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2016年10月月考试高二数学


2016-2017 学年第一学期十月月考试题

高二数学(文理同卷)
一、选择题:(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题,只有一项是符合题目要求的.) 1、在 ?ABC 中,周长为 7.5cm ,且 sin A : sin B : sin C ? 4 : 5 : 6 ,下列结论: ①a :b:c ? 4:5:6 ③ a ? 2cm, b ? 2.5cm, c ? 3cm 其中成立的个数是( A.0 个 B.1 个 ) C.2 个 D.3 个 )
o

②a:b:c ? 2: 5 : 6 ④ A: B :C ? 4:5:6

2、 ?ABC 中, a ? 1, b ? 3, A ? 30 ? ,则 B = ( A、 60
o

B、 60 或 120

o

o

C、 30 或 150

o

D、 120

o

3、在三角形 ABC 中,如果 ? a ? b ? c ??b ? c ? a ? ? bc ,那么 A 等于 A. 30 0 B. 60 0 C. 1200 D. 1500

4、 ?ABC 的两边长分别为 2,3,其夹角的余弦值为

1 ,则其外接圆的直径为( 3



A. 9 2

B.

9 2 2

C.

9 2 8

D.

9 2 4

5、 在△ABC 中的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b ? 2c cos A, c ? 2b cos A, 则△ABC 的形状为( ) A.等边三角形

B.锐角三角形

C.直角三角形 )

D.等腰直角三角形

6、已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? ? ? a11 ? 0 ,则有( A. a3 ? a9 ? 0 B. a2 ? a10 ? 0

C. a1 ? a11 ? 0

D. a6 ? 6 )

7、已知 {an } 是等差数列, a1 ? a2 ? 4 , a7 ? a8 ? 28 ,则该数列前 10 项和 S10 等于( A.64 B.100 C.110 D.120 )

8、等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 2, S4 ? 10 ,则 S6 等于( A.12 B.18 C.24 D.42

9、在等比数列 {an } 中,公比 q 是整数, a1 ? a4 ? 18 , a2 ? a3 ? 12 ,则此数列的前 8 项 和为( ) 附: a ? b ? (a ? b)(a ? ab ? b )
3 3 2 2

A、514

B、513

C、512

D、510 )

10、各项均为正数的等比数列 {an } 中, a4 a16 ? 25 ,则 a9 与 a11 的等比中项是( A、25 B、5 C、 ? 5 D、 ?25

11、数列 ?an ? 的首项 3, ?bn ? 为等差数列且 bn ? an?1 ? an (n ? N ? ) ,若 b3 ? ?2, b10 ? 12 , 则 a9 ? ( ) A.0 B.3 C.9 D.11 )

12、数列 {an } 中,已知 a1 ? 1 , an ? 2n an?1 (n≥2) ,则数列 {an } 的通项公式为( A、 2
(n+2)(n-1) 2

B、 2

n(n+1) 2

C、 2

n(n+2) 2

D、 2

(n+1)(n-1) 2

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13、在 ?ABC 中, B ? 45 ? , C ? 60 ? , c ? 6 ,则最短边的长为 14、已知数列 1, a1 , a2 , 4 成等差数列, 1, b1 , b2 , b3 , 4 成等比数列,则

a1 ? a2 的值为 b2


15、已知等差数列 {an } 的公差为 1,若 a1 , a3 , a4 成等比数列, 则 a5 ?

16、在等差数列 {an } 中, a1 ? 0 , Sn 为其前 n 项和,且 S3 ? S16 ,则 Sn 取最小值时的 n 值 为 三、解答题(六个小题,共 70 分) 17、 (本小题 10 分) 在单调递减的等差数列 ?an ? 中, a1 ? 10 ,且 a1 , 2a2 ? 2,5a3 成等比数列. (1)求公差 d , 及通项公式 an ; (2)求 20

s

18、 (本小题 10 分) 根据下列已知条件,求数列 ?an ? 的通项公式 (1)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2n ? 3 ; (2)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ?

n an (n ? N * ) n ?1

19、 (本小题 12 分) 在 ?ABC 中, c ? 10 ,且

cos A b 4 ? ? , 求边 a , b 的长。 cos B a 3

20、 (本小题 12 分) 已知公差大于零的等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a1a6 ? 21, S6 ? 66 。 求数列 ?an ? 的通项公式 an 。

21、 (本小题 13 分)

?ABC 的 三 个 内 角 A, B, C 对 边 分 别 是 a, b, c , 且 c ?
tan A ? tan B ? 3 tan A tan B ? 3, ,又 ?ABC 的面积为 S ?ABC ?
求: (1)角 C ; (2) a ? b 的值。

7 2



3 3 。 2

22、 (本小题 13 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 2n 。 (1)设 bn ?

an ,证明 ?bn ? 是等差数列; 2 n ?1

(2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 。

2016-2017 学年第一学期十月月考试题

高二数学答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) C B C D A; A B C D C; D A 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13、 2 14、

5 2

15、 0

16、

9 或 10

三、解答题(6 小题,共 70 分) 17、 (本小题 10 分) 解: (1)设该等差数列 ?an ? 的公差为 d , 则∵ a1 ? 10 ∴ an ? 10 ? (n ?1)d , a2 ? 10 ? d , a3 ? 10 ? 2d ∵ a1 , 2a2 ? 2,5a3 成等比数列 ∴ (2a2 ? 2)2 ? 5a1a3 即: 4(11 ? d ) ? 50(10 ? 2d )
2

解之得: d ? 4 或 d ? ?1 ∵数列 ?an ? 为单调递减的等差数列 ∴ d ? 0, d ? ?1

………………………4 分

………………………6 分

∴ 数列 ?an ? 的通项公式为: an ? 10 ? (n ?1) ? 11 ? n 。 ………………………8 分 (2)由(1)知: an ? 11 ? n ∴ s20 ? ∴ a20 ? ?9

20(a1 ? a20 ) ? 10(10 ? 9) ? 10 2 20 ?19 ? 10 2

………………………10 分

另解:由(1)知: a1 ? 10 , d ? ?1 ∴ s20 ? 20 ? 10 ? 18、 (本小题 10 分) 解: (1)由 n

s ? 2n ? 3
? 2 时, an ? sn ? sn?1

得:当 n

? (2n ? 3) ? (2n?1 ? 3)

? 2n?1
又∵当 n

? 1 时, a1 ? s1 ? 5 不满足 an ? 2n?1
?5 n ?1 ?2 (n ? 1) ………………………… 5 分 (n ? 2)

∴ 数列 ?an ? 的通项公式为: an ? ? (2)由 an ?1 ? 得:

n an (n ? N * ) n ?1

an?1 n ? (n ? N * ) an n ?1 a2 1 ? a1 2 a3 2 ? a2 3 an 1 ? a1 n a4 3 ? a3 4
……



an n ?1 ? an?1 n

∴以上各式相乘得:

∵ a1 ? 1 ∴ an ?

1 n

又∵当 n

? 1 时, a1 ? 1 满足 an ? 1
1 n

n
………………………… 5 分

∴数列 ?an ? 的通项公式为: an ? 19、 (本小题 12 分)

cos A b cos A sin B ? 得: ? …………………………… 2 分 cos B a cos B sin A ∴ sin A cos A ? sin B cos B ∴ sin 2A ? sin 2B ∵A,B 均为 ?ABC 的内角 ∴ 2A ? 2B 或 2A ? 2B ? ?
解:由 ∴A ? B 或A ? B ?

?
2

…………………………… 6 分



b 4 ? a 3

∴ a ? b, b ?

4 ? a ∴A ? B ,A ? B ? 3 2

………… 8 分

∴ ?ABC 是以角 C 为直角的直角三角形 ∴a ?b ? c
2 2 2

∴a ?
2

16 2 a ? 100 9
………………………………………………… 12 分

∴ a ? 6, b ? 8 20、 (本小题 12 分)

解:设该等差数列 ?an ? 的公差为 d ,且 d ? 0 则 a1 ? a6 由 s6 ? 66 得: 解?

……………… 1 分 ……………… 2 分

6(a1 ? a6 ) ? 66 ,∴ a1 ? a6 ? 22 2

……………… 4 分

?a1 ? a6 ? 22 得: a1 ? 1, a6 ? 21 ? a1a6 ? 21

……………… 8 分

∴ 5d ? a6 ? a1 ? 20 ∴d ? 4 ∴数列 ?an ? 的通项公式为: an ? 1 ? 4(n ?1) ? 4n ? 3 。 21、 (本小题 13 分) 解: (1)由 tan A ? tan B ? 3 tan A tan B ? 3 得: tan A ? tan B ? ? 3(1 ? tan Atan B) ∴ tan( A ? B) ? ……………… 10 分 ……………… 12 分

tan A ? tan B ?? 3 1 ? tan A tan B

…………… 2 分

∵ A, B 为 ?ABC 的内角 ∴ A? B ? ∴C ?

?
3

2 ? 3

…………… 4 分 …………… 6 分

(2)由(1)知: C ? ∵ S ?ABC ?

?
3

3 3 2



1 ? 3 3 ab s in ? 2 3 2
…………… 8 分

∴ ab ? 6 ∵c ?

7 2

∴由 a ? b ? 2ab cos C ? c
2 2

2

得: (a ? b) ? 3ab ?
2

49 4

…………… 10 分

∴ ( a ? b) ?
2

49 49 121 ? 3ab ? ? 18 ? 4 4 4
……………………………… 13 分

∴a?b ?

11 2

22、 (本小题 13 分) (1)证明:由 an?1 ? 2an ? 2n

an ?1 a ? nn ?1 n 2 2 ?1 a ?1 an ? n ?1 ? 1 ∴ nn 2 2 a ∵ bn ? nn 2 ?1 a ?1 ∴ bn ?1 ? nn 2
得: ∴ bn?1 ? bn ? 1 ∴数列 ?bn ? 是以 b1 ?

…………………

2分

…………………

4分

a1 ? 1 为首项,以 1 为公差的等差数列。……… 6 分 21?1 a ?n (2)解:由(1)知: bn ? n ,即 nn 2 ?1
∴ an ? n ? 2n?1 ∴数列数列 ?an ? 的前 n 项和为: ………… 8 分

Sn ? 1 ? 2 ? 2 ? 3? 22 ? 4 ? 23 ? ?? n ? 2n?1
∴两边同时乘以 2 得:

1 ○

2Sn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? 4 ? 24 ? ?? n ? 2n
∴○ 2 -○ 1 得: Sn ? ?(1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2
2 3 n?1

2 ○

………… 10 分

) ? n ? 2n

1 ? 2n ? n ? 2n =? 1? 2
= (n ?1) ? 2 ? 1
n

…………… 12 分 …………… 13 分

∴数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? (n ?1) ? 2n ? 1 。


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