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2016年普通高等学校招生全国统一考试2卷


2016 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

1.已知 z ? (m ? 3) ? (m ?1)i 在复平面内对应的点在第四象限, 则实数 m 的取值范围是
, (B) (?1, ? 3) 3) (C) (1, +?) (D) (-?, (A) (?31)

2.已知集合 A ? {1, 2,3} , B ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0, x ? Z} ,则 A ? B ?
1, 2, 3} (D) {?1, 0, 1, 2, 3} 2} (C) {0, (A) {1} (B) {1,

3.已知向量 a ? (1, m),b =(3, ?2) ,且 (a + b ) ? b ,则 m= (A)-8 (B)-6 (C)6 (D)8

2 2 4.圆 x ? y ? 2x ? 8 y ? 13 ? 0 的圆心到直线 ax ? y ?1 ? 0 的距离为 1,则

a=
4 (A) 3 ? 3 (B) 4 ?

(C) 3

(D)2

5.如图,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再一起 到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以 选择的最短路径条数为

(A)24 (B)18 (C)12 (D)9

6.右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表 面积为

(A)20π (B)24π (C)28π (D)32π π 7.若将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移12个单位长度, 则平移后图象的 对称轴为 kπ π kπ π kπ π (A) x= 2 –6 (k∈Z) (B) x= 2 +6 (k∈Z) (C) x= 2 –12 (k∈Z) (D) kπ π x= 2 +12 (k∈Z) 8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序 框图.执行该程序框图,若输入的 x=2,n=2,依次输入的 a 为 2,2, 5,则输出的 s=

(A)7 (B)12 (C)17 (D)34 π 3 9.若 cos(4–α)= 5,则 sin 2α= 7 1 1 7 (A)25 (B)5 (C)–5 (D)–25 10.从区间 ?0,1? 随机抽取 2n 个数 x1 , x2 ,…, xn , y1 , y2 ,…, yn ,构 成 n 个数对 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,…, ? xn , yn ? ,其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率 ? 的近似值为
4n (A) m 2n (B) m 4m (C) n 2m (D) n

11.已知 F1,F2 是双曲线 E

x2 y 2 ? ? 1 的左,右焦点,点 M 在 E 上,M a 2 b2
1 ,则 E 的离心率为 3

F1 与 x 轴垂直,sin ?MF2 F1 ?

(A) 2

(B)

3 2

(C) 3

(D)2
x ?1 与 y ? f ( x) 图 x

12 已知函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (? x) ? 2 ? f ( x) , 若函数 y ?

像的交点为 ( x1, y1 ),( x2 , y2 ), ???,( xm , ym ), 则 ? ( xi ? yi ) ?
i ?1

m

(A)0

(B)m

(C)2m

(D)4m

二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分 13.△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 cos A= ,cos C=
5 ,a=1,则 b=. 13 4 5

14α、β 是两个平面,m、n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果 m⊥n,m⊥α,n∥β,那么 α⊥β. (2)如果 m⊥α,n∥α,那么 m⊥n. (3)如果 α∥β,m ? α,那么 m∥β. (4)如果 m∥n,α∥β,那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相 等. 其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号) 15 有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3。甲,乙,丙三人各 取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:―我与乙的卡片上相同的数字 不是 2‖, 乙看了丙的卡片后说: ―我与丙的卡片上相同的数字不是 1‖, 丙说:―我的卡片上的数字之和不是 5‖,则甲的卡片上的数字是。 16 若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线,也是曲线 y=ln(x+2)的切 线,则 b=。 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 12 分) 且 a1 ? 1,S7 ? 28 .记 bn = ?lg an ? , 其中 ? x ? 表 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, 示不超过 x 的最大整数,如 ?0.9? =0, ?lg99? =1 .

(I)求 b1,b11,b101 ; (II)求数列 ?bn ? 的前 1 000 项和. 18.(本题满分 12 分) 某险种的基本保费为 a(单位:元) ,继续购买该险种的投保人称为 续保人,续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下: 上年度 0 出险次 数 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 1 2 3 4
?5

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: 一年内 0 出险次 数 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05 1 2 3 4
?5

(I)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; (II)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费 高出 60%的概率; (III)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 19.(本小题满分 12 分) 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB=5,AC=6,点 E,F 分别在 AD,CD 上,AE=CF= ,EF 交 BD 于点 H.将△ DEF 沿 EF
5 4

折到△ D?EF 的位置, OD? ? 10 . (I)证明: D ?H ? 平面 ABCD; (II)求二面角 B ? D?A ? C 的正弦值.

20. (本小题满分 12 分)
x2 y 2 已知椭圆 E: ? ? 1 的焦点在 x 轴上, A 是 E 的左顶点, 斜率为 k(k>0) t 3

的直线交 E 于 A,M 两点,点 N 在 E 上,MA⊥NA. (I)当 t=4, AM ? AN 时,求△ AMN 的面积; (II)当 2 AM ? AN 时,求 k 的取值范围. 21(本小题满分 12 分) (I)讨论函数 f (x) ?
x?2 x e 的单调性,并证明当 x >0 时, ( x ? 2)e x ? x ? 2 ? 0; x?2

g x) = (II)证明: 当 a ?[0,1) 时, 函数 (

e x ? ax ? a ( x ? 0) 有最小值.设 g (x) x2

的最小值为 h(a) ,求函数 h(a) 的值域. 请考生在 22、 23、 24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 计分,做答时请写清题号 22(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在正方形 ABCD,E,G 分别在边 DA,DC 上(不与端点重合) ,

且 DE=DG,过 D 点作 DF⊥CE,垂足为 F. (I) 证明:B,C,G,F 四点共圆; (II)若 AB=1,E 为 DA 的中点,求四边形 BCGF 的面积.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中,圆 C 的方程为(x+6)2+y2=25. (I)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的 极坐标方程; (II)直线 l 的参数方程是
ì x = t cos α, ? ? í ? ? ? y = t sin α,

(t 为参数),l 与 C 交于 A、B 两

点,∣AB∣= 10 ,求 l 的斜率。 24(本小题满分 10 分) ,选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)= ∣x- ∣+∣x+ ∣,M 为不等式 f(x) <2 的解集. (I)求 M; (II)证明:当 a,b∈M 时,∣a+b∣<∣1+ab∣。
1 2 1 2


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