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立体几何高考题


2011 辽宁卷
8. 如图, 四棱锥 S—ABCD 的底面为正方形, SD⊥底面 ABCD, 则下列结论中不正确的是( )

A.AC⊥SB B.AB∥平面 SCD C.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 15.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3 ,它的三视图中的俯视图如右图 所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是________. 18.如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA=AB=

1 PD. 2

(1)证明:平面 PQC⊥平面 DCQ; (2)求二面角 Q-BP-C 的余弦值.

2012 辽宁卷 (16)已知正三棱锥 P-ABC,点 P,A,B,C 都在半径为√3 的球面上,若 PA,PB,PC 两两垂直, 则球心到截面 ABC 的距离为 (18)(本小题满分 12 分)
/ / / 如图,直三棱柱 ABC ? A B C , ?BAC ? 90 ,

AB ? AC ? ? AA/ , 点 M,N 分别为 A/ B 和 B / C / 的中点。
/ / (Ⅰ)证明: MN ∥平面 A ACC ; / (Ⅱ)若二面角 A ? MN ? C 为直二面角,求 ? 的值。

辽宁卷 2013 (10)已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB ? 3,AC ? 4,

AB ? AC , AA1 ? 12,则球O的半径为

A.

3 17 2

B. 2 10

C.

13 2

D. 3 10

18.(本小题满分 12 分)

如图, AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.
(I)求证: 平面PAC ? 平面PBC; (II) 若AB ? 2,AC ? 1,PA ? 1,求证:二面角C ? PB ? A的余弦值.

【2014 年辽宁卷(理 19)】(本小题满分 12 分) 如图, ?ABC 和 ?BCD 所在平面互相垂直,且 AB ? BC ? BD ? 2 ,

?ABC ? ?DBC ? 1200 ,E、F 分别为 AC、DC 的中点.
(1)求证: EF ? BC ; (2)求二面角 E ? BF ? C 的正弦值.

全国一新课标卷 2012
(11)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ ABC 是边长为 1 的正三角形, SC 为 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为 (A)

2 2 3 2 (B) (C) (D) 3 6 6 2

19)(本小题满分 12 分) 如图, 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AC ? BC ? (I) 证明: DC1 ? BC ;

1 AA1 , D 是棱 AA1 的中点,DC1 ? BD 。 2

(II)

求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小。

全国新课标一卷 2013
18.(本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°. (1)证明:AB⊥A1C; (2)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.

全国新课标一卷 2014
19. (本小题满分 12 分)如图三棱锥 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, AB ? B1C . (Ⅰ) 证明: AC ? AB1 ; (Ⅱ)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60o , AB=Bc,求二面角 A ? A 1B 1 ? C1 的余弦值.

全国新课标二卷 2012
4 已知正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 中 ,AB=2,CC1= 2 2 与平面 BED 的距离为 A 2 B E 为 CC1 的中点,则直线 AC1

3

C

2

D

1

(18)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PA⊥底面 ABCD,AC=2 2 ,PA=2,E 是 PC 上的一点,PE=2EC.

(Ⅰ)证明:PC⊥平面 BED; (Ⅱ)设二面角 A-PB-C 为 90°,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小。
18.(2013 课标全国Ⅱ,理 18)(本小题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别 是 AB,BB1 的中点,AA1=AC=CB=

2 AB . 2

(1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)求二面角 D-A1C-E 的正弦值.

全国新课标二卷 2014 11.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∠BCA=90°, M, N 分别是 A1B1, A1C1 的中点, BC=CA=CC1, 则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( ) A. 1 B. 2 C.

10

5

30 10

D.

2 2

18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1,AD= 3 ,求三棱锥 E-ACD 的体积.

全国大纲一卷2012、 4. 已知正四棱柱

ABCD ? A1B1C1D1 中,AB ? 2, CC1 ? 2 2, E 为 CC1 的中点, AC1 则直线

与平面 BED 的距离为 A.2 B.

3

C. 2

D.1

16.三棱柱 面直线

ABC ? A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等, ?BAA1 ? ?CAA1 ? 60? ,则异 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为


18.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, PA ? 底面 ABCD ,
P

AC ? 2 2 , PA ? 2, E 是 PC 上的一点, PE ? 2 EC 。
(1)证明: PC ? 平面 BED ; (2) 设二面角 A ? PB ? C 为 90 ? , 求 PD 与平面 PBC 所 成角的大小。
B C E A D

全国大纲一卷 2013 10.(2013 大纲全国,理 10)已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于( ). A.

2 3

B.

3 3

C.

2 3

D.

1 3

19.(2013 大纲全国,理 19)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90° ,BC=2AD,△PAB 和△PAD 都是等边 三角形.

(1)证明:PB⊥CD; (2)求二面角 A-PD-C 的大小. 全国大纲卷 2014

4.已知正四面体 ABCD 中,E 是 AB 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为(



A.

1 6

B.

3 6

C.

1 3

D.

3 3

10.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的表面积为 ( A. )

81? 4

B. 16?

C. 9?

D.

27? 4


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