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世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(四十七) 8.5


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课时提升作业(四十七)
椭 圆 (25 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.已知椭圆与双曲线
x 2 y2 ? =1 的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离 4 12

之和为 10,那么椭圆的离心率等于( A.
3 5

) D.
3 4

B.

4 5

C.

5 4

【解析】 选 B.因为双曲线的焦点在 x 轴上,所以设椭圆的方程为

x 2 y2 ? =1(a>b>0), a 2 b2

因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 10,所以根据椭圆的定义可得 2a=10 ?a=5,则 c= 4 ? 12 =4,e= ? , 选 B. 2.(2015·烟台模拟)一个椭圆中心在原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,P(2, 3 )是椭圆 上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为( A.
x 2 y2 + =1 8 6
c a 4 5

)

B.

x 2 y2 + =1 16 6

x 2 y2 C. + =1 8 4

x 2 y2 D. + =1 16 4 x 2 y2 ? =1(a>b>0).由点 P(2, 3 )在椭圆上知 a 2 b2

【解析】选 A.设椭圆的标准方程为

4 3 ? =1. 又 |PF1|,|F1F2|,|PF2| 成等差数列 , 则 |PF1|+|PF2|=2|F1F2|, 即 2a=2 〓 a 2 b2 c 1 2c, ? , 又 c2=a2-b2,联立得 a2=8,b2=6. a 2
-1-

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【加固训练】 已知两圆 C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相内切,和圆 C2 相外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为( A. C.
x 2 y2 - =1 64 48 x 2 y2 - =1 48 64

)

B. D.

x 2 y2 + =1 48 64 x 2 y2 + =1 64 48

【解析】选 D.设圆 M 的半径为 r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16, 所以 M 的轨迹是以 C1,C2 为焦点的椭圆 ,且 2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为
x 2 y2 + =1. 64 48

3.设椭圆 C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上的点,PF2⊥F1F2, ∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为 ( A. B. C. ) D.

【 解 析 】 选 D. 在 Rt △ PF1F2 中 , 令 |PF2|=1, 因 为 ∠ PF1F2=30 ° , 所 以 |PF1|=2,|F1F2|= .所以 e= = = .故选 D.

x 2 y2 4.(2015·聊城模拟)椭圆 2 ? 2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是椭圆 a b

上的一点,l:x= ?

a2 ,且 PQ⊥l,垂足为 Q,若四边形 PQF1F2 为平行四边形,则椭圆的 c

离心率的取值范围是( A.( ,1)
1 2

) C.(0,
2 ) 2

B.(0, )

1 2

D.(

2 ,1) 2
a2 ,因为四边形 PQF1F2 为平行 c

【解析】 选 A.设点 P(x1,y1),由于 PQ⊥l,故|PQ|=x1+ 四边形,所以|PQ|=|F1F2|=2c,即 x1+

a2 a2 =2c,则有 x1=2c- >-a,所以 2c2+ac-a2>0, c c

-2-

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即 2e2+e-1>0,解得 e<-1 或 e> ,由于 0<e<1,所以 <e<1,即椭圆离心率的取值范 围是( ,1).故选 A. 【加固训练】(2015·金华模拟)已知椭圆 C:
x 2 y2 ? =1(a>b>0)的左右焦点分别为 a 2 b2
1 2

1 2

1 2

F1,F2,若椭圆 C 上恰有 8 个不同的点 P,使得△F1F2P 为直角三角形,则椭圆 C 的离 心率的取值范围是( A.(0, C.(
2 ) 2

) B.(0, D.[
2 ] 2

2 ,1) 2

2 ,1) 2

【解析】选 C.由题意,问题等价于椭圆上存在四个点 P 使得直线 PF1 与直线 PF2 垂直, 所以|OP|=c>b,即 c2>a2-c2, 所以 a< 2 c,因为 e= ,0<e<1, 所以
2 <e<1. 2
x 2 y2 ? =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点, 4 3
c a

5.若点 O 和点 F 分别为椭圆 则 A.2 · 的最大值为( B.3

) C.6 D.8

x 0 2 y0 2 ? 【解析】选 C.设椭圆上任意一点 P(x0,y0),则有 =1, 4 3

即 则

=3〃

3 4

,O(0,0),F(-1,0), =x0(x0+1)+ =
1 4

+x0+3= (x0+2)2+2. 〃 取得最大值为 6,故选 C.
-3-

1 4

因为|x0|≤2,所以当 x0=2 时,

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二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.设 F1,F2 分别是椭圆
x 2 y2 ? =1 的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是 F1P 的中 25 16

点,|OM|=3,则 P 点到椭圆左焦点的距离为 【解析】由题意知|OM|= |PF2|=3, 所以|PF2|=6,所以|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4. 答案:4 7.分别过椭圆
1 2

.

x 2 y2 ? =1(a>b>0)的左、右焦点 F1,F2 所作的两条互相垂直的直线 a 2 b2

l1,l2 的交点在此椭圆的内部,则此椭圆的离心率的取值范围是

.

【解题提示】关键是由 l1,l2 的交点在此椭圆的内部,得到 a,b,c 间的关系,进而 求得离心率 e 的取值范围. 【解析】由已知得交点 P 在以 F1F2 为直径的圆 x2+y2=c2 上. 又点 P 在椭圆内部,所以有 c2<b2, 又 b2=a2-c2,所以有 c2<a2-c2,
c2 1 c 2 即 2c <a ,亦即: 2 ? , 所以 0 ? ? . a 2 a 2
2 2

答案:(0,

2 ) 2
x 2 y2 ? =1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A,B 两 a 2 b2
4 5

8.已知椭圆 C:

点,连接 AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= ,则 C 的离心率为

.

【解题提示】 利用余弦定理确定|AF|,进而判定△ABF 的形状,然后利用椭圆定义 及直角三角形性质确定离心率. 【解析】如图,设|AF|=x,则 cos∠ABF=
82 ? 102 ? x 2 4 ? . 2 ? 8 ?10 5

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解得 x=6(负值舍去),所以∠AFB=90°,由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|=8, 且 ∠ FAF1= ∠ FAB+ ∠ FBA=90 ° , △ FAF1 是 直 角 三 角 形 , 所 以 |F1F|=10, 故 2a=8+6=14,2c=10,所以 ? . 答案:
5 7 c a 5 7

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.(2014 · 江 苏 高 考 ) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ,F1,F2 分 别 是 椭 圆
x 2 y2 ? =1(a>b>0)的左、 右焦点,顶点 B 的坐标为(0,b),连接 BF2 并延长交椭圆于 a 2 b2

点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C,连接 F1C.

(1)若点 C 的坐标为 ( , ) ,且|BF2|= 2 ,求椭圆的方程. (2)若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值. 【解析】(1)由题意 F2(c,0),B(0,b), |BF2|= b2 ? c2 ? a ? 2,
4 1 3 3 4 1 ( )2 ( )2 所以 3 ? 32 =1,解得 b=1, 2 b

4 1 3 3

又 C( , ),

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所以椭圆方程为

x2 2 +y =1. 2
x c y b

(2)直线 BF2 方程为 ? =1,与椭圆方程
2a 2c b3 解得 A 点坐标为 ( 2 2 , ? 2 2 ), a ?c a ?c

x 2 y2 ? =1 联立方程组, a 2 b2

则 C 点的坐标为 (

2a 2c b3 , ), a 2 ? c2 a 2 ? c2

又 F1(-c,0),

b3 2 2 b b3 a ? c = 2 ? 2 , 又 kAB=- ,由 F1C⊥AB, 3 c 2a c 3a c ? c ?c 2 2 a ?c

b b3 得 2 〃(- )=-1, 3 c 3a c ? c

即 b4=3a2c2+c4, 所以(a2-c2)2=3a2c2+c4, 化简得 e= ?
c a 5 . 5

x 2 y2 10.(2015· 台州模拟)已知椭圆 E: 2 ? 2 =1 的右焦点恰好是抛物线 C:y2=4x 的焦 a b

点 F,点 A 是椭圆 E 的右顶点,过点 A 的直线 l 交抛物线 C 于 M,N 两点,满足 OM⊥ ON,其中 O 是坐标原点. (1)求椭圆 E 的方程. (2)过椭圆 E 的左顶点 B 作 y 轴平行线 BQ,过点 N 作 x 轴平行线 NQ,直线 BQ 与 NQ 相交于点 Q,若△QMN 是以 MN 为一条腰的等腰三角形,求直线 MN 的方程. 【解析】(1)F(1,0),所以 a2-b2=1,A(a,0), 设直线 l:x=a+my 代入 y2=4x 中, 整理得 y2-4my-4a=0,
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设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 ? 又因为 =4x1, =4x2,

? y1 ? y2 ? 4m, ? y1y2 ? ?4a.

y12 y 2 2 所以 x1x2= =a2, 16

由 OM⊥ON,得



=x1x2+y1y2=a2-4a=0,

解得 a=4 或 a=0(舍),得 b2=15, 所以椭圆 E 的方程为
x 2 y2 ? =1. 16 15

(2)椭圆 E 的左顶点 B(-4,0),所以点 Q(-4,y2),易证 M,O,Q 三点共线. ①当 QM 为等腰△QMN 的底边时,由于 ON⊥OM, 所以 O 是线段 MQ 的中点,
? y12 ? 4 ? 0, 所以 ? ? 4 ? y ? y ? 0, ? 1 2

所以 m=0,即直线 MN 的方程为 x=4.
y1 2 y22 ②当 QN 为等腰△QMN 的底边时, 〓2= -4, 4 4

又因为 y1y2=-16,
2 ? y1 ? 2 2, ? y ? ?2 2, ? ? y1 ? 8, ? ? 或? 1 解得 ? 2 ? ? y2 ? 32, ? ? y2 ? ?4 2 ? ? y 2 ? 4 2, ?

所以 m=〒

2 , 2 2 y, 2

所以直线 MN 的方程为 x=4〒 即 y=〒 2 (x-4).

综上所述,当△QMN 为等腰三角形时,直线 MN 的方程为 x=4 或 y=〒 2 (x-4).
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(20 分钟 1.(5 分)已知椭圆

40 分)

x 2 y2 ? =1,若此椭圆上存在不同的两点 A,B 关于直线 y=4x+m 对 4 3

称,则实数 m 的取值范围是( A.( ? C.(2 13 2 2 , ) 13 13 2 2 13 , ) 13 13

)
2 13 2 13 , ) 13 13 2 3 2 3 , ) 13 13

B.(D.(-

【解析】选 B.设 A(x1,y1),B(x2,y2), AB 的中点 M(x,y),kAB= x1+x2=2x,y1+y2=2y,3 3 +4 =12 )+4( 1 y2 ? y1 =- , 4 x 2 ? x1

+4

=12

①, ②, )=0,

①②两式相减得 3(

即 y1+y2=3(x1+x2),即 y=3x,与 y=4x+m 联立得 x=-m,y=-3m, 而 M(x,y)在椭圆的内部, 则
m 2 9m 2 2 13 2 13 ? <1,即<m< . 4 3 13 13

【方法技巧】点差法解直线与椭圆相交问题的适用条件及技巧 对于直线与椭圆相交问题,若题设和待求涉及弦的中点和所在直线的斜率 ,求解 时一般先设交点坐标,代入曲线方程,再用平方差公式求解,这种解法大大减少 了将直线方程与椭圆方程联立求解带来的繁杂运算. 2.(5 分)(2015·泉州模拟)若函数 f(x)的图象能够把椭圆的周长和面积同时分 为相等的两部分 , 则函数 f(x) 称为椭圆的“可分函数” , 下列函数不是椭圆
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x2 +y2=1 的可分函数的是( 4

) B.f(x)=sin x

A.f(x)=x3 C.f(x)=ln
2?x 2?x

D.f(x)=ex+e-x-2

【解析】选 D.A 中,因为 f(x)=x3 是奇函数, 所以 f(x)=x3 的图象关于原点对称,故 f(x)=x3 是椭圆的“可分函数”; B 中,因为 f(x)=sin x 是奇函数,所以其图象关于原点对称. 所以 f(x)=sin x 是椭圆的“可分函数”; C 中,因为 f(x)+f(-x)=ln
2?x 2?x +ln =ln1=0, 2?x 2?x

所以 f(x)是奇函数,同理可知 f(x)是椭圆的“可分函数”; D 中,因为 f(x)=ex+e-x-2 不是奇函数, 所以 f(x)=ex+e-x-2 的图象关于原点不对称, 所以 f(x)=ex+e-x-2 不是椭圆的“可分函数”.
x 2 y2 【加固训练】 1.已知 F1,F2 分别是椭圆 ? =1 的左、 右焦点,A 是椭圆上一动点, 4 3

圆 C 与 F1A 的延长线、F1F2 的延长线以及线段 AF2 相切,若 M(t,0)为一个切点,则 ( A.t=2 C.t<2 B.t>2 D.t 与 2 的大小关系不确定 )

【解题提示】先画出图形,注意圆的切线的性质以及椭圆的定义即可求解. 【解析】选 A.如图,P,Q 分别是圆 C 与 F1A 的延长线、线段 AF2 相切的切点,

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则|MF2|=|F2Q|=2a-(|F1A|+|AQ|)=2a-|F1P|=2a-|F1M|, 即|F1M|+|MF2|=2a. 所以 t=a=2. 2.已知椭圆
x 2 y2 ? ? 1 (a>b>0),以 O 为圆心,短半轴长为半径作圆 O,过椭圆的长 a 2 b2

轴的一端点 P 作圆 O 的两条切线,切点为 A,B,若四边形 PAOB 为正方形,则椭圆的 离心率为( )

3 2 5 3 A. ???????????????B. ??????????????C. ??????????????D. 2 2 3 3

【解析】选 B. 由题意知 |OA|=|AP|=b,|OP|=a,OA ⊥ AP, 所以 2b2=a2, e= 1 ?
b2 2 ? , 故选 B. 2 a 2

b2 1 ? ,故 a2 2

3.(5 分)已知 F1,F2 是椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线与椭圆相交 于 A,B 两点,若 · AF2 =0,| |=| AF2 |,则椭圆的离心率为 .

【解析】在 Rt△ABF2 中,设|AF2|=m,则|AB|=m, |BF2|= m,所以 4a=(2+ )m.
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又在 Rt△AF1F2 中,|AF1|=2a-m= m,|F1F2|=2c, 所以(2c)2=( m)2+m2= m2,则 2c= m. 所以椭圆的离心率 e= = 答案: x 2 y2 ? =1(a>b>0)交于 A,B 两点,以线段 AB a 2 b2

=

-

.

【加固训练】直线 y=- 3 x 与椭圆 C:

为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点,则椭圆 C 的离心率为( A.
3 2

)

B.

3 ?1 2

C. 3 -1

D.4-2 3

【解析】选 C.设椭圆的左、右焦点分别为 F1,F2,由题意可得 |OF2|=|OA|=|OB|=|OF1|=c,由 y=- 3 x 得∠AOF2= |AF2|= 3 c,|AF1|=c. 由椭圆定义知,|AF1|+|AF2|=2a, 所以 c+ 3 c=2a, 所以 e= = 3 -1. 4.(12 分)(2015·兰州模拟)已知椭圆 C: (1,
x 2 y2 ? =1(a>b>0)的焦距为 2,且过点 a 2 b2
c a 2? ? ,∠AOF1= .所以 3 3

1 2 ),右焦点为 F2,设 A,B 是 C 上的两个动点,线段 AB 的中点 M 的横坐标为- , 2 2

线段 AB 的中垂线交椭圆 C 于 P,Q 两点.

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(1)求椭圆 C 的方程. (2)求 · 的取值范围.

【解析】(1)因为焦距为 2,所以 a2-b2=1. 因为椭圆 C 过点(1,
x2 +y2=1. 2
1 1 2 ),所以 2 ? 2 =1,故 a2=2,b2=1,所以椭圆 C 的方程为 a 2b 2

(2)讨论当直线 AB 垂直于 x 轴,直线 AB 方程为 x=- ,此时 P(- 2 ,0),Q( 2 ,0), 得 〃 =-1.
1 ,m)(m ≠ 2

1 2

当直线 AB 不垂直于 x 轴时 , 设直线 AB 的斜率为 k(k ≠ 0),M(0),A(x1,y1),B(x2,y2),利用“点差法”,首先得到 4mk=1; 得到 PQ 的直线方程为 y-m=-4m(x+ ), 即 y=-4mx-m.
? y ? ?4mx ? m, 联立 ? 消去 y,整理得(32m2+1)x2+16m2x+2m2-2=0. ? x2 2 ? ? y ? 1, ?2
1 2

设 P(x3,y3),Q(x4,y4),应用根与系数的关系,得到
1 2 7 8



=

19m 2 ? 1 . 32m 2 ? 1

根据 M(- ,m)在椭圆的内部,得到 0<m2< ,进一步得到
[?1, 125 ). 232



的取值范围为

5.(13 分)(能力挑战题)已知焦点在 y 轴上的椭圆 C1: + =1 经过点 A(1,0),且 离心率为 . (1)求椭圆 C1 的方程. (2)抛物线 C2:y=x2+h(x∈R)在点 P 处的切线与椭圆 C1 交于两点 M,N,记线段 MN 与
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PA 的中点分别为 G,H,当 GH 与 y 轴平行时,求 h 的最小值.
?1 1, ? b2 = ? c 3 【解析】(1)由题意可得 ? ? = , 2 ?a 2 ?a =b 2 ? c2, ? ?

解得 a=2,b=1,所以椭圆 C1 的方程为 +x2=1. (2)设 P(t,t2+h),由 y′=2x, 得抛物线 C2 在点 P 处的切线斜率为 k=y′|x=t=2t, 所以 MN 的方程为 y=2tx-t2+h, 代入椭圆方程得 4x2+(2tx-t2+h)2-4=0, 化简得 4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0, 又 MN 与椭圆 C1 有两个交点, 故Δ=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0,① 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 中点的横坐标为 x0, 则 x0= = , ,

设线段 PA 中点的横坐标为 x3= 由已知得 x0=x3,即 = ,②

显然 t≠0,所以 h=-(t+ +1),③ 当 t>0 时,t+ ≥2,当且仅当 t=1 时取等号,此时 h≤-3,不满足①式,故舍去; 当 t<0 时,(-t)+(- )≥2,当且仅当 t=-1 时取等号,此时 h≥1,满足①式. 综上,h 的最小值为 1. 【加固训练】(2014·南宁模拟)设椭圆 C:
x 2 y2 2 ? 2 =1(a>b>0)的离心率 e= ,点 2 a b 2

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A 是椭圆上的一点,且点 A 到椭圆 C 两焦点的距离之和为 4. (1)求椭圆 C 的方程. (2)椭圆 C 上一动点 P(x0,y0)关于直线 y=2x 的对称点为 P1(x1,y1),求 3x1-4y1 的取 值范围. 【解析】(1)依题意知,2a=4,所以 a=2. 因为 e ? ?
c a 2 , 所以 c= 2 ,b= a 2 ? c2 ? 2. 2
x 2 y2 ? =1. 4 2

所以所求椭圆 C 的方程为

(2)因为点 P(x0,y0)关于直线 y=2x 的对称点为
? y0 ? y1 ? 2 ? ?1, ? ? x 0 ? x1 P1(x1,y1),所以 ? ? y0 ? y1 ? 2 ? x 0 ? x1 . ? ? 2 2

解得 x1 ?

4y0 ? 3x 0 3y ? 4x 0 , y1 ? 0 . 5 5

所以 3x1-4y1=-5x0.
x 2 y2 因为点 P(x0,y0)在椭圆 C: ? =1 上, 4 2

所以-2≤x0≤2,则-10≤-5x0≤10. 所以 3x1-4y1 的取值范围为[-10,10].

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