 f ( x) ? sin( x ? A.2 ?

?
12

), 则f ( x) 的最小正周期是 (

一 、选择题(本大题共 12 小题,每小题5分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.
sin

B.

? 2

C. ?

D.4 ?

7.设 M 是□ABCD 的对角线的交点,O 为任意一点(且不与 M 重合) , 则 OA ? OB ? OC ? OD 等于 ( C.3 OM )

?

6 的值是(



A. 1 2

B. 3 2

C. - 1 2

D. - 3 2 ( )

A. OM

B.2 OM

D.4 OM w.w.w.k.s.

2.若点 P 在 ?

?
4

的终边上,且|OP|=2,则点 P 的坐标为

8. 若 e1 , e2 是 夹 角 60 °的两个单位向量,则 a ? 2e1 ? e2与b ? ?3e1 ? 2e2 的 夹 角 为 ( ) A.30° B.60° C.120° D.150°

A. 2 , 2 ) (

B. 2 ,? 2 ) C. ? 2 , 2 ) D. ? 2 ,? 2 ) ( ( ( )

3.已知 a=(2,3) b=(x,-6) , ,若 a 与 b 共线,则 x= ( A.4 B.3 C.-3 D.-4

9.下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是( ) A. e1 ? (0,0), e2 ? (1, ?2) ( ) C. e1 ? (3,5), e2 ? (6,10)
?? ?? ? ?? ?? ?

B. e1 ? (?1,2), e2 ? (5,7) D. e1 ? (2, ?3), e2 ? ( , ? ) O 点一定
?? ?? ? 1 2 3 4

??

?? ?

4.若 sin ? ? cos ? ? 0 ,则 ? 为 A.第一或第三象限角 C.第一或第四象限角 B.第二或第三象限角 D.第三或第四象限角 )

→ → → → → → 10.已知 O 是△ABC 内一点,且满足OA·OB=OB·OC= OC·OA,则 是△ABC 的 A.内心 ( ) B.外心 C.垂心 D.重心

2 5.要得到 y ? sin( x ? ? ) 的图像,需要将函数 y ? sin2 x 的图像( 2 3
2 A. 向左平移 ? 个单位 3 2 B. 向右平移 ? 个单位 3

? ? ?? 11.已知函数 y ? 2sin ? x 在 ? ? , ? 上单调递增,则正实数ω的取值范围是( ? 3 4?
? A. ? 0, ? 3? 2? ?



B. ?0, 2?

C. ?0, 1?

D.

? ? 0, ?

3? 4? ?

12.已知函数 f ( x) ? f (? ? x), 且当 x ? (?
b ? f (2), c ? f (3) ,则

? ?

, )时, f ( x) ? x ? sin x, 设a ? f (1), 2 2

( C.c<b<a D.a<b<c



A.c<a<b

B.b<c<a

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13. sin
25? 25? 25? ? cos ? tan( ? )? 6 3 4

. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m .

14.已知 | a |? 3, | b |? 4, 且a与b不共线, 若a ? kb与a ? kb互相垂直 则k = ,
3 15.已知 cos 2? ? , 则 sin 4 ? ? cos 4 ? = 5

? ? 18. 已知 a =(1,2), b =(-3,2),当 k 为可值时: ? ? ? ? ? ? ? ? (1)k a + b 与 a -3 b 垂直; (2)k a + b 与 a -3 b 平行,平行时它们是同向还是反向?

.

16.下面有四个命题:
2 ? (1)函数 y ? sin( x ? ) 是偶函数; 3 2

(2)函数 f ( x) ?| 2 cos2 x ? 1 | 的最小正周期是 ? ; (3)函数 f ( x) ? sin( x ?

?
4

)在[?

? ?

, ] 上是增函数; 2 2

(4)函数 f ( x) ? a sin x ? b cosx 的图象的一条对称轴为直线 x ? 其中正确命题的序号是 .

?
4

? ? ? ? 19. 已知向量 a , b 的夹角为 120 ? , 且 | a |? 2 , | b |? 1 ,

, 则a ? b ? 0 .

? ? (1) 求 a 在 b 上的投影;

三、解答题(本大题共 6 小题共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
1 5 , ? , ? ? (0, ? ) 17. 已知 tan? ? ? , cos ? ? 3 5

2 (2) 求 | 3a ? 2b | . 0 0 9 0 7 0 8

?

?

(1)求 sin ? 的值;

? (2)求 tan( ? ? ) 的值.

20.已知 A(3,0),B(0,3),C( cos ? ,sin ? ),

??? ??? ? ? (1)若 AC ? BC =—1,求 sin 2? 的值
??? ???? ? ??? ? ???? (2)若 OA ? OC ? 13 ,且 ? ? (0, ? ) ,求 OB 与 OC 的夹角。

22.已知函数 f ( x) ? 2sin 2 ( ? x) ? 3 cos 2 x ? 1, x ? R.
4

?

(1)求函数 f (x) 的最小正周期和单调增区间; (2)函数 f ( x) 的图像由函数 y ? sin x 的图像经过怎样的变换得到? (写出变换过程) (3)在 ?ABC 中,若 f (C) ? 3, 2sin B ? cos( A ? C) ? cos( A ? C) ,求 tan A 的值

21.观察下列各式:

答案 一.选择题 1-5 ABDAD 6-10 CDCBC 11-12AA 二、填空题 13.0 14. ?
3 4

3 sin245°+cos2 75°+sin45°cos75°= , 4 3 sin2 40°+cos2 70°+sin40°cos70°= , 4 3 sin210°+cos2 40°+sin10°cos40°= , 4
(Ⅰ)分析上述各式的共同特点,写出能反映一般规律的等式; (Ⅱ)并对(Ⅰ)的等式的正确性作出证明.

15.

17 25

16.①④

.17.解: (1)? cos ? ?

5 5

? ? (0, ? )
1 2 5 ? ??? 5分 5 5
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

? sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ?

2 5 sin ? ? 5 ?2 (2)? tan ? ? cos ? 5 5

2 0 0 9 0 7

1 ? ?2 t an ?t an ? ? …………10 分 ? t a n (? ? ) ? ? ? 3 ?1 2 1? t a n t a n ? ? 1? 3 ? ? ? ? 18.解: ka ? b ? (k ? 3,2k ? 2) , a ? 3b ? (10, ?4) ? ? ? ? (1) ka ? b ? a ? 3b ,则 ? k ? 3? ?10 ? ? 2k ? 2? ? (?4) ? 0 ,得 k ? 19 ? ? ? ? 1 (2) ka ? b // a ? 3b ,则 ? k ? 3? ? (?4) ? ? 2k ? 2? ?10 ? 0 ,得 k ? ? 3 1? ? ? ? 此时 ? a ? b 与 a ? 3b 反向 3 ? 19.(1)投影为 a cos ? =-1

= sin 2 ? ? (

3 1 3 1 cos? ? sin ? ) 2 ? sin ? ( cos? ? sin ? ) ……………9 分 2 2 2 2

3 1 3 3 1 = sin 2 ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? sin ? cos? ? cos? sin ? ? sin 2 ? 4 4 2 2 2
3 3 3 3 3 = cos2 ? ? sin 2 ? ? sin ? cos? ? cos? sin ? = …………12 分 4 4 4 2 2

22. (1) f ( x) ? 2sin 2 ( ? x) ? 3 cos 2 x ? 1
4

?

? = 2sin(2 x ? ) 3
(2)略 (3) 由 f (C) ? 3 可得 C ?

所以 T ? ? ,单增区间为[ k? ?

5? ? , k? ? ], k ? Z 12 12

? ? ? 2 ?2 ?? (2) | 3a ? 2b |2 ? 9a ? 4b ? 12a? ? 28 b
? ? | 3a ? 2b | =2 7

?
6



??? ? 20.(1) AC = (cos ? ? 3,sin ? ) ??? ? ??? ??? ? ? BC = (cos ? ,sin ? ? 3) , AC ? BC =—1 可得:
sin ? ? cos ? ? 2 5 ,平方化简得: sin 2? ? ? 3 9 1 1 3 ,所以 C = (cos ? ,sin ? ) ? ( , ) 2 2 2

2sin B ? cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) 即为: 2sin( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? cos( A ? C )

展开化简得: 2sin A cos C ? 2 cos A sin C ? 2sin A sin C 代入 C 角 化简得 tan A ? ?
3 ?1 。 2

(2)利用条件得 cos ? ?

??? ???? ? ??? ??? ? ? OB? OC 3 cos< OB, OC >= ??? ???? ? ? 2 OB OC

??? ??? ? ? 所以< OB, OC >= 30?

21.解: (1) sin 2 ? ? cos 2 (? ?

?
6

) ? sin ? cos( ? ?

?
6

)?

(2)证明:左边= sin 2 ? ? cos 2 (? ?

?
6

3 …………………6 分 4

) ? sin ? cos( ? ?

?

6

)


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