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人教A版高中数学必修一《函数与方程思想》教学设计


心灵寄语 :机遇对每个人都是一样的,困难对每个人都是存在的,挫折对每个人都是不可避免的。只要 思想不滑坡,办法总比困难多;只要思想一滑坡,困难总比办法多。驾驭挫折,坚定信念,要有不屈不挠 的毅力,荣辱不惊的心态,挑战困难的勇气,壮丽的人生将更加多彩!——马克锋 函数与方程思想 课题 总课时数 10 课型 知识 目标 学 习 目 标 重点 难点 教学方法 能力 目标 情感 目标 复习课 编定人 掌握基本初等函数的具体特性,借助函数的性质解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论 参数的取值范围等问题. 通过函数与方程思想的应用,培养学生灵活运用数学知识、思想和方法提出问题、分析问题和 解决问题的能力. 通过学习培养学生细心观察、 认真分析、 严谨论证的良好的自主探究学习习惯, 增强合作意识, 形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神,构建民主和谐的课堂氛围. 函数与方程思想的综合应用. 挖掘题目中的隐含条件,综合灵活应用函数与方程思想解题. 自主探究、学案导学 教 学 过 教学手段 程 多媒体辅助教学 师 生 活 动

一、知识构建 1.函数与方程思想 函数思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系 或构造函数,运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题,从而使问题解决. 方程思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造 方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去转化问题,使问题解决. 师生共同回顾相 注意:函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程 f(x)=0 关知识. 的解就是函数 y=f(x)的图像与 x 轴的交点的横坐标,函数 y=f(x)也可以看作二元方 3 分钟 程 f(x)-y=0 通过方程进行研究. 2.命题趋势 函数与方程思想贯穿于整个高中教学中,尤其是导数的引入为函数的研究增添了新 的工具.高考中所占比重较大,综合知识多、题型多、应用技巧多,在选择题和填空题 中考查函数与方程思想的基本运算,而在解答题中,则从更深的层次,在知识的网络的 交汇处,从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查. 3.综合应用 函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等,应用函数思想的几种常见题型 是:遇到变量,构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题, 利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中,选定合适的主变量,从而揭示其 中的函数关系;实际应用问题,翻译成数学语言,建立数学模型和函数关系式,应用函 数性质或不等式等知识解答;数列问题,都可以看成 n 的函数;解析几何中的许多问题, 例如直线和二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才能解决,涉及到二次方 程与二次函数的有关理论;立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运 用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决. 方程思想的应用可分为逐步提高的四个层次: ( 1)解方程; (2)含参数方程讨论; (3)转化为对方程的研究; (4)构造方程求解. 二、典例分析
2 x 、x 例 1. (福建德化一中 2008 理)若关于 x 的方程 x + 2kx - 1 = 0 的两根 1 2 满足

?1 ? x1 ? 0 ? x2 ? 2, 则 k 的取值范围是___________.

二次函数与零点 是高考重点内容, 要学会如何判断 区间根的分布.

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心灵寄语 :机遇对每个人都是一样的,困难对每个人都是存在的,挫折对每个人都是不可避免的。只要 思想不滑坡,办法总比困难多;只要思想一滑坡,困难总比办法多。驾驭挫折,坚定信念,要有不屈不挠 的毅力,荣辱不惊的心态,挑战困难的勇气,壮丽的人生将更加多彩!——马克锋 注重步 分析:研究二次方程的实根分布问题如何转化为二次函数问题?怎么结合二次函数的图像解出 k 的取 学生板演, 骤的规范性. 值范围? 5 分钟

变式: (2009 全国理)设函数 求 a 的取值范围。

f ? x ? ? x2 ? aIn ?1 ? x ?

有两个极值点

x1、x2 ,且 x1 ? x2 ,

分析:函数有极值点的充分条件是什么?如何转化为方程的根的分布来求 a 的取值范围?

学生板演, 注重步 骤的规范性. 5 分钟 注意隐含条件。

小结:限定一元二次方程区间根分布的要素有哪些? 例 2. ( 2008 安徽卷理)若函数 f ( x), g ( x) 分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满足

f ( x) ? g ( x) ? ex ,则有(

) B. g (0) ? f (3) ? f (2) D. g (0) ? f (2) ? f (3)

学生说明思路、 方 法. 3 分钟

A. f (2) ? f (3) ? g (0) C. f (2) ? g (0) ? f (3)

分析: 如何由已知条件求得函数 的解析式?本题中只有一个等式, 怎样再挖掘一个等式? 比较函数值的大小要结合函数的哪些性质?

f ( x), g ( x)

x 2 例 3.已知函数 f ( x) ? 2 ? x ,则方程 f ( x) ? 0 在 [?1,0] 内有_________个实数根.

分析:本题方法有哪些?方程的根或函数零点的存在性问题要注意哪些方面?

学生分组讨论、 纠 正、合作交流. 学生说明思路、 方 法. 8 分钟

三、拓展提高
2 2? x 例 4.设 x ? ?1 是 f ( x) ? ( x ? ax ? b)e ( x ? R) 的一个极值点,

⑴求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b ) ;⑵求 f ( x) 的单调区间.
分析:函数在某一点处有极值的必要条件是什么?如何根据参数的范围研究函数的单调性?本题重点 用到了哪些数学思想方法?

学生板演, 注重步 骤的规范性. 8 分钟

2

心灵寄语 :机遇对每个人都是一样的,困难对每个人都是存在的,挫折对每个人都是不可避免的。只要 思想不滑坡,办法总比困难多;只要思想一滑坡,困难总比办法多。驾驭挫折,坚定信念,要有不屈不挠 的毅力,荣辱不惊的心态,挑战困难的勇气,壮丽的人生将更加多彩!——马克锋 四、归纳反思 函数与方程的思想要注意函数、方程与不等式之间的相互联系和转化.应做到: 1.深刻理解一般函数 y=f(x)的性质(单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换) ,熟 鼓励学生反思课 练掌握基本初等函数的性质,这是应用函数思想解题的基础. 堂全程和积极表 2.密切注意三个“二次”的相关问题,注意限定一元二次方程区间根分布的四个要素 : 现参与, 促进认知 (1)开口方向 (2)对称轴(3)判别式(4)区间端点处函数值的符号. 结构完善. 3.注意与其它数学思想方法的联系,如代换思想,数形结合思想,分类讨论思想,等价 3 分钟 转化思想等.在解题中,要注意从不同的角度去观察探索,从而得到最佳解题方案. 4.通过探究体验,你有哪些方面的收获? 五、激励评价 1组 2组 3组 4组 5组 6组 7组 8组 9组 10 组

六、作业设计 1.必做题: (2007 福建理)已知函数 f ( x) ? e x ? kx,x ? R . (Ⅰ)若 k ? e ,试确定函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围. 2.选做题:已知函数 f ( x) ? e x ? kx,x ? R ,设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) , 求证: F (1) F (2)? F (n) ? (e 七、精彩一练
2 2 1.直线 (1 ? a ) x ? y ? 1 ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 相切,则 a 的值为(
n ?1

分层要求,培养学 生探究能力.

? 2) (n ? N? ) .

n 2

寻找事物内部规 律, 同时培养学生 的探究意识.

) 帮助学生巩固所 学知识, 反馈课堂 效果, 使学生下面 的学习有的放矢, 将课堂延伸, 使学 生将课堂所学内 容再认识和升华.

A. 1, ? 1

B. 2, ? 2
3

C.1

D. ?1

2. (2009 山东省济宁市)若函数 f ( x) ? x ? 3x ? a 有三个不同的零点,则实数 a 的取 值范围是( )A. (?2, 2) B. [?2, 2]
2

C. (??, ?1)
2

D. (1, ??)

3. 若 ? 、 ? 是关于 x 的方程 x ? ?k ? 2?x ? k ? 3k ? 5 ? 0 ( k ? R )的两个实根, 则 ? ? ? 的最大值等于(
2 2

) A. 6

50 B. 9

6 分钟 C. 18 D. 19 )

2 4. (山东文登三中 2009 ) ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个正的实根的充要条件是(

A. ? 1 ? a ? 0

B. a ? ?1

C. a ? ? 1

D. a ? 1

5.设数列{ an }是等差数列,Sn 是其前 n 项和,且满足 a1 >0,S12 >0,S13 <0,则使 Sn 最大的 n 的值为( )A.1 B.6 C.7 D.12
3

心灵寄语 :机遇对每个人都是一样的,困难对每个人都是存在的,挫折对每个人都是不可避免的。只要 思想不滑坡,办法总比困难多;只要思想一滑坡,困难总比办法多。驾驭挫折,坚定信念,要有不屈不挠 的毅力,荣辱不惊的心态,挑战困难的勇气,壮丽的人生将更加多彩!——马克锋 6.在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N (1, ? )(? ? 0) ,若在 ? 在(0,1)内取
2

值的概率为 0.4,则 ? 在(0,2)内的取值概率为_________. 7.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 是以 2 为周期的奇函数,则方程 f ( x) ? 0 在 [?2, 2] 上 至少有_________个实数根. 8.一批货物随 17 列货车从 A 市以 v km/h 的速度匀速直达 B 市。已知两地铁路线长 400 进一步巩固基础 知识并提高能力.

v 2 ) km km,为了安全,两列货车的间距不得小于 20 (货车长度忽略不计) ,那么这批货 (
物全部运到 B 市最快需要_________小时. 9. (2008 山东省泰安市)已知函数 f ( x) ? ln x ? a x ? ax(a ? R) .
2 2

(1)当 a ? 1 时,证明函数 f ( x ) 只有一个零点;

1, ?? ? (2)若函数 f ( x ) 在区间 ? 上是减函数,求实数 a 的取值范围.

八、板书设计 函数与方程思想 二、典例分析 三、 拓展提高

一、知识构建

四、方法总结

九、拓展资源 《新课标考试大纲》明确指出“数学知识是指《普通高中数学课程标准(实验) 》中所规定的必修 课程、选修课程系列 2 和系列 4 中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的 数学思想方法” 。其中数学思想方法包括:函数与方程的思想方法、数形结合的思想方法、分类整合的 思想方法、特殊与一般的思想方法、转化与化归的思想方法、必然与或然的思想方法。数学思想方法 是对数学知识内容和方法的本质认识,是对数学的规律性的理性认识。高考通过对数学思想方法的考 查,能够最有效地检测学生对数学知识的理解和掌握程度,能够最有效地反映出学生对数学各部分内 容的衔接、综合和渗透的能力。 《考试大纲》对数学考查的要求是“数学学科的系统性和严密性决定了 数学知识之间深刻的内在联系,包括各部分知识的纵向联系和横向联系,要善于从本质上抓住这些联 系,进而通过分类、梳理、综合,构建数学试卷的框架结构” 。而数学思想方法起着重要桥梁连接和支 称作用, “对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查,考查时必须要与数 学知识相结合,通过数学知识的考查,反映考生对数学思想方法的掌握程度” 。 “数学科的命题,在考 查基础知识的基础上,注重对数学思想方法的考查,注重对数学能力的考查,展现数学的科学价值和 人文价值,同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性,重视试题间的层次性,合理调控综合程度,坚 持多角度、多层次的考查,努力实现全面考查综合数学素养的要求。 ”在高考复习时,要充分认识数学 思想在提高解题能力的重要性,在复习中要有意识地渗透这些数学思想,提升数学思想。

培养兴趣, 提升素 养.

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