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1962年第四届IMO试题(不含答案)


第四届(1962 年) 捷克斯洛伐克 捷克布杰约维采 (?eské Budějovice, Czechoslovakia)
1. 找出具有下列各性质的最小正整数 n: a) 它的最后一位数字是 6; b) 如果把最后的 6 去掉并放在最前面,所得到的数是原来数的 4 倍。 (波兰) 2. 试找出满足下列不等式的所有实数 x:

3 ? x ? x ?

1 ?

1 (匈牙利) 2

3. 已知正方体 ABCD-A'B'C'D'(ABCD、A'B'C'D'分别是上下底) 。一点 X 沿着正 方形 ABCD 的边界以方向 ABCDA 作匀速运动; 一点 Y 以同样的速度沿着正方形 B'C'CB 的边界以方向 B'C'CBB'运动。点 X、Y 在同一时刻分别从点 A、B'开始运 动。求线段 XY 的中点的轨迹。 (捷克斯洛伐克) 4. 解方程 cos2x+cos22x+cos23x=1。 (罗马尼亚) 5. 在圆 K 上有三个不同的点 A、B、C。试在 K 上再作出一点 D 使得这四点所形 成的四边形有一个内切圆。 (保加利亚) 6. 一个等腰三角形,设 R 为其外接圆半径,内切圆半径为 r,求证这两个圆的圆 心的距离是 R( R ? 2r ) 。 (民主德国) 7. 求证:正四面体有 5 个不同的球,每个球都与这六条边或其延长线相切;反 过来,如果一个四面体有 5 个这样的球,则它必然是正四面体。 (苏联)


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