当前位置:首页 >> 数学 >>

高考数学必须掌握的公式


高考复习科目:数学 高 中 数 学 总 复 习 (一 )
复习内容:高中数学第一章-集合

I. 基础知识要点
1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 2. 集合的性质: ①任何一个集合是它本身的子集,记为 ②空集是任何集合的子集,记为 ? ③空集是任何非空集合的真子集; 如果 A ? B ,同时 B ? A ,那么 A = B. 如

果 A ? B,B ? C,那么A ? C . [注]:①Z= {整数}(√) ③空集的补集是全集. ④若集合 A=集合 B,则 CBA= ? ,CAB = ? CS(CAB) D (注: AB = ? ) = C . 3. ①{(x,y)|xy =0,x∈R,y∈R}坐标轴上的点集. ②{(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R Z ={全体整数} (×)
?

A ? A;

? A;

②已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集,则集合 A 也是有限集.(×) (例:S=N; A= N ,则 CsA= {0})

? 二、四象限的点集.

③{(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R} 一、三象限的点集. [注]:①对方程组解的集合应是点集. 例: ?

?x ? y ? 3 ?2 x ? 3 y ? 1

解的集合{(2,1)}. B={y|y =x2+1} 则 A∩B = ? )

②点集与数集的交集是 ? . (例:A ={(x,y)| y =x+1}

4. ①n 个元素的子集有 2n 个. ②n 个元素的真子集有 2n -1 个. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题 ? 逆否命题. 例:①若 a ? b ? 5,则a ? 2或b ? 3 应是真命题. 解:逆否:a = 2 且 b = 3,则 a+b = 5,成立,所以此命题为真. ②x

③n 个元素的非空真子集有 2n-2 个.

5. ?①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题 ? 逆命题.

? 1且y ? 2,

x ? y ? 3.
x = 1 或 y = 2.

解:逆否:x + y =3

? x ? 1且y ? 2

x ? y ? 3 ,故 x ? y ? 3 是 x ? 1且y ? 2 的既不是充分,又不是必要条件.

?小范围推出大范围;大范围推不出小范围. 例:若 x ? 5, x ? 5或x ? 2 . ?

1

II. 竞赛知识要点
1. 集合的运算.

(A ? B) C ? A ? B ? C) ? ( A ? B ? C)(A ? B)(A ? C) (A ? B) C ? A ? B ? C) ( ? ? ? ( A ? A ? B) A,A ? A ? B) A ( ? ( ?
A ? B ? C)(A ? B)(A ? C) ( ? ?
De Morgan 公式 CuA∩ CuB = Cu( B) A∪ CuA∪ CuB =Cu( B) A∩ 2. 容斥原理:对任意集合 AB 有 A ? B ? A ? B ? A ? B .
A? B ?C ? A ? B ? C ? ( A? B ? A?C ? B ?C ) ? A? B ?C .

I. 基础知识要点
1. 函数的三要素:定义域,值域,对应法则. 2. 函数的单调区间可以是整个定义域,也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间, 也可能没有单调区间,如果函数在区间(0,1)上为减函数,在区间(1,2)上为减函数,就不能说函数 在 0, ? 1 2) ( 1 ( , 上为减函数. )

? 3. 反函数定义:只有满足 x ?? ? y ,函数 y ? f (x) 才有反函数. 例: y ? x 2 无反函数. 唯一
函数 y ? f (x) 的反函数记为 x ? f 反函数 y ? f
?1 ?1

( y) ,习惯上记为 y ? f

?1

( x) . 在同一坐标系,函数 y ? f (x) 与它的

( x) 的图象关于 y ? x 对称.

[注]:一般地, f ?1 (x ? 3) ? f(x ? 3) 的反函数. f ?1 (x ? 3) 是先 f(x) 的反函数,在左移三个单位. f(x ? 3) 是 先左移三个单位,在 f(x ) 的反函数. 4. ?单调函数必有反函数,但并非反函数存在时一定是单调的.因此,所有偶函数不存在反函数. ?如果一个函数有反函数且为奇函数,那么它的反函数也为奇函数. ?设函数 y = f(x) 定义域, 值域分别为 X、 如果 y = f(x) X 上是增 Y. 在 (减) 函数, 那么反函数 y ? f ?1( x) 在 Y 上一定是增(减)函数,即互为反函数的两个函数增减性相同. ?一般地, 如果函数 y ? f (x) 有反函数, f (a) ? b , 且 那么 f ?1 (b) ? a . 这就是说点 a, b ) ( 在函数 y ? f (x) 图象上,那么点( b, a )在函数 y ? f 5. 指数函数: y ? a x ( a
?1

( x) 的图象上.
y=ax 0<a <1


? 0, a ? 1 ) ,定义域 R,值域为( 0,?? ).

y

y=ax a >1

?①当 a ? 1 ,指数函数: y ? a x 在定义域上为增函数;
O

1 x

②当 0 ? a ? 1 ,指数函数: y ? a x 在定义域上为减函数. ?当 a ? 1 时, y ? a x 的 a 值越大,越靠近

y 轴;当 0 ? a ?1时,则相反.

6. 对数函数:如果 a ( a ? 0, a ? 1 )的 b 次幂等于 N ,就是 a b ? N ,数 b 就叫做以 a 为底的 N 的对数, 记作 log a N ? b ( a ? 0, a ? 1 ,负数和零没有对数) ;其中 a 叫底数, N 叫真数.

2

?对数运算:
loga ( M ? N ) ? loga M ? loga N (1) loga M ? loga M ? loga N N 1 loga M n logb N logb a

loga M n ? n loga ?? M ?12) loga n M ? a log a
N

?N

换底公式: a N ? log

推论: a b ? logb c ? logc a ? 1 log ? loga1 a2 ? loga 2 a3 ? ... ? loga n ?1 an ? loga1 an

(以上 M ? 0, N ? 0,a ? 0,a ? 1, b ? 0, b ? 1,c ? 0,c ? 1,a1 , a 2 ...a n ? 0且 ? 1 )

a ? ? 注?:当 a, b ? 0 时, log( ? b) ? log( a) ? log( b) .
?:当 M ? 0 时,取“+” ,当 n 是偶数时且 M ? 0 时, M n ? 0 ,而 M 例如: loga x 2 ? 2 loga x ?(2 loga x 中 x>0 而 loga x 2 中 x∈R). ? y ? a x ( a ? 0, a ? 1 )与 y ? loga x 互为反函数. 当 a ? 1 时, y ? loga x 的 a 值越大,越靠近 x 轴;当 0 ? a ? 1时,则相反. 7. 奇函数,偶函数: ?偶函数: f (? x) ? f ( x) 设( a, b )为偶函数上一点,则( ? a, b )也是图象上一点. 偶函数的判定:两个条件同时满足 ①定义域一定要关于 y 轴对称,例如: y ? x 2 ? 1 在 [1,?1) 上不是偶函数. ②满足 f (? x) ? f ( x) ,或 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,若 f ( x ) ? 0 时, ?奇函数: f (? x) ? ? f ( x) 设( a, b )为奇函数上一点,则( ? a ,?b )也是图象上一点. 奇函数的判定:两个条件同时满足 ①定义域一定要关于原点对称,例如: y ? x 3 在 [1,?1) 上不是奇函数. ②满足 f (? x) ? ? f ( x) ,或 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,若 f ( x ) ? 0 时, 8. 对称变换:①y = f(x) ??? ? y ? f(? x) ? ②y =f(x) ??? ? y ? ? f(x) ? ③y =f(x) ??? ? y ? ? f( ? x) ? 9. 判断函数单调性(定义)作差法:对带根号的一定要分子有理化,例如:
2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x 2 ?b 2 ? x 2 ?b 2 ? 1
原点对称 x轴对称 y轴对称

? 0 ,故取“—”.

f ( x) ? 1. f ( ?x )

f ( x) ? ?1 . f ( ?x )

(x1 ? x 2)x1 ? x 2 ) (
2 2 x x ? b 2 ? x1 ? b 2

在进行讨论. 3

10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如:已知函数 f(x)= 1+ 关系是

解: f (x) 的值域是 f ( f ( x )) 的定义域 B , f (x) 的值域 ? R ,故 B? R ,而 A ? ?x | x ? 1? ,故 B ? A . 11. 常用变换: ① f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y ) ? f ( x ? y ) ? 证: f ( x ? y ) ?

B?A .

x 的定义域为 A,函数 f[f(x)]的定义域是 B,则集合 A 与集合 B 之间的 1? x

f ( x) . f ( y)

f ( y) ? f ( x) ? f [( x ? y ) ? y ] ? f ( x ? y ) f ( y ) f ( x)

② f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) ? f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) 证: f ( x) ? f (

x y

x x ? y) ? f ( ) ? f ( y) y y

12. ?熟悉常用函数图象: 例: y ? 2| x| → | x | 关于 y 轴对称.

?1? y?? ? ? 2?


| x ? 2|

→y?? ? →y?? ?

?1? ? 2?

| x|

?1? ? 2?

| x ? 2|



y



y

y

(0,1)
x

(-2,1)
x

x

y ?| 2x 2 ? 2x ?1 | → | y | 关于 x 轴对称.


y

x

?熟悉分式图象:



y

2x ? 1 7 ? 定义域 {x | x ? 3, x ? R} , ? 2? x ?3 x ?3 值域 { y | y ? 2, y ? R} →值域 ? x 前的系数之比.
例: y ?

2 x 3

4

§3. 数 列 知识要点
1. ?等差、等比数列: 等差数列 定义 等比数列

a n ?1 ? a n ? d a n ? a n ?1 ? d ; a n ? a m ? n ? md a n ? a1 ? (n ? 1)d

a n ?1 ? q ( q ? 0) an
a n ? a n ?1 q ; a n ? a m q n?m

递推公式

通项公式

a n ? a1q n?1 ( a1 , q ? 0 )

中项

A?

a n?k ? a n? k 2

G ? ? an?k an?k (an?k an?k ? 0)
* ( n, k ? N , n ? k ? 0 )

* ( n, k ? N , n ? k ? 0 )

前 n 项和

Sn ?

n (a1 ? a n ) 2 n(n ? 1) d 2

S n ? na1 ?
重要性质

?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 1 ? q n a ?a q ? 1 n (q ? 2) ? 1? q 1? q ?

?

?

am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q)
?看数列是不是等差数列有以下三种方法: ① an

am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q)

? an?1 ? d (n ? 2, d为常数)

②2 a n ? a n ?1 ? a n ?1 ( n ? 2 ) ③ a n ? kn ? b ( n, k 为常数). ?看数列是不是等比数列有以下四种方法: ① an

? a n?1q(n ? 2, q为常数, 且 ? 0)

① 2 ② a n ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 , a n a n ?1 a n ?1 ? 0 )

注①:i. b ? ii. b ?

ac ,是 a、b、c 成等比的双非条件,即 b ? ac

a、b、c 等比数列.

ac (ac>0)→为 a、b、c 等比数列的充分不必要.

iii. b ? ? ac →为 a、b、c 等比数列的必要不充分. iv. b ? ? ac 且 ac ? 0 →为 a、b、c 等比数列的充要. 注意:任意两数 a、c 不一定有等比中项,除非有 ac>0,则等比中项一定有两个. ③ a n ? cq ( c, q 为非零常数).
n

④正数列{ a n }成等比的充要条件是数列{ logx a n }( x ? 1 )成等比数列. 5

?数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系: a n ? ?

?s1 ? a1 (n ? 1) ?s n ? s n ?1 (n ? 2)

[注]: ① a n ?a1 ??n ? 1?d ? nd ? ?a1 ?d ? ( d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常数列也是等 差数列)→若 d 不为 0,则是等差数列充分条件).
2 ②等差{ a n }前 n 项和 S n ? An ? Bn ? ?

d? ?d ? 2 ? ? n ?? a 1 ? ? n 2? 2? ? ?



d 可以为零也可不为零→为等差的充要条 2

件→若 d 为零,则是等差数列的充分条件;若 d 不为零,则是等差数列的充分条件. ③非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列) .. 2. ①等差数列依次每 k 项的和仍成等差数列,其公差为原公差的 k2 倍 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k ... ; ②若等差数列的项数为 2 n n ?N ? ,则 S 偶?S 奇 ? nd,

?

?

S奇 S偶

?

③若等差数列的项数为 2n ? 1 n ?N ? ,则 S 2 n ?1? ?2n ? 1?a n ,且 S 奇 ? S 偶 ?a n , S 奇 ? n
S偶

?

?

an ; a n ?1
n ?1

? 代入n到2n ? 1得到所求项数 .
3. 常用公式:①1+2+3 ?+n = ② 12 ?2 2 ?3 2 ? ?n 2 ?

n?n ? 1? 2

n?n ? 1??2n ? 1? 6
2

? n?n ? 1?? ③ 1 ?2 ?3 ?n ? ? ? ? 2 ?
3 3 3 3

[注]:熟悉常用通项:9,99,999,… ? a n ? 10n ? 1 ; 5,55,555,… ? a n ? 4. 等比数列的前 n 项和公式的常见应用题:

5 n 10 ? 1 . 9

?

?

?生产部门中有增长率的总产量问题. 例如,第一年产量为 a ,年增长率为 r ,则每年的产量成等比数列, 公比为 1 ? r . 其中第 n 年产量为 a(1 ? r ) n ?1 ,且过 n 年后总产量为:

a ? a(1 ? r ) ? a(1 ? r ) 2 ? ... ? a(1 ? r ) n ?1 ?

a[a ? (1 ? r ) n ] . 1 ? (1 ? r )

?银行部门中按复利计算问题. 例如:一年中每月初到银行存 a 元,利息为 r ,每月利息按复利计算,则每 月的 a 元过 n 个月后便成为 a(1 ? r ) n 元. 因此,第二年年初可存款:

a(1 ? r )12 ? a(1 ? r )11 ? a(1 ? r )10 ? ... ? a(1 ? r ) =

a (1 ? r )[1 ? (1 ? r )12 ] . 1 ? (1 ? r )

?分期付款应用题: a 为分期付款方式贷款为 a 元;m 为 m 个月将款全部付清; r 为年利率.

a?1 ? r ?m ? x?1 ? r ?m ?1 ? x?1 ? r ?m? 2 ? ...... x?1 ? r ? ? x ? a?1 ? r ?m ?

x?1 ? r ?m ? 1 ar?1 ? r ?m ?x? r ?1 ? r ?m ? 1

6

5. 数列常见的几种形式: ? a n ? 2 ? pa n ?1 ? qa n (p、q 为二阶常数) ? 用特证根方法求解. 具体步骤:① 写出特征方程 x 2 ? Px ? q ( x 对应 a n ? 2 ,x 对应 a n ?1 ) ,并设二根 x1 , x 2 ②若 x 1 ? x 2 可设
2

a n. ?c1 x n ?c 2 x n ,若 x 1 ? x 2 可设 a n ? (c1 ?c 2 n) x n ;③由初始值 a 1 ,a 2 确定 c 1 ,c 2 . 1 1 2
? a n ? Pa n ?1 ? r (P 、 r 为常数) ? 用①转化等差,等比数列;②逐项选代;③消去常数 n 转化为

a n ? 2 ? Pa n ?1 ? qa n 的形式,再用特征根方法求 a n ;④ a n ?c1 ?c 2 P n?1 (公式法) c 1 ,c 2 由 a 1 ,a 2 确定. ,
①转化等差,等比: a n?1 ? x ? P(a n ? x) ?a n?1 ? Pan ? Px ? x ? x ? ②选代法: a n ? Pa n ?1 ?r ? P( Pa n ? 2 ?r ) ? r ? ? ?a n ? (a1 ?

r . P ?1

r r ) P n?1 ? ? (a1 ? x) P n?1 ? x P ?1 P ?1

?P n?1a1 ? P n?2 ?r ? ? ? Pr? r .
a n ?1 ? Pa n ? r ? ( ) ? ?相减, a n ?1 ?a n ? Pa n ? Pa n ?1 ?a n ?1 ? P ? 1 a n ? Pa n ?1 . a n ? Pa n ?1 ? r ?

③用特征方程求解:

④ 由选代法推导结果: c1 ?

r r r r . ,c 2 ?a1 ? ,a n ?c 2 P n?1 ?c1 ? a1 ? ( )P n?1 ? 1? P P ?1 P ?1 1? P

6. 几种常见的数列的思想方法: ?等差数列的前 n 项和为 S n ,在 d ? 0 时,有最大值. 如何确定使 S n 取最大值时的 n 值,有两种方法:

d 2 d n ? (a1 ? )n 利用二次函数的性质求 n 的值. 2 2 ?如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前 n 项和可依照等比数列前
一是求使 a n ? 0, a n ?1 ? 0 ,成立的 n 值;二是由 S n ?

1 1 1 n 项和的推倒导方法:错位相减求和. 例如: 1? ,3 ,...( 2n ? 1) n ,... 2 4 2
?两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项, 公差是两个数列公差 d 1,d 2 的最小公倍数.

高中数学总复习(四)
I. 基础知识要点
1. ① ? (0°≤ ? <360° 与 )终边相同的角的集合(角 ? 与角 ? 的终边重合) ? | ? ? k ? 360 ? ? , k ? Z :
?


?

?

② 终边在 x 轴上的角的集合:

?? | ? ? k ?180 , k ? Z?
?

y
2 sinx 1 cosx cosx 4

3 sinx

③ 终边在 y 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180 ? 90 , k ? Z
? ?

?

? ? ?

4 cosx cosx 1 sinx 2 sinx 3

x

④ 终边在坐标轴上的角的集合: ? | ? ? k ? 90 , k ? Z
?

?

?

⑤ 终边在 y=x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180 ? 45 , k ? Z
? ?

?

⑥ 终边在 y ? ?x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180 ? 45 , k ? Z
? ?

?

SIN\COS三角函数值大小关系图 1、 2、 3、 4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域

7

⑦ 若角 ? 与角 ? 的终边关于 x 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360 k ? ?
?

⑧ 若角 ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360 k ? 180 ? ?
? ?

⑨ 若角 ? 与角 ? 的终边在一条直线上,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 180 k ? ?
?

⑩ ? 与角 ? 的终边互相垂直,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360 k ? ? ? 90 角
?

?

2. 角度与弧度的互换关系:360° ? 180° ? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ =2 = 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 3. 三角函数的定义域: 三角函数 定义域

f (x) ? sinx f (x) ? cosx f (x) ? tanx f (x) ? cotx f (x) ? secx f (x) ? cscx
4. 三角函数的公式: (一)基本关系 公式组二
sin x tanx= cos x

?x | x ? R? ?x | x ? R?
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z ? ?x | x ? R且x ? k? , k ? Z ?

1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

公式组一 sinx·cscx=1 cosx·secx=1 tanx·cotx=1 sin2x+cos2x=1 1+tan2 x =sec2x 1+cot2x=csc2x

公式组三

x=

cos x sin x

sin(2k? ? x) ? sin x cos(2k? ? x) ? cos x tan(2k? ? x) ? tan x cot(2k? ? x) ? cot x

sin(? x) ? ? sin x cos(? x ) ? cos x tan(? x) ? ? tan x cot(? x) ? ? cot x

公式组四

公式组五

公式组六

sin( ? x) ? ? sin x ? cos( ? x) ? ? cos x ? tan(? ? x) ? tan x cot(? ? x) ? cot x
公式组一

s i n ? ? x) ? ? s i n 2( x c o s2? ? x) ? c o s ( x t a n2? ? x) ? ? t a n ( x c o t2? ? x) ? ? c o t ( x

s i n (? x) ? s i n ? x c o s (? x) ? ? c o s ? x t a n (? x) ? ? t a n ? x c o t (? x) ? ? c o x ? t

(二)角与角之间的互换 公式组二

cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? ? cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? ? sin( ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? ? sin( ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? ?

s i n2? ? 2 s i n c o s ? ?
2 2 c o s? ? c o 2 ? ? s i n ? ? 2 c o 2 ? ?1 ? 1 ? 2 s i n ? 2 s s

t a n? ? 2

2t a n ?
2 1? t a n ?

sin ?? 2
8

?

1? c o ? s 2

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?
公式组四

cos

?
2

??

1 ? cos? 2
1 ? cos? sin? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin?
公式组五

tan(? ? ? ) ?
公式组三

tan

?
2

??

sin? ?

2 tan

?
2

1 ? tan 2 1 ? tan 2 1 ? tan
2

?
2

? ?
2 2

cos? ?

tan? ?

2 tan

?
2

1 ? tan2
sin 15? ? cos75? ?

?
2

1 ?sin?? ? ? ? ? sin?? ? ? ?? 2 1 cos? sin ? ? ?sin?? ? ? ? ? sin?? ? ? ?? 2 1 cos? cos ? ? ?cos?? ? ? ? ? cos?? ? ? ?? 2 1 sin? sin ? ? ? ?cos?? ? ? ? ? cos?? ? ? ?? 2 ??? ??? sin? ? sin ? ? 2 sin cos 2 2 ??? ? ?? sin? ? sin ? ? 2 cos sin 2 2 ??? ? ?? cos? ? cos ? ? 2 cos cos 2 2 ??? ??? cos? ? cos ? ? ?2 sin sin 2 2 sin? cos ? ?

1 cos( ? ? ? ) ? sin ? 2 1 sin( ? ? ? ) ? cos ? 2 1 tan( ? ? ? ) ? cot ? 2 1 cos( ? ? ? ) ? ? sin ? 2 1 tan( ? ? ? ) ? ? cot ? 2 1 sin( ? ? ? ) ? cos ? 2

6? 2, sin 75? ? cos15? ? 4

6 ? 2 , tan15? ? cot 75? ? 2 ? 3 , tan75? ? cot15? ? 2 ? 3 . 4

5. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:

y ? sin x
定义域 值域 R

y ? cos x
R

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y ? cot x

y ? A sin??x ? ? ?
(A、 ? >0) R

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z ?
R

[?1,?1]

[?1,?1]

R

?? A, A?
2?

周期性

2?
奇函数

2?
偶函数

?
奇函数

?
奇函数

?
奇偶性 当 ? ? 0, 非奇非偶 当 ? ? 0, 奇函数

[?

?
2

? 2k? ,

[?2k ? 1?? , 2k? ] [2k? ,



? ? ? ? ? ? ? k? , ? k? ? 2 ? 2 ?
上为增函数( k ? Z )

?k? , ?k ? 1?? ? 上 为 减 函
数( k ? Z )

?
2

? 2k? ]

上为增函数

上为增函数; 单调性

?2k ? 1?? ]

[

?

2 3? ? 2k? ] 2

? 2k? ,

上为减函数 (k?Z )

? ? 2k? ? ? ? ? 2k? ? ?

? ? ( A), ? ? ? ? 1 ? ? ?? ? 2 (? A)? ? ? ? 2 ??

?

上为增函数;

上为减函数 (k?Z )

? ? ( A), ? ? ? ? 3 ? ? ?? ? 2 (? A)? ? ? 上为减函数( k ? Z ) ? 2 ??
9

? ? 2k? ? ? ? ? 2k? ? ?

?

注意: y ? ? sin x 与 y ? sin x 的单调性正好相反; y ? ? cos x 与 y ? cos x 的单调性也同样相反.一般地, ① 若 y ? f (x) 在 [a, b] 上递增(减) ,则 y ? ? f (x) 在 [a, b] 上递减(增).


②y ? sin x 与 y ? cos x 的周期是 ? .

y

? ? ③ y ? sin( x ? ? ) 或 y ? cos( x ? ? ) ( ? ? 0 )的周期 T ?
y ? tan

2?

?

.
O

x

x 的周期为 2 ? ( ? T? ? T ? 2? ,如图,翻折无效). 2 ?

? ④ y ? sin( x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k? ?

?
2

o s ( (k?Z ) ,对称中心( k? ,0 ) y ? c ;

?x ? ? ) 的对称轴

方程是 x ? k? ( k ? Z ) ,对称中心( k? ? 1 ? ,0 ) ; 2

y ? tn ?x ? ? ) 的对称中心( a(
?
2

k? ,0 ). 2

y ? cos2x ?原点对称 ? y ? ? cos(?2x) ? ? cos2x ?? ?

tan ⑤ tan? · ? ? 1, ? ? ? ? k? ? 当
⑥ y ? cos x 与 y ? sin? x ? ?

?
2

tan (k ? Z ) ; tan? · ? ? ?1, ? ? ? ? k? ?

(k ? Z ) .

?

?

? ? 2k? ? 是同一函数,而 y ? (?x ? ? ) 是偶函数,则 2 ?

1 y ? (?x ? ? ) ? sin(?x ? k? ? ? ) ? ? cos( ?x) . 2
⑦ 函数

y ? tan x 在 R 上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增.

若在整个定义域, y

? tan x 为

增函数,同样也是错误的]. ⑧ 定义域关于原点对称是

f (x) 具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点

对称(奇偶都要) ,二是满足奇偶性条件,偶函数: f (? x) ? f ( x) ,奇函数: f (? x) ? ? f ( x) ) 奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如: 原点对称) 奇函数特有性质:若 0 ?

y ? tan x 是奇函数, y ? tan( x ? 1 ? ) 是非奇非偶.(定义域不关于
3

x 的定义域,则 f (x) 一定有 f (0) ? 0 .( 0 ? x 的定义域,则无此性质)


⑨y ? sin x 不是周期函数; y ? sin x 为周期函数( T ? ? ) ; ; ; y ? cos x 是周期函数(如图) y ? cos x 为周期函数( T ? ? )

y



y

x

1/2 x

y=cos|x|图象

1 ,并非所有周期函数都有最小正周期,例如: y ? cos 2 x ? 的周期为 ? (如图) 2

y=|cos2x+1/2|图象

y ? f ( x) ? 5 ? f ( x ? k ), k ? R .
⑩ y ? a cos? ? b sin ? ? a 2 ?b 2 sin( ? ? ) ? cos? ? ?

b 有 a 2 ?b 2 ? y . a

10

II. 竞赛知识要点
一、反三角函数. 1. 反三角函数:? 反正弦函数

y ? arcsin x 是奇函数,故 arcsin(? x) ? ? arcsin x , x ? ?? 1,1?(一定要
y 一一对应,故 y ? sin x 无反函数)
? 2 2?

注明定义域,若 x ? ?? ?,??? ,没有 x 与

注: sin(arcsinx) ? x , x ? ? 1,1 , arcsin x ? ?? ? , ? ? . ? ?

?

?

? 反余弦函数

注:①cos(arccos ) ? x , x ? ?? 1,1? , arccosx ? ?0, ? ?. x

y ? arccos x 非奇非偶,但有 arccos(? x) ? arccos(x) ? ? ? 2k?

, x ? ? 1,1 .

?

?

② y ? cos x 是偶函数, y ? arccos x 非奇非偶,而 y ? sin x 和 ? 反正切函数: y ? arctan x ,定义域 ( ??,??) ,值域( ?

y ? arcsin x 为奇函数.
) y ?a , n c t a r

注: tan(arctan ) ? x , x ? (??,??) . x

arctan( x) ? ? arctanx , x ? (??,??) . ?

? ? , 2 2

x 是奇函数,

? 反余切函数: y ? arc cot x ,定义域 (??,??) ,值域( ?

arc cot(? x) ? arc cot(x) ? ? ? 2k? , x ? (??,??) . 注:①cot( arc cot x) ? x , x ? (??,??) . 1 ② y ? arcsin x 与 y ? arcsin( ? x) 互为奇函数, y ? arctan x 同理为奇而 y ? arccos x 与 y ? arccot x 非奇非偶但满足 arccos(? x) ? arccos x ? ? ? 2k? , x ? [?1,1]arccot x ? arccot(? x) ? ? ? 2k? , x ? [?1,1] .
? 正弦、余弦、正切、余切函数的解集:

? ? , 2 2

) ,

y ? a c x 是非奇非偶. r o c t

a 的取值范围
>1 =1

解集

a 的取值范围
a >1
a =1

解集

①sin x ? a 的解集
a

②cos x ? a 的解集

?

?

a

?x | x ? 2k? ? arcsina, k ? Z ?

?x | x ? 2k? ? arccos a, k ? Z ?
?x | x ? k? ? arccosa, k ? Z ?

a <1

?x | x ? k? ? ??1?

k

arcsina, k ? Z

?

a <1

③tan x ? a 的解集: ?x | x ? k? ? arctan a, k ? Z ? 二、三角恒等式. 组一 组二

③cot x ? a 的解集: ?x | x ? k? ? arc cot a, k ? Z ?

cos? cos 2? cos 4? ... cos 2 n ? ?

sin 2 n ?1? 2 n ?1 sin?
?
2n sin? 2 n sin

sin3? ? 3 sin? ? 4 sin3 ? cos3? ? 4 cos3 ? ? 3 cos?

sin2 ? ? sin2 ? ? sin?? ? ? ? sin?? ? ? ? ? cos2 ? ? cos2 ?

? cos 2
k ?1

n

?
k

? cos

?
2

cos

?
4

cos

?
8

? cos

?

?
2n

? cos(x ? kd ) ? cos x ? cos(x ? d ) ? ? ? cos(x ? nd) ?
k ?0

n

sin((n ? 1)d ) cos(x ? nd ) sin d

? sin(x ? kd ) ? sin x ? sin(x ? d ) ? ? ? sin(x ? nd) ?
k ?0

n

sin((n ? 1)d ) sin(x ? nd ) sin d

tan( ? ? ? ? ) ? ?

tan? ? tan ? ? tan ? ? tan? tan ? tan ? 1 ? tan? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? tan?
11

组三 三角函数不等式

sin x < x < tan x, x ? (0,

?
2

)

f ( x) ?

sin x 在 (0, ? ) 上是减函数 x

若 A ? B ? C ? ? ,则 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 yz cos A ? 2 xz cos B ? 2 xy cos C

高中数学总复习(五)
1. 长度相等且方向相同的两个向量是相等的量. 注意:①若 a , b 为单位向量,则 a ? b . ( ? ) 单位向量只表示向量的模为 1,并未指明向量 的方向.
? ?
?

? ?

?

?

②若 a ? b ,则 a ∥ b . (√) 2. ① ? ??a ? = ??? ?a
? ?

?

② ?? ? ? ?a ? ?a ? ?a

?

?

?

③ ? a ? b ? ?a ? ?b

?? ??

?

?

④设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x 2 , y 2 ?, ? ? R
?a ? ??x1 , ?y 2 ?
?

? ? a ? b ? ?x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ?

? ? a ? b ? ?x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ?

? ? a ? b ? x1 x 2 ? y1 y 2

? 2 2 a ? x1 ? y1 (向量的模,针对向量坐标求模)

? ? ⑤平面向量的数量积: a ? b ? a ? b cos?

⑥ a ?b ? b ? a

? ?

? ?

? ? ? ? ? ? ⑦ ??a ?? b ? ? a ? b ? a ? ?b

? ?

? ?

⑧ a ?b ?c ? a ?c ?b ?c

?? ?? ?

? ?

? ? ? ? ?

注意:① a ? b ? c ? a ? b ? c 不一定成立; a ? b ? b ? c
? ?

?? ?? ?

? ?

? ?

? ?

? ? a?c.

②向量无大小( “大于”“小于”对向量无意义) 、 ,向量的模有大小. ③长度为 0 的向量叫零向量,记 0 , 0 与任意向量平行, 0 的方向是任意的,零向量与零向 ? ? 量相等,且 ? 0 ? 0 . ④若有一个三角形 ABC,则
? ?

?

0;此结论可推广到 n 边形.
?

⑤若 ma ? na ( m, n ? R ) ,则有 m ? n . ( ? ) 当 a 等于 0 时, ma ? na ? 0 ,而 m, n 不一定相 等.
? ? ? ? ? ? ? ? ? a ⑥ a · = | a | 2 , | a | = a 2 (针对向量非坐标求模) | a ? b | ≤ | a | ? | b | . ,

?

?

?

?

b ⑦当 a ? 0 时,由 a ? b ? 0 不能推出 b ? 0 ,这是因为任一与 a 垂直的非零向量 b ,都有 a · =0.

?

?

? ?

?

?

?

?

? ?

⑧若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c (×)当 b 等于 0 时,不成立. 3. ①向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 ? ,使得 b ? ?a (平行向量或 .... 共线向量). 当 ? ? 0, a 与 b 共线同向:当 ? ? 0, a 与 b 共线反向;
?
?

?

?

12



b 则为 0, 0 与任何向量共线.
(×) (√)

注意:若 a, b 共线,则 a ? ? b

若 c 是 a 的投影,夹角为 ? ,则 cos? ? a ? c , cos? ? a ? c ②设 a = ?x1 , y1 ? , b ? ?x 2 , y 2 ?
? ? a ∥b
?

?

? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ? a ? ? b ? a ? b ? a ? b

? ? a ⊥ b ? a ? b ? 0 ? x1 x 2 ? y 2 y1 ? 0

③设 A?x1 , y1 ?, B?x 2 , y 2 ?, C ?x3 , y 3 ? ,则 A、B、C 三点共线 ? ( ? ( x 2 ? x1 , y 2 ? y1 )= ? ( x3 ? x1 , y 3 ? y1 ) ? ? 0 ) · · ? ( x 2 ? x1 )( y 3 ? y1 )=( x3 ? x1 )( y 2 ? y1 ) ④两个向量 a 、 b 的夹角公式:
cos? ?
2 x1



?

=?

( ? ? 0)

?

?

x1 x 2 ? y1 y 2
2 2 2 ? y1 ? x 2 ? y 2

⑤线段的定比分点公式: ? ? 0 和 ? 1 ) ( y1 ? ?y 2 ? ? ? ?y ? 1? ? ? 1 PP ? 1) 设 P1P = ? PP2 (或 P2P = ,且 P1 , P, P2 的坐标分别是 x1 , y1) x, y), ( x2 , y 2 ) ,则 x ? ?x ( ,( 2 ?x ? 1 ? 推广
y1 ? y 2 ? ?y ? ? 2 ? 1:当 ? ? 1 时,得线段 P1 P2 的中点公式: ? x x1 2 ?x ? ? 2 ?

B M A P

? ?

1? ?

推广 2: AM ? ? 则 PM ? PA ? ? PB ( ? 对应终点向量).
MB
1? ?

x1 ? x2 ? x3 ? ?x ? ? x, y ? : 3 ? 三角形重心坐标公式:△ABC 的顶点 A?x1 , y1 ?, B?x 2 , y 2 ?, C ?x3 , y 3 ? ,重心坐标 G? ? y ? y1 ? y 2 ? y3 ? 3 ?

注意:在△ABC 中,若 0 为重心,则 OA ? OB ? OC ? 0 ,这是充要条件.
?x ' ? x ? h ? ? ‘ ⑥平移公式:若点 P ?x, y ? 按向量 a = ?h, k ? 平移到 P x ' , y ' ,则 ? ?y' ? y ? k ?

?

?

4. ?正弦定理: 设△ABC 的三边为 a、 c, b、 所对的角为 A、 、 则 B C,
?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? ? ?余弦定理: ?b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 2 2 2 ?c ? b ? a ? 2ab cos C ?

a n A s i

?

b n B s i

?

c n C s i

? 2R .

?正切定理: a ? b ?
a ?b

tan

A? B 2 A? B tan 2

13

?三角形面积计算公式: 设△ABC 的三边为 a,b,c,其高分别为 ha,hb,hc,半周长为 P,外接圆、内切圆的半径 为 R,r. ①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R ④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△= P?P ? a??P ? b??P ? c? [海伦公式]

⑥S△=1/2(b+c-a)ra[如下图]=1/2(b+a-c)rc=1/2(a+c-b)rb [注]:到三角形三边的距离相等的点有 4 个,一个是内心,其余 3 个是旁心. 如图:
A cD I B aE C
ra I c a E D ra ra A b

A
C F

F b

B

c b O a

图 1 中的 I 为 S△ABC 的内心, S△=Pr 图 2 中的 I 为 S△ABC 的一个旁心,S△ =1/2(b+c-a)ra
A

C

B
E F

1图

图2

C B N

图3

图4 附:三角形的五个“心” ; 重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点. 旁心:三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.
?已知⊙O 是△ABC 的内切圆, BC=a, 若 AC=b, AB=c [注: 为△ABC 的半周长,即 s 则:①AE= s ? a =1/2(b+c-a) ②BN= s ? b =1/2(a+c-b) ③FC= s ? c =1/2(a+b-c) 综合上述:由已知得,一个角的邻边的切线长,等于半周长减去对边(如图 4). 特例:已知在 Rt△ABC,c 为斜边,则内切圆半径 r=
a?b?c ab (如图 3). ? 2 a?b?c tan A ? tan B ? ? tan C ,? 结论! 1 ? tan A tan B
A

a?b?c ] 2

?在△ABC 中,有下列等式成立 tan A ? tan B ? tanC ? tan A tan B tanC . 证明:因为 A ? B ? ? ? C , 所以 tan? A ? B ? ? tan?? ? C ? ,所以 ?在△ABC 中,D 是 BC 上任意一点,则 AD 2 ?

AC 2 BD ? AB 2 BC ? BD ? DC . BC

证明:在△ABCD 中,由余弦定理,有 AD2 ? AB2 ? BD2 ?2 ? AB ? BD cos B ? ① 在△ABC 中,由余弦定理有 cos B ? 可得, AD 2 ?
AB 2 ? BC 2 ? AC 2 ? ②,②代入①,化简 2 AB ? BC
B D C

AC 2 BD ? AB 2 BC ? BD ? DC (斯德瓦定理) BC

图5

①若 AD 是 BC 上的中线, ma ?

1 2b 2 ? 2c 2 ? a 2 ; 2
14

②若 AD 是∠A 的平分线, t a ? ③若 AD 是 BC 上的高, ha ? ?△ABC 的判定:
2 a

2 bc ? p? p ? a ? ,其中 p 为半周长; b?c p? p ? a ?? p ? b?? p ? c ? ,其中 p 为半周长.

c 2 ?a 2 ?b 2 ? △ABC 为直角△ ? ∠A + ∠B = ?
2

c 2 < a 2 ?b 2 ? △ABC 为钝角△ ? ∠A + ∠B< c 2 > a 2 ?b 2 ? △ABC 为锐角△ ? ∠A + ∠B>

? 2 ? 2

2 2 2 附:证明: cosC ? a ?b ?c ,得在钝角△ABC 中, cosC ? 0 ?a 2 ?b 2 ?c 2 ? 0, ?a 2 ?b 2 ?c 2

2ab

?平行四边形对角线定理:对角线的平方和等于四边的平方和.
a ? b 2 ? a ? b 2 ? 2( a 2 ? b 2 )

§6. 不 等 式 知识要点
1. ?平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b 为正数) :

a 2 ?b 2 a ? b 2 (当 a = b 时取等) ? ? ab ? 1 1 2 2 ? a b
特别地, ab ? (

a ? b 2 a 2 ?b 2 (当 a = b 时, a ? b 2 a 2 ?b 2 ) ? ( ) ? ? ab ) 2 2 2 2
2

a 2 ? b 2 ? c 2 ? a ? ?b ? c ? ?? ? (a, b, c ? R, a ? b ? c时取等) 3 3 ? ?
2 2 ?幂平均不等式: a12 ? a 2 ? ... ? a n ?

1 (a1 ? a 2 ? ... ? a n ) 2 n

?含立方的几个重要不等式(a、b、c 为正数) : ① a 3 ?b 3 ? a 2b ? ab 2 ②a
3

?b 3 ?c 3 ?3abc ? (a ? b ? c)(a 2 ?b 2 ?c 2 ?ab ? ac ? bc)

; ? a 3 ?b 3 ?c 3 ? 3abc ( a ? b ? c ? 0等式即可成立, a ? b ? c或a ? b ? c ? 0时取等)

3

abc ?

3 3 3 a?b?c a ? b ? c ? 3 a ?b ?c ? abc ? ? ? ? ? 3 3 3 ? ?

1 ab ? ba ? ac ? (a ? ?b ? c) 2 ( a ? b ? c时取等) 3
?绝对值不等式:

a 1 ?a 2 ?a 3 ? a 1 ? a 2 ? a 3 a ? b ? a ? b ? a ? b (ab ? 0时,取等)

15

?算术平均≥几何平均(a1、a2…an 为正数) : ?柯西不等式:设 a i ,b i ? R(i

a 1 ?a 2 ?? ? a n n ? a 1 a 2 ? a n (a1=a2…=an 时取等) n

? 1,2,?, n), 则

2 2 (a1 b1 ?a 2 b 2 ?? ?a n b n ) 2 ? (a 2 ?a 2 ?? ?a n )(b 2 ?b 2 ?? ?b n ) 1 2 1 2

等号成立当且仅当

a a1 a 2 ? ??? n b1 b 2 bn
2

时成立.(约定 a i ? 0 时, b i ?

0)

例如: (ac ? bd )

? (a 2 ?b 2 )(c 2 ?d 2 ) .
1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2? ? ? (n ? 2) n n ? 1 n(n ? 1) n n(n ? 1) n ? 1 n

?常用不等式的放缩法:①



n ?1 ? n ?

1 n ? n ?1

?

1 2 n

?

1 n ? n ?1

? n ? n ? 1(n ? 1)

2. 常用不等式的解法举例(x 为正数) : ① x(1 ? x)
2

?

1 1 2 4 ? 2 x(1 ? x)(1 ? x) ? ( ) 3 ? 2 2 3 27
2 x 2 (1 ? x 2 )(1 ? x 2 ) 1 2 3 4 2 3 ? ( ) ? ? y? 2 2 3 27 9



y ? x(1 ? x 2 ) ? y 2 ?

类似于

y ? sin x cos 2 x ? sin x(1 ? sin 2 x)
x x x

③ | x ? 1 |?| x | ? | 1 | ( x与 1 同号,故取等) ? 2

§ 直线和圆的方程 知识要点 7.
一、直线方程. 1. 直线的倾斜角: 一条直线向上的方向与 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角, 其中直线与 轴平行或重合时,其倾斜角为 0,故直线倾斜角的范围是 0 ? ? ? ? 180? (0 ? ? ? ? ) .
? 注:①当 ? ? 90 或 x 2 ? x 1 时,直线 l 垂直于 x 轴,它的斜率不存在.

x

x

②每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与 x 轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都有惟一的斜率, 并且当直线的斜率一定时,其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地,当直线经过两点 (a,0), (0, b) ,即直线在 x 轴, y 轴上的截距分别为 a, b(a ? 0, b ? 0) 时,直线方 程是:

x y ? ? 1. a b 2 2 2 x ? 2 是一直线的方程,则这条直线的方程是 y ? ? x ? 2 ,但若 y ? ? x ? 2( x ? 0) 则不 3 3 3

注:若 y ? ? 是这条线.

16

附:直线系:对于直线的斜截式方程 y ? kx ? b ,当 k, b 均为确定的数值时,它表示一条确定的直线,如 果 k, b 变化时,对应的直线也会变化.① b 为定植, k 变化时,它们表示过定点(0, b )的直线束.② k 当 当 为定值, b 变化时,它们表示一组平行直线. 3. ?两条直线平行:

l 1 ∥ l 2 ?k 1?k 2 两条直线平行的条件是:① l 1 和 l 2 是两条不重合的直线. ②在 l 1 和 l 2 的斜率都存在的前
提下得到的. 因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个―前提‖都会导致结论的错误. (一般的结论是:对于两条直线 l 1 ,l 2 ,它们在 y 轴上的纵截距是 b 1 ,b 2 ,则 l 1 ∥l 2 ?k 1?k 2 ,且 b 1 ? b 2 或

l 1 ,l 2 的斜率均不存在,即 A1 B 2 ? B 1 A 2 是平行的必要不充分条件,且 C 1 ?C 2 )
推论:如果两条直线 l 1 ,l 2 的倾斜角为 ? 1,? 2 则 l 1 ∥l 2 ?? 1?? 2 . ?两条直线垂直: 两条直线垂直的条件:① 设两条直线 l 1 和 l 2 的斜率分别为 k 1 和 k 2 ,则有 l 1 ?l 2 ?k 1k 2 ? ?1 这里的前提是

l 1 ,l 2 的 斜 率 都 存 在 . ② l 1 ?l 2 ?k 1? 0 , 且 l 2 的 斜 率 不 存 在 或 k 2 ? 0 , 且 l 1 的 斜 率 不 存 在 . ( 即 A1 B 2 ? A 2 B 1 ? 0 是垂直的充要条件)
4. 直线的交角: ?直线 l 1 到 l 2 的角(方向角) ;直线 l 1 到 l 2 的角,是指直线 l 1 绕交点依逆时针方向旋转到与 l 2 重合时所
? 转动的角 ? ,它的范围是 (0, ? ) ,当 ? ? 90 时 tan ? ?

k 2 ?k 1 . 1 ? k 1k 2

?两条相交直线 l 1 与 l 2 的夹角:两条相交直线 l 1 与 l 2 的夹角,是指由 l 1 与 l 2 相交所成的四个角中最小的 正角 ? ,又称为 l 1 和 l 2 所成的角,它的取值范围是 ? 0, ?

k 2 ?k 1 ? ?? ? ? ,当 ? ? 90 ,则有 tan ? ? 1 ? k k . ? 2? 1 2

5. 过两直线 ?

?l 1 : A1 x ? B 1 y ?C 1 ? 0 的交点的直线系方程 A1 x ? B1 y ?C 1 ?? ( A 2 x ? B 2 y ?C 2 ) ? 0(? 为参 ?l 2 : A 2 x ? B 2 y ?C 2 ? 0

数, A 2 x ? B 2 y ?C 2 ? 0 不包括在内) 6. 点到直线的距离: ? 点 到 直 线 的 距 离 公 式 : 设 点 P( x 0 , y 0 ) , 直 线 l : Ax ? By ? C ? 0, P 到 l 的 距 离 为 d , 则 有

d?

Ax 0 ? By 0 ?C A2 ?B 2

.

?两条平行线间的距离公式:设两条平行直线 l 1 : Ax ? By ?C 1 ? 0,l 2 : Ax ? By ?C 2 ? 0(C 1 ?C 2 ) ,它们之 间的距离为 d ,则有 d ?

C 1 ?C 2 A2 ?B 2

.

7. 关于点对称和关于某直线对称: ?关于点对称的两条直线一定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等. ?关于某直线对称的两条直线性质:若两条直线平行,则对称直线也平行,且两直线到对称直线距离相等. 若两条直线不平行,则对称直线必过两条直线的交点,且对称直线为两直线夹角的角平分线. ?点关于某一条直线对称,用中点表示两对称点,则中点在对称直线上(方程①) ,过两对称点的直线方程 与对称直线方程垂直(方程②)①②可解得所求对称点. 注:①曲线、直线关于一直线( y ? ? x ? b )对称的解法:y 换 x,x 换 y. 例:曲线 f(x ,y)=0 关于直线 y=x–2 对称曲线方程是 f(y+2 ,x –2)=0. ②曲线 C: f(x ,y)=0 关于点(a ,b)的对称曲线方程是 f(a – x, 2b – y)=0.

17

二、圆的方程. 1. ?曲线与方程:在直角坐标系中,如果某曲线 C 上的 与一个二元方程 f ( x, y) ? 0 的实数建立了如下关 系: ① 曲线上的点的坐标都是这个方程的解. ② 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形). ?曲线和方程的关系,实质上是曲线上任一点 M ( x, y ) 其坐标与方程 f ( x, y) ? 0 的一种关系,曲线上任一 点 ( x, y ) 是方程 f ( x, y) ? 0 的解;反过来,满足方程 f ( x, y) ? 0 的解所对应的点是曲线上的点. 注:如果曲线 C 的方程是 f(x ,y)=0,那么点 P0(x0 ,y)线 C 上的充要条件是 f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程:以点 C (a, b) 为圆心, r 为半径的圆的标准方程是 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . 特例:圆心在坐标原点,半径为 r 的圆的方程是: x 2 ? y 2 ?r 2 . 注:特殊圆的方程:① x 轴相切的圆方程 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?b 2 与 ② y 轴相切的圆方程 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?a 2 与 ③ x 轴 y 轴都相切的圆方程 ( x ? a) 2 ?( y ? a) 2 ?a 2 与 3. 圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .

[r ? b , 圆心(a, b)或(a,?b)]

[r ? a , 圆心(a, b)或(?a, b)]

[r ? a , 圆心(?a,?a)]

2 2 当 D ? E ?4 F ? 0 时,方程表示一个圆,其中圆心 C ? ?

? D E? ,? ? ,半径 r ? 2? ? 2

D 2 ? E 2 ?4 F . 2

2 2 当 D ? E ?4 F ? 0 时,方程表示一个点 ? ?

? D E? ,? ? . 2? ? 2

2 2 当 D ? E ?4 F ? 0 时,方程无图形(称虚圆).

注:①圆的参数方程: ?

? x ? a ? r cos? ( ? 为参数). ? y ? b ? r sin?

②方程 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的充要条件是:B ? 0 且 A ? C ? 0 且 D 2 ? E 2 ?4 AF ? 0 . ③圆的直径或方程:已知 A( x1 , y 1 ) B( x 2 , y 2 ) ? ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? ( y ? y 1 )( y ? y 2 ) ? 0 (用向量可征). 4. 点和圆的位置关系:给定点 M ( x 0 , y 0 ) 及圆 C : ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . ①M 在圆 C 内 ? ( x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2

( ② M 在圆 C 上 ? x 0 ?a) ?( y 0 ?b) ?r
2 2

2

③ M 在圆 C 外 ? ( x 0 ?a) ?( y 0 ?b) ?r
2 2

2

18

5. 直线和圆的位置关系: 设圆圆 C : ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 (r ? 0) ; 直线 l : Ax ? By ? C ? 0( A 2 ? B 2 ? 0) ;

圆心 C (a, b) 到直线 l 的距离 d ? ① d ? r 时, l 与 C 相切; 附:若两圆相切,则 ?

Aa ? Bb ? C A2 ?B 2

.

? x 2 ? y 2 ? D1 x ? E 1 y ? F 1? 0 ? ?x 2 ? y 2 ? D 2 x ? E 2 y ? F 2? 0 ?

? 相减为公切线方程.

② d ? r 时, l 与 C 相交; 附:公共弦方程:设 C1:x 2 ? y 2 ? D1x ? E1y ? F 1? 0

C 2 :x 2 ? y 2 ? D 2 x ? E 2 y ? F 2? 0 有两个交点,则其公共弦方程为 ( D1 ? D 2 ) x ? ( E 1 ? E 2 ) y ? ( F 1? F 2 ) ? 0 .
③ d ? r 时, l 与 C 相离. 附:若两圆相离,则 ?

? x 2 ? y 2 ? D1 x ? E 1 y ? F 1? 0 ? ?x 2 ? y 2 ? D 2 x ? E 2 y ? F 2? 0 ?

? 相减为圆心 O 1 O 2 的连线的中与线方程.

由代数特征判断:方程组 ? 别式为 ? ,则:

?( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 ? 用代入法,得关于 x (或 y )的一元二次方程,其判 ? Ax ? Bx ? C ? 0 ?

? ? 0 ? l 与 C 相切; ? ? 0 ? l 与 C 相交; ? ? 0 ? l 与 C 相离.
注:若两圆为同心圆则 x 2 ? y 2 ? D1 x ? E 1y ? F 1? 0 , x 2 ? y 2 ? D 2 x ? E 2 y ? F 2 ? 0 相减,不表示直线. 6. 圆的切线方程:圆 x ? y ?r 的斜率为 k 的切线方程是 y ? kx ? 1?k 2 r 过圆 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2 2

上一点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为: x 0 x ? y 0 y ? D

x ?x 0 y ?y0 ?E ?F ?0. 2 2

①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上,则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地,过圆 x 2 ? y 2 ?r 2 上一点

A
P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为 x 0 x ? y 0 y ?r .
2

? y 1 ? y 0 ? k ( x1 ? x 0 ) ? b ? y 1 ?k (a ? x 1 ) ,联立求出 k ? 切线方程. ②若点(x0 ,y0)不在圆上,圆心为(a,b)则 ? B ?R ? R 2 ?1 ?

C D (a,b)

7. 求切点弦方程: 方法是构造图, 则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图: ABCD 四类共圆. 已知 ?O 的 方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 …① 又以 ABCD 为圆为方程为 ( x ? x A )( x ? a) ? ( y ? y A )( x ? b) ?k 2 …②
2 2

R2?

( x A ?a) 2 ?( y A ?b) 2 …③,所以 BC 的方程即③ 代② ,① 相切即为所求. ② 4
19

高中数学总复习(八)
I. 基础知识要点
一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义:
PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为椭圆, PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 无轨迹, PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2为端点的线段

? 椭圆的标准方程: ①
2 2 2 2 i. 中心在原点, 焦点在 x 轴上: x ? y ? 1(a ? b ? 0) . ii. 中心在原点, 焦点在 y 轴上: y ? x ? 1(a ? b ? 0) . 2 2 2 2

a

b

a

b

② 一般方程: Ax2 ? By 2 ? 1( A ? 0, B ? 0) .③椭圆的标准参数方程:

x2 a
2

?

y2 b
2

? x ? a cos? ? 1 的参数方程为 ? ? y ? b sin?

(一象限 ? 应是属于 0 ? ? ?

?

2 ( ( ? 顶点: ? a,0)(0,?b) 或 (0,? a )(?b,0) .② 对称轴: 轴,y 轴; ① 轴: x 长轴长 2a , 短轴长 2b .③ 焦点: ?c,0)(c,0)
或 (0,?c)(0, c) .④焦 距 : F 1F 2 ? 2c, c ? a 2 ?b 2 .⑤准 线 : x ? ?

).

a2 a2 或 y?? .⑥离 心 率 : c c

e?

c (0 ? e ? 1) .⑦焦点半径: a
x2 a2
x2 b2

i. 设 P( x 0 , y 0 ) 为椭圆

?

y2 b2
y2 a2

? 1( a ? b ? 0) 上的一点, F 1,F 2 为左、右焦点,则PF1 ? a ? ex0 , PF 2 ? a ? ex0 ?

由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设 P( x 0 , y 0 ) 为椭圆

?

? 1(a ? b ? 0) 上的一点, F 1,F 2 为上、下焦点,则 PF1 ? a ? ey0, PF2 ? a ? ey0?

由椭圆方程的第二定义可以推出. 由椭圆第二定义可知: pF1 ? e( x0 ? a ) ? a ? ex0 ( x0 ? 0), pF2 ? e( a ? x0 ) ? ex0 ?a( x0 ? 0) 归结起来为―左加 c c ▲
y
2 2

右减‖. 注意:椭圆参数方程的推导:得 N (a cos? , b sin? ) ? 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径:垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标: d ? ?共 离 心 率 的 椭 圆 系 的 方 程 : 椭 圆
2 2
2

( bcos? , bsin? ) ( acos? , asin? ) Nx

2b a

2

( ?c,

b b ) 和 (c, ) a a
N的轨迹是椭圆

x

2

a2

?

y

2

b2

c ? 1( a ? b ? 0) 的 离 心 率 是 e ? (c ? a 2 ?b 2 ) , 方 程 a c 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. a

x2 a
2

?

y2 b
2

? t (t 是大于 0 的参数, a ? b ? 0) 的离心率也是 e ? x2 a
2

?若 P 是椭圆:

?

y2 b
2

? 1 上的点. F 1,F 2 为焦点, ?F 1PF 2 ? ? , ?PF1F 2 的面积为 b 2 tan (用 若 则 2

?

余弦定理与 PF1 ? PF 2 ? 2a 可得). 若是双曲线,则面积为 b 2 ? cot 20

?
2

.

二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义:
PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为双曲线 PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 无轨迹 PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2 的一个端点的一条射线

? 双曲线标准方程: ① ? i. 焦点在 x 轴上: ① 顶点:(a,0), (? a,0)

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a, b ? 0),

y2 a2

?

x2 b2

? 1(a, b ? 0) . 一般方程: Ax2 ?Cy 2 ? 1( AC ? 0) .

焦点:(c,0), (?c,0)

准线方程 x ? ?

a2 x2 y2 x y ? ?0 渐近线方程: ? ? 0 或 c a b a2 b2 a2 . 渐近线方程: c

ii. 焦点在 y 轴上:顶点: (0,? a ), (0, a ) .

焦点: (0, c), (0,?c) . 准线方程: y ? ?

? x ? a sec? ? x ? b tan ? y2 x2 y x 或? . ? ? 0 或 2 ? 2 ? 0 ,参数方程: ? a b a b ? y ? b tan ? ? y ? a sec?
② x, y 为对称轴,实轴长为 2a, 虚轴长为 2b,焦距 2c. 轴 离) 通径 ; ③ 离心率 e ?

c . a

④ 准线距

2a 2 (两准线的距 c

2b 2 x2 y2 c . ⑤ 参数关系 c 2 ?a 2 ?b 2 , e ? . ⑥ 焦点半径公式: 对于双曲线方程 2 ? 2 ? 1 F 1,F 2 ( a a a b

分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点) “长加短减”原则:

MF1 ? ex 0 ?a MF 2 ? ex 0 ?a

构成满足 MF1 ? MF 2 ? 2a

M ?F 1 ? ?ex 0 ?a M ?F 2 ? ?ex 0 ? a


(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带

符号计算,而双曲线不带符号)

y



y F1 M x x

MF 1 ? ey 0 ? a MF 2 ? ey 0 ? a ? M ?F 1 ? ?ey 0 ? a ? M ?F 2 ? ?ey 0 ? a
F1

M'

M

F2 M' F2

? 等轴双曲线:双曲线 x 2 ? y 2 ? ?a 2 称为等轴双曲线,其渐近线方程为 y ? ? x ,离心率 e ? 2 . ?共 轭 双 曲 线 : 以 已 知 双 曲 线 的 虚 轴 为 实 轴 , 实 轴 为 虚 轴 的 双 曲 线 , 叫 做 已 知 双 曲 线 的 共 轭 双 曲 线.

x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? 2 ? ? 与 2 ? 2 ? ?? 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线: 2 ? 2 ? 0 . a2 b a b a b x2 a2 ? y2 b2 ? ? (? ? 0) 的渐近线方程为 x2 a2 ? y2 b2 ? 0 如果双曲线的渐近线为

?共渐近线的双曲线系方程:

x2 y2 x y ? ? 0 时,它的双曲线方程可设为 2 ? 2 ? ? (? ? 0) . a b a b
例如:若双曲线一条渐近线为 y ?

1 1 x 且过 p(3,? ) ,求双曲线的方程? 2 2
4



y

3

2 1
x

21

F1

53
F2

3

解:令双曲线的方程为:

x2 y2 1 x2 ? ? 1. ? y 2 ? ? (? ? 0) ,代入 (3,? ) 得 8 2 2 4

?直线与双曲线的位置关系: 区域①:无切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域②:即定点在双曲线上,1 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 3 条; 区域③:2 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 4 条; 区域④:即定点在渐近线上且非原点,1 条切线,1 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线. 小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条. (2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入 ” “? 法与渐近线求交和两根 之和与两根之积同号. ?若 P 在双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1 ,则常用结论 1:P 到焦点的距离为 m = n,则 P 到两准线的距离比为 m︰n.

PF 1 d1 ? e 简证: d2 PF 2 e

=

m . n

常用结论 2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b. 三、抛物线方程. 3. 设 p ? 0 ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:
y 2 ? 2 px
y 2 ? ?2 px


x 2 ? 2 py
y


x 2 ? ?2 py


图形



y

y

y

x O

x O

x O
O

x

焦点

F(
准线

p ,0) 2

F (? x?

p ,0) 2

F (0,

p ) 2

F (0,? y?

p ) 2

范围 对称轴 顶点 离心率 焦点

p 2 x ? 0, y ? R x??

p 2 x ? 0, y ? R

p 2 x ? R, y ? 0 y??
(0,0)

p 2 x ? R, y ? 0

x轴

y轴 e ?1

PF ?
2

p ? x1 2

PF ?

p ? x1 2

PF ?

p ? y1 2

PF ?

p ? y1 2

注:① ay ?by ? c ? x 顶点 (

4ac ?b 2 b ? ). 4a 2a
2 2

2 2 ② y ? 2 px( p ? 0) 则焦点半径 PF ? x ? P ; x ? 2 py( p ? 0) 则焦点半径为 PF ? y ? P .

③通径为 2p,这是过焦点的所有弦中最短的.

22

④ y 2 ? 2 px (或 x 2 ? 2 py )的参数方程为 ? 四、圆锥曲线的统一定义..

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(或 ?

? x ? 2 pt ? y ? 2 pt
2

) t 为参数). (

4. 圆锥曲线的统一定义:平面内到定点 F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹. 当 0 ? e ? 1时,轨迹为椭圆; 当 e ? 1 时,轨迹为抛物线; 当 e ? 1 时,轨迹为双曲线; 当 e ? 0 时,轨迹为圆( e ?

c ,当 c ? 0, a ? b 时). a

5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如:椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的. 因为具有对称性,所以欲证 AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可.

高中数学总复习(九)
I. 基础知识要点
一、 平面. 1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 注:两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内. 2. 两个平面可将平面分成 3 或 4 部分.(①两个平面平行,②两个平面相交) 3. 过三条互相平行的直线可以确定 1 或 3 个平面.(①三条直线在一个平面内平行,②三条直线不在一个平 面内平行) [注]:三条直线可以确定三个平面,三条直线的公共点有 0 或 1 个. 4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.(X、Y、Z 三个方向) 二、 空间直线. 1. 空间直线位置分三种:相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点;平行直线—共面没有 公共点;异面直线—不同在任一平面内 [注]:①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.(×) (可能两条直线平行,也可能是点和 直线等) ②直线在平面外,指的位置关系:平行或相交 ③若直线 a、b 异面,a 平行于平面 ? ,b 与 ? 的关系是相交、平行、在平面 ? 内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.(×) (射影不一定只有直线,也可以是其他图形) ⑥在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等.(×) (并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜 .. 线段) ⑦ a, b 是夹在两平行平面间的线段,若 a ? b ,则 a, b 的位置关系为相交或平行或异面. 2. 异面直线判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.(不在任 何一个平面内的两条直线) 3. 平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 4. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等(如下图).

1 2 方向相同

1

2

? ? (直线与直线所成角 ? ? ?0 ,90 ?) (斜线与平面成角 ? ? ?0 ,90 ? )
? ?

(二面角的取值范围 ? ? 0? ,180? )
? ?

(直线与平面所成角 ? ? 0? ,90? )
方向不相同

?

?

23

(向量与向量所成角 ? ? [0 ? ,180? ]) 推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成锐角(或直角)相等. 5. 两异面直线的距离:公垂线的长度. 空间两条直线垂直的情况:相交(共面)垂直和异面垂直.

l1 , l 2 是异面直线,则过 l1 , l 2 外一点 P,过点 P 且与 l1 , l 2 都平行平面有一个或没有,但与 l1 , l 2 距离相等的
点在同一平面内. ( L 1 或 L 2 在这个做出的平面内不能叫 L 1 与 L 2 平行的平面) 三、 直线与平面平行、直线与平面垂直. 1. 空间直线与平面位置分三种:相交、平行、在平面内. 2. 直线与平面平行判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面 平行.( “线线平行,线面平行” ) [注]:①直线 a 与平面 ? 内一条直线平行,则 a ∥ ? . (×) (平面外一条直线) ②直线 a 与平面 ? 内一条直线相交,则 a 与平面 ? 相交. (×) (平面外一条直线) ③若直线 a 与平面 ? 平行,则 ? 内必存在无数条直线与 a 平行. (√) (不是任意一条直线,可利用平行 的传递性证之) ④两条平行线中一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面. (×) (可能在此平面内) ⑤平行于同一直线的两个平面平行.(×) (两个平面可能相交) ⑥平行于同一个平面的两直线平行.(×) (两直线可能相交或者异面) ⑦直线 l 与平面 ? 、 ? 所成角相等,则 ? ∥ ? .(×) ? 、 ? 可能相交) ( 3. 直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么 这条直线和交线平行.( “线面平行,线线平行” ) 4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直,过一点有且只有一条直线和一个平面垂直,过一点 有且只有一个平面和一条直线垂直. ? ? 若 PA ⊥ ? , a ⊥ AO ,得 a ⊥ PO (三垂线定理) ,
O A P

得不出 ? ⊥ PO . 因为 a ⊥ PO ,但 PO 不垂直 OA. 三垂线定理的逆定理亦成立.

a

直线与平面垂直的判定定理一:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这两条直线垂直 于这个平面.( “线线垂直,线面垂直” ) 直线与平面垂直的判定定理二:如果平行线中一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. 推论:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. [注]:①垂直于同一平面的两个平面平行.(×) (可能相交,垂直于同一条直线的两个平面平行) .... ..... ②垂直于同一直线的两个平面平行.(√) (一条直线垂直于平行的一个平面,必垂直于另一个平面) ③垂直于同一平面的两条直线平行.(√) 5. ?垂线段和斜线段长定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中,①射影相等的两条斜线 .. 段相等,射影较长的斜线段较长;②相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段射影较长;③垂线段比任何 一条斜线段短. [注]:垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.(×)] ?射影定理推论:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这点在平面内的射影在这个角 的平分线上 四、 平面平行与平面垂直. 1. 空间两个平面的位置关系:相交、平行. 2. 平面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,哪么这两个平面平行.( “线 面平行,面面平行” ) 推论:垂直于同一条直线的两个平面互相平行;平行于同一平面的两个平面平行. 24

[注]:一平面间的任一直线平行于另一平面. 3. 两个平面平行的性质定理:如果两个平面平行同时和第三个平面相交,那么它们交线平行.( “面面平行, 线线平行” ) 4. 两个平面垂直性质判定一:两个平面所成的二面角是直二面角,则两个平面垂直. 两个平面垂直性质判定二: 如果一个平面与一条直线垂直, 那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.( “线 面垂直,面面垂直” ) 注:如果两个二面角的平面对应平面互相垂直,则两个二面角没有什么关系. 5. 两个平面垂直性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个 P 平面. 推论:如果两个相交平面都垂直于第三平面,则它们交线垂直于第三平面. 证明:如图,找 O 作 OA、OB 分别垂直于 l 1 ,l 2 , 因为 PM ? ? , OA ? ? , PM ? ? , OB ? ? 则 PM ? OA, PM ? OB . 6. 两异面直线任意两点间的距离公式: l ? 综上,都取加则必有 ? ? ? 0,
θ

?
B M A O

?

m 2 ? n 2 ? d 2 ? 2mncos? ( ? 为锐角取加, ? 为钝取减,

?) ? 2? 7. ?最小角定理: cos? ? cos? 1 cos? 2 ( ? 1 为最小角,如图)
?最小角定理的应用(∠PBN 为最小角) 简记为:成角比交线夹角一半大,且又比交线夹角补角一半长,一定有 4 条. 成角比交线夹角一半大,又比交线夹角补角小,一定有 2 条. 成角比交线夹角一半大,又与交线夹角相等,一定有 3 条或者 2 条. 成角比交线夹角一半小,又与交线夹角一半小,一定有 1 条或者没有. 五、 棱锥、棱柱. 1. 棱柱. ?①直棱柱侧面积: S ? Ch ( C 为底面周长, h 是高)该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的. ②斜棱住侧面积: S ? C1l ( C1 是斜棱柱直截面周长, l 是斜棱柱的侧棱长)该公式是利用斜棱柱的侧面 展开图为平行四边形得出的. ?{四棱柱} ? {平行六面体} ? {直平行六面体} ? {长方体} ? {正四棱柱} ? {正方体}. {直四棱柱} ? {平行六面体}={直平行六面体}.
四棱柱 底面是 平行四边形 平行六面体 侧棱垂直 底面 直平行六面体 底面是 矩形 长方体 底面是 正方形 正四棱柱 侧面与 正方体 底面边长相等
θ θ1 θ2
图2 图1

?

??

?棱柱具有的性质: ①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等;直棱柱的各个侧面都是矩形;正棱柱的各个侧面 ........ 都是全等的矩形. ..... ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形. .. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. 注:①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. (×) (直棱柱不能保证底面是钜形可如图) ②(直棱柱定义)棱柱有一条侧棱和底面垂直. ?平行六面体: 定理一:平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平分. ............. [注]:四棱柱的对角线不一定相交于一点. 定理二:长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.

25

推论一:长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为 ? , ? , ? ,则 cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1 . 推论二:长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为 ? , ? , ? ,则 cos 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? 2 . [注]:①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.(×) (斜四面体的两个平行的平面可以为矩形) ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.(×) (应是各侧面都是正方形的直棱柱才行) . ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.(×) (只能推出对角线相等,推不出底面为矩形) ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. (两条边可能相交,可 能不相交,若两条边相交,则应是充要条件) 2. 棱锥:棱锥是一个面为多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形. [注]:①一个棱锥可以四各面都为直角三角形. ②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥;所以 V 棱柱 ? Sh ? 3V棱柱 . ?①正棱锥定义:底面是正多边形;顶点在底面的射影为底面的中心. [注]:i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.(不是等边三角形) ii. 正四面体是各棱相等,而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等 iii. 正棱锥定义的推论:若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形(即侧棱相等) ;底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积: S ?

1 Ch ' (底面周长为 C ,斜高为 h ' ) 2

③棱锥的侧面积与底面积的射影公式: S 侧 ? 附:
a l b

S底 cos?

(侧面与底面成的二面角为 ? )

c

以知 c ⊥ l , cos ? ? a ? b , ? 为二面角 a ? l ? b . 则 S1 ?

1 1 a ? l ①, S 2 ? l ? b ②, cos ? ? a ? b ③ 2 2

? ①②③得 S 侧 ?

S底 cos?

.

注:S 为任意多边形的面积(可分别多个三角形的方法). ?棱锥具有的性质: ①正棱锥各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等(它叫做正棱锥的斜 高). ②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形,正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射 影也组成一个直角三角形. ?特殊棱锥的顶点在底面的射影位置: ①棱锥的侧棱长均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直,则顶点在底面的射影为三角形垂心. ⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直,则顶点在底面上的射影为三角形的垂心. ⑦每个四面体都有外接球,球心 0 是各条棱的中垂面的交点,此点到各顶点的距离等于球半径; ⑧每个四面体都有内切球,球心 I 是四面体各个二面角的平分面的交点,到各面的距离等于半径. [注]:i. 各个侧面都是等腰三角形,且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.(×) (各个侧面的等腰三角形不知 是否全等)
a c B C A b

26

D

ii. 若一个三角锥,两条对角线互相垂直,则第三对角线必然垂直. 简证:AB⊥CD,AC⊥BD ? BC⊥AD. 令 AB ? a, AD ? c, AC ? b 得 BC ? AC ? AB ? b ? a, AD ? c ? BC ? AD ? bc ? ac ,已知 a ? c ? b ? 0, b ? a ? c ? 0
E

? ?

? ?

D F

? ac ? bc ? 0 则 BC ? AD ? 0 .
iii. 空间四边形 OABC 且四边长相等,则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. iv. 若是四边长与对角线分别相等,则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. EFGH 为平行四边形 ? EFGH 为长方形.若对角线等,则 EF ? FG ? EFGH 为正方形. 3. 球:?球的截面是一个圆面.
2 ①球的表面积公式: S ? 4?R .

A H B

O' G

C

简证:取 AC 中点 O' ,则 oo ? ? AC, BO ? ? AC ? AC ? 平面 OO ?B ? AC ? BO ? ?FGH ? 90°易知

②球的体积公式: V ? ?纬度、经度:

4 3 ?R . 3

①纬度:地球上一点 P 的纬度是指经过 P 点的球半径与赤道面所成的角的度数. ②经度:地球上 A, B 两点的经度差,是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度 数,特别地,当经过点 A 的经线是本初子午线时,这个二面角的度数就是 B 点的经度.
2 附:①圆柱体积: V ? ?r h ( r 为半径, h 为高)

②圆锥体积: V ? ③锥形体积: V ?

1 2 ?r h ( r 为半径, h 为高) 3 1 Sh ( S 为底面积, h 为高) 3
6 3 2 3 2 a , S 底? a , S 侧? a 3 4 4
O r

4. ①内切球:当四面体为正四面体时,设边长为 a, h ? 得

3 2 6 3 2 1 3 2 2 4 2 6 a ? a? a ?R ? ? a ?R ? R ? a/ 3? a? 3 ? a. 4 3 4 3 4 4 3 4 4

注:球内切于四面体: V B? ACD ?

1 1 ?S侧 ?R ? 3 ? S底 ?R ?S底 ?h 3 3

R

O

②外接球:球外接于正四面体,可如图建立关系式. 六. 空间向量. 1. (1)共线向量:共线向量亦称平行向量,指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合. 注:①若 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线.(×) ②向量 a, b, c 共面即它们所在直线共面.(×) [可能异面] ③若 a ∥ b ,则存在小任一实数 ? ,使 a ? ? b .(×)[与 b ? 0 不成立] ④若 a 为非零向量,则 0 ? a ? 0 .(√)[这里用到 ?b(b ? 0) 之积仍为向量] [当 b ? 0 时,不成立]

27

(2)共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b(b ? 0) , a ∥ b 的充要条件是存在实数 ? (具有唯一性) , 使 a ? ?b . (3)共面向量:若向量 a 使之平行于平面 ? 或 a 在 ? 内,则 a 与 ? 的关系是平行,记作 a ∥ ? . (4)①共面向量定理:如果两个向量 a, b 不共线,则向量 P 与向量 a, b 共面的充要条件是存在实数对 x、 y 使 P ? xa ? yb . ②空间任一点 O 和不共线三点 A、B、C,则 OP ? xOA? yOB ? zOC( x ? y ? z ? 1) 是 PABC 四点共面的 ... . ...... ..... 充要条件.(简证: OP ? (1 ? y ? z)OA? yOB ? zOC ? AP ? y AB ? z AC ? P、A、B、C 四点共面) 注:① 是证明四点共面的常用方法. ② 2. 空间向量基本定理:如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间任一向量 P ,存在一个唯一的有序实数组 .... ... x、y、z,使 p ? xa ? yb ? zc . 推论:设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P, 都存在唯一的有序实数组 x 、 y 、 z 使

OP ? xOA? yOB ? zOC (这里隐含 x+y+z≠1).
注:设四面体 ABCD 的三条棱, AB ? b, AC ? c, AD ? d , 其
B

A

D G M C

中 Q 是△BCD 的重心,则向量 AQ ?

1 (a ? b ? c) 用 AQ ? AM ? MQ 即证. 3

3. (1)空间向量的坐标:空间直角坐标系的 x 轴是横轴(对应为横坐标) 轴是纵轴(对应为纵轴) ,y ,z 轴是竖轴(对应为竖坐标). ① a =(a1,a2,a3), b ? (b1 , b2 , b3 ) ,则 令

a ? b ? (a1 ?b1 ,a 2 ?b 2 ,a 3 ?b 3 )

? a ? (?a1 , ?a 2 , ?a 3 )(? ? R)
a1 a 2 a 3 ? ? b1 b 2 b 3

a ? b ?a1 b1 ?a 2 b 2 ?a 3 b 3 a ? b ?a1 b1 ?a 2 b 2 ?a 3 b 3 ? 0
2

a ∥b ?a1 ? ?b1 ,a 2 ? ?b 2 ,a 3 ? ?b 3 (? ? R) ?
a ? a ? a ? a 1 2 ?a 2 2 ?a 3
2

(用到常用的向量模与向量之间的转化: a ? a ? a ? a ?

a?a )

? ? a1b1 ? a 2 b2 ? a3b3 ? ? a ?b cos ? a, b ?? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 | a |?|b | a1 ? a 2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3
②空间两点的距离公式: d ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 .

28

(2)法向量:若向量 a 所在直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平面 ? ,记作 a ? ? ,如果 a ? ? 那 么向量 a 叫做平面 ? 的法向量. (3)用向量的常用方法: ①利用法向量求点到面的距离定理: 如图, n 是平面 ? 的法向量, 是平面 ? 的一条射线, 设 AB 其中 A ?? , 则点 B 到平面 ? 的距离为

| AB? n | |n|

.

②利用法向量求二面角的平面角定理: n 1 , n 2 分别是二面角 ? ? l ? ? 中平面 ? , ? 的法向量, n 1 , n 2 所 设 则 成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小( n 1 , n 2 方向相同,则为补角, n 1 , n 2 反方,则为其夹角). ③证直线和平面平行定理:已知直线 a ?? 平面 ? , A ? B ? a, C ? D ? ? ,且 CDE 三点不共线,则 a∥ ? 的 充要条件是存在有序实数对 ? ? ? 使 AB ? ?CD ? ?CE .(常设 AB ? ?CD ? ?CE 求解 ? , ? 若 ? , ? 存在 即证毕,若 ? , ? 不存在,则直线 AB 与平面相交).
A n


B

B

?
C A



n1

C

D E

? n2

?

?

II. 竞赛知识要点
一、四面体. 1. 对照平面几何中的三角形,我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质: ①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点,这一点叫做此四面体的外接球的球心; ②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点,这一点叫做此四面体的内接球的球心; ③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点,这一点叫做此四面体的重心,且重心将每条连线分 为 3︰1; ④12 个面角之和为 720° ,每个三面角中任两个之和大于另一个面角,且三个面角之和为 180° . 2. 直角四面体:有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体,相当于平面几何的直角三角 形. (在直角四面体中,记 V、l、S、R、r、h 分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内 切球半径及侧面上的高) ,则有空间勾股定理:S △ABC+S2△BCD+S2△ABD=S2△ACD. 3. 等腰四面体:对棱都相等的四面体称为等腰四面体,好象平面几何中的等腰三角形.根据定义不难证明以 长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体,反之也可以将一个等腰四面体拼 补成一个长方体. (在等腰四面体 ABCD 中,记 BC = AD =a,AC = BD = b,AB = CD = c,体积为 V,外接球半径为 R,内 接球半径为 r,高为 h) ,则有 ①等腰四面体的体积可表示为 V ?
B
2

1 3

b ?c ?a c ? a ?b a ?b ?c ; ? ? 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2

O D

2 ②等腰四面体的外接球半径可表示为 R ? 4

a ?b ?c ;
2 2 2

A

③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等,且可表示为 m ? 29

2 3

a 2 ?b 2 ? c 2 ;

C

④h = 4r. 二、空间正余弦定理. 空间正弦定理:sin∠ABD/sin∠A-BC-D=sin∠ABC/sin∠A-BD-C=sin∠CBD/sin∠C-BA-D 空间余弦定理:cos∠ABD=cos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠A-BC-D

高中数学总复习(九)
复习内容:高中数学第十章-排列组合 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可以有重复元素的排列. ....... 从 m 个不同元素中, 每次取出 n 个元素, 元素可以重复出现, 按照一定的顺序排成一排, 那么第一、 第二…… 第 n 位上选取元素的方法都是 m 个, 所以从 m 个不同元素中, 每次取出 n 个元素可重复排列数 m·m·… m = mn.. 例如:n 件物品放入 m 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? 二、排列. 1. ? 对排列定义的理解. 定义:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m ...... 个元素的一个排列. ? 相同排列. 如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同. ? 排列数. 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素排成一列,称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. 从 n
m 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数,用符号 An 表示.

(解: m 种)

n

? 排列数公式:

A m ? n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) ?
注意: n ? n! ? (n ? 1)!?n!

n! ( m ? n, n, m ? N ) (n ? m)!

规定 0! = 1
m m An ? nAn??1 1

m 1 1 An?1 ? Am ? Am ?C m?n ? Am ?mAm?n n m n

0 规定 C n ?C n ? 1 n

2. 含有可重元素的排列问题. ...... 对含有相同元素求排列个数的方法是: 设重集 S 有 k 个不同元素 a1, 2,…...an 其中限重复数为 n1、 2……nk, a n 且 n = n1+n2+……nk , 则 S 的排列个数等于 n

?

n! . n1!n2 !...nk !

例如:已知数字 3、2、2,求其排列个数 n ? 数 n ? 3! ? 1 . 3!

(1 ? 2)! ? 3 又例如:数字 5、5、5、求其排列个数?其排列个 1!2!

三、组合. 30

1. ? 组合:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 组合.
m ? 组合数公式: C m ? A n ? n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) n m

Am

m!

C m? n

n! m!(n ? m)!

? 两个公式:①C m ?C n?m ; n n

1 m ②C m?n ?C m ?C n ?1 n

① n 个不同元素中取出 m 个元素后就剩下 n-m 个元素, 从 因此从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是 一一对应的,因此是一样多的就是说从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素的唯一的一个组合. (或者从 n+1 个编号不同的小球中,n 个白球一个红球,任取 m 个不同小球其不同选法,分二类,一类是
1 1 含红球选法有 C m ?n ?C1 ?C m ?n 一类是不含红球的选法有 C m ) 1 n

② 根据组合定义与加法原理得;在确定 n+1 个不同元素中取 m 个元素方法时,对于某一元素,只存在取与 不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的 n 个元素中再取 m-1 个元素,所以有 C 一元素,则需从剩余 n 个元素中取出 m 个元素,所以共有 C ? 排列与组合的联系与区别. 联系:都是从 n 个不同元素中取出 m 个元素. 区别:前者是―排成一排‖,后者是―并成一组‖,前者有顺序关系,后者无顺序关系. ?①几个常用组合数公式
0 1 2 C n ?C n ?C n ???n ?2n n

m ?1 n ,如果不取这

m n

1 m 种,依分类原理有 C m?n ?C m ?C n ?1 . n

0 2 4 1 3 5 C n ?C n ?C n ? ? ?C n ?C n ?C n ? ? ? 2 n ?1 m C m ?C m ?1 ?C m ?m ?C m ?m ?C m ?m ?1 n 2 n n ?1

kC k ? nC k ?1 n n ?1 1 1 Ck? C k ?1 n n ?1 k ?1 n ?1
②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如: ii. 导数法.

1 2 3 n 1 n ?1 1 1 ? ? ?? ? 1? ? ? ) (利用 2! 3! 4! (n ? 1)! (n ? 1)! n! ( n ? 1)! n!
iv. 倒序求和法.

iii. 数学归纳法.

1 m 3 3 3 v. 递推法(即用 C m ?C m?n ?C n ?1 递推)如: C 3 ?C 4 ?C 5 ? ?C n ?C n ?4 . n 3 1
0 1 vi. 构造二项式. 如: (C n ) 2 ?(C n ) 2 ? ? ? (C n ) 2 ?C 2n n n

证明:这里构造二项式 ( x ? 1) n (1 ? x) n ? (1 ? x) 2n 其中 x 的系数,左边为
n
0 1 1 2 2 0 0 1 C n ?C n ?C n ?C n?n ?C n ?C n?n ? ? ?C n ?C n ? (C n ) 2 ?(C n ) 2 ? ? ? (C n ) 2 ,而右边 ?C 2 n n n n

n

四、排列、组合综合. 31

1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型: ① 直接法. ② 排除法. ③ 捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再考虑它们―局部‖ 的排列.它主要用于解决―元素相邻问题‖,例如,一般地,n 个不同元素排成一列,要求其中某 m(m ? n) 个 元素必相邻的排列有 A n?m?1 ? A m 个.其中 A n?m?1 是一个―整体排列‖,而 A m 则是―局部排列‖. n ?m?1 m n ? m?1 m
2 又例如①有 n 个不同座位,A、B 两个不能相邻,则有排列法种数为 An ? An?1 ? A2 . 1 2

②有 n 件不同商品,若其中 A、B 排在一起有 An?1 ? A2 . n?1 2
2 ③有 n 件不同商品,若其中有二件要排在一起有 An ? An?1 . n?1

注:①③区别在于①是确定的座位,有 A 2 种;而③的商品地位相同,是从 n 件不同商品任取的 2 个,有不 2 确定性. ④ 插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主要解决―元素不 相邻问题‖.
m 例如:n 个元素全排列,其中 m 个元素互不相邻,不同的排法种数为多少? An?m ? An?m?1 (插空法) ,当 n n ?m

– m+1≥m, 即 m≤ n ? 1 时有意义.

2
⑤ 占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一般元素;从位置的特 殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置.即采用―先特殊后一般‖的解题原则. ⑥ 调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将 n 个元素进行全排列有 A n 种, m(m ? n) n 个元素的全排列有 A m 种,由于要求 m 个元素次序一定,因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起 m

到去调序的作用,即若 n 个元素排成一列,其中 m 个元素次序一定,共有

An n Am m

种排列方法.

例如:n 个元素全排列,其中 m 个元素顺序不变,共有多少种不同的排法? 解法一: (逐步插空法) (m+1) (m+2)…n = n!/ m! ;解法二: (比例分配法)

An / Am . n m
.

⑦平均法:若把 kn 个不同元素平均分成 k 组,每组 n 个,共有

n C kn ?C ( k ?1)n ?C n n n

Ak k

例如:从 1,2,3,4 中任取 2 个元素将其平均分成 2 组有几种分法?有

C2 4 ? 3 (平均分组就用不着管组 2!

与组之间的顺序问题了) 又例如将 200 名运动员平均分成两组, 其中两名种子选手必在一组的概率是多少? (P?
8 2 C18C 2 10 C 20 / 2!



注意:分组与插空综合. 例如:n 个元素全排列,其中某 m 个元素互不相邻且顺序不变,共有多少种排法?
m 有 An?m ? An?m?1 / Am ,当 n – m+1 ≥m, 即 m≤ n ? 1 时有意义. n ?m m

2

⑧隔板法:常用于解正整数解组数的问题. 32

例如: x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 12 的正整数解的组数就可建立组合模型将 12 个完全相同的球排成一列,在它们之 间形成 11 个空隙中任选三个插入 3 块摸板, 把球分成 4 个组.每一种方法所得球的数目依次为 x1 , x 2 , x 3 , x 4 显然 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 12 ,故( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )是方程的一组解.反之,方程的任何一组解 ( y1 , y 2 , y 3 , y 4 ) ,对 应着惟一的一种在 12 个球之间插入隔板的方式(如图所示)故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的
3 解的组数等于插隔板的方法数 C 11 .

x1 x2 x3 x4 注意: 若为非负数解的 x 个数, 即用 a1 , a 2 ,...a n 中 a i 等于 xi ? 1 , x1 ? x2 ? x3... ? xn ? A ? a1 ? 1 ? a2 ? 1 ? ...an ? 1 ? A , 有
n 进而转化为求 a 的正整数解的个数为 C A?1 . ?n

⑨定位问题:从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列规定某 r 个元素都包含在内,并且都排在某 r 个指定位置则有 A rr A k ? r . n?r 例如:从 n 个不同元素中,每次取出 m 个元素的排列,其中某个元素必须固定在(或不固定在)某一位置 上,共有多少种排法?
m 1 m?1 固定在某一位置上: m?1 ; (一类是不取出特殊元素 a, An?1 , 有 m An A n?1 不在某一位置上: m ? Am?1 或 An?1 ? Am?1 ? A n?1 n?1

一类是取特殊元素 a,有从 m-1 个位置取一个位置,然后再从 n-1 个元素中取 m-1,这与用插空法解决是一 样的) ⑩指定元素排列组合问题. i. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同的元素作排列(或组合) ,规定某 r 个元素都包含在内 。先 C 后 A
k? 策略,排列 C rr C n ? rr A k ;组合 C rr C k ? r . k n?r

ii. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列(或组合) ,规定某 r 个元素都不包含在内。先 C 后 A
k 策略,排列 C n ? r A k ;组合 C n ?k . k r

iii 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列(或组合) ,规定每个排列(或组合)都只包含某 r 个
k? ?s 元素中的 s 个元素。先 C 后 A 策略,排列 C rs C n ? rs A k ;组合 C rs C k ? r . k n

II. 排列组合常见解题策略: ①特殊元素优先安排策略;②合理分类与准确分步策略;③排列、组合混合问题先选后排的策略(处理排 列组合综合性问题一般是先选元素,后排列) ;④正难则反,等价转化策略;⑤相邻问题插空处理策略; ⑥不相邻问题插空处理策略;⑦定序问题除法处理策略;⑧分排问题直排处理的策略;⑨―小集团‖排列问 题中先整体后局部的策略;⑩构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题. ① 均匀不编号分组:将 n 个不同元素分成不编号的 m 组,假定其中 r 组元素个数相等,不管是否分尽,其 分法种数为 A/ Ar (其中 A 为非均匀不编号分组中分法数).如果再有 K 组均匀分组应再除以 A k . r k
2 4 例:10 人分成三组,各组元素个数为 2、4、4,其分法种数为 C10 C 8 C 4 / A2 ? 1575.若分成六组,各组人 4 2

1 1 2 2 2 数分别为 1、1、2、2、2、2,其分法种数为 C10 C 9 C 8 C 6 C 4 C 2 / A2 ? A4 2 2 4

② 非均匀编号分组: n 个不同元素分组, 各组元素数目均不相等, 且考虑各组间的顺序, 其分法种数为 A? Am m
2 3 例:10 人分成三组,各组人数分别为 2、3、5,去参加不同的劳动,其安排方法为: C10 ?C 8 ?C 5 ? A3 种. 5 3

2 3 若从 10 人中选 9 人分成三组,人数分别为 2、3、4,参加不同的劳动,则安排方法有 C 10 C 8 C 4 ? A3 种 5 3

33

③ 均匀编号分组:n 个不同元素分成 m 组,其中 r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序,其分法种数为

A / A r ? Am . r m
例:10 人分成三组,人数分别为 2、4、4,参加三种不同劳动,分法种数为 C 10 C 8 C 4 ? A3 3 2
2 4 4

A2

④非均匀不编号分组: n 个不同元素分成不编号的 m 组, 将 每组元素数目均不相同, 且不考虑各组间顺序, 不管是否分尽,其分法种数为 A ? C n 1 C n -2 … C n -k(m ? m ?... ? m ) m1 1 2 k -1
m

m

m

2 3 例:10 人分成三组,每组人数分别为 2、3、5,其分法种数为 C10 C 8 C 5 ? 2520若从 10 人中选出 6 人分成三 5
1 2 3 组,各组人数分别为 1、2、3,其分法种数为 C 10 C 9 C 7 ? 12600.

五、二项式定理.
0 1 r n 1. ? 二项式定理: (a ? b) n ?C n a n b 0 ?C n a n?1b ? ? ?C n a n?r b r ? ? ?C n a 0b n .

展开式具有以下特点: ① 项数:共有 n ?1项;
0 1 2 r ② 系数:依次为组合数 C n ,C n ,C n , ?,C n , ?,C n ; n

③ 每一项的次数是一样的,即为 n 次,展开式依 a 的降幕排列,b 的升幕排列展开. ? 二项展开式的通项.
r (a ? b) n 展开式中的第 r ? 1 项为: T r ?1?C n a n?r b r (0 ? r ? n, r ? Z ) .

? 二项式系数的性质. ① 在二项展开式中与首未两项―等距离‖的两项的二项式系数相等; ② 二项展开式的中间项二项式系数最大. ..... I. 当 n 是偶数时,中间项是第

n ? 1 项,它的二项式系数 C 2 最大; n 2 n ?1 n ?1 项和第 ? 1 项,它们的二项式系数 C 2 2
n ?1 n ?1 2 ?C 2 最大. n n

n

II. 当 n 是奇数时,中间项为两项,即第 ③ 系数和:
0 1 C n ?C n ? ? ?C n ?2 n n 0 2 4 1 3 C n ?C n ?C n ? ? ?C n ?C n ? ? ?2 n?1

附:一般来说 (ax ? by) n (a, b 为常数)在求系数最大的项或最小的项 时均可直接根据性质二求解. 当 ...........

? A k ? A k ?1 , ? A k ? A k ?1 或? ( A k 为T k ?1 的系数或系数的绝对值)的 a ? 1或 b ? 1 时,一般采用解不等式组 ? ? A k ? A k ?1 ? A k ? A k ?1
办法来求解. ?如 何 来 求 (a ? b ? c)
n
p q r 展 开 式 中 含 a b c 的 系 数 呢 ? 其 中 p, q, r ? N , 且 p ? q ? r ? n 把

r (a ? b ? c) n ? [(a ? b) ? c] n 视为二项式,先找出含有 C r 的项 C n (a ? b) n?r C r ,另一方面在 (a ? b) n?r 中
q p q r r q p q r n q q 含有 b 的项为 C n?r a n?r ?q b q ?C n?r a p b q , 故在 (a ? b ? c) 中含 a b c 的项为 C n C n?r a b c .其系数为

34

r C n C n ?q ? r

(n ? r )! n! n! p q ? ? ?C n C n ? p C r . r r! (n ? r )! q! (n ? r ? q )! r! q! p!

2. 近似计算的处理方法. 当 a 的绝对值与 1 相比很小且 n 不大时,常用近似公式 (1 ? a) n ? 1 ? na ,因为这时展开式的后面部分
2 3 n C n a 2 ?C n a 3 ? ? ?C n a n 很小,可以忽略不计。类似地,有 (1 ? a) n ? 1 ? na 但使用这两个公式时应注意 a

的条件,以及对计算精确度的要求.

高 中 数 学 总 复 习 (十 一 )
复习内容:高中数学第十一章-概率 第十二章-概率与统计

I. 基础知识要点
一、概率. 1. 概率:随机事件 A 的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值. 2. 等可能事件的概率: 如果一次试验中可能出现的结果有年 n 个, 且所有结果出现的可能性都相等, 那么, 每一个基本事件的概率都是

1 m ,如果某个事件 A 包含的结果有 m 个,那么事件 A 的概率 P (A)? . n n

3. ① 互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件 A、B 互斥,那么事件 A+B 发生(即 A、 B 中 有 一 个 发 生 ) 的 概 率 , 等 于 事 件 A 、 B 分 别 发 生 的 概 率 和 , 即 P(A+B)=P(A)+P(B) , 推 广 :
P ( A ?A 2 ? ? ?A n ) ? P ( A ) ? P ( A ) ? ? ? P ( A ) . 1 1 2 n

② 对立事件:两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如:从 1~52 张扑克牌中任取一张抽到―红 ............... 桃‖与抽到―黑桃‖互为互斥事件,因为其中一个不可能同时发生,但又不能保证其中一个必然发生,故不是 对立事件.而抽到―红色牌‖与抽到黑色牌―互为对立事件,因为其中一个必发生. 注意:i.对立事件的概率和等于 1: P(A)? P(A) ? P(A? A) ? 1 . ii.互为对立的两个事件一定互斥,但互斥不一定是对立事件. ③ 相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立 事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率, 等于每个事件发生的概率的积, P(A· 即 B)=P(A)· P(B). 由此, 当两个事件同时发生的概率 P(AB)等于这两个事件发生概率之和,这时我们也可称这两个事件为独立事 件.例如:从一副扑克牌(52 张)中任抽一张设 A:―抽到老 K‖;B:―抽到红牌‖则 A 应与 B 互为独立事件 [看上去 A 与 B 有关系很有可能不是独立事件,但 P(A)?
互斥 对立

4 1 26 1 1 .又事件 ? , P(B) ? ? , P(A)? P(B) ? 52 13 52 2 26
2 1 ,因此有 ? 52 26

AB 表 示 ― 既 抽 到 老 K 对 抽 到 红 牌 ‖ 即 ― 抽 到 红 桃 老 K 或 方 块 老 K‖ 有 P(A? B) ?
P (A ? P (B) P (A B) . ) ? ?

推广:若事件 A 1 ,A 2 , ? ,A n 相互独立,则 P (A1 ?A 2 ?A n ) ? P (A1 ) ? P (A2 ) ? P (An ) . 注意:i. 一般地,如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B, A 与 B, A 与 B 也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的. iii. 独立事件是对任意多个事件来讲, 而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件, 且这多个事件不能同时发 生,故这些事件相互之间必然影响,因此互斥事件一定不是独立事件.

④ 独立重复试验:若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这 n 次 试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 35

次的概率: P n (k) ?C k P k (1 ? P)n ?k . n 4. 对任何两个事件都有 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( A ? B) 二、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件: ① 试验可以在相同的情形下重复进行;② 试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;③ 每次试验总 是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量:如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散 型随机变量.若 ξ 是一个随机变量,a,b 是常数.则 ? ? a? ? b 也是一个随机变量.一般地,若 ξ 是随机变量,

f (x) 是连续函数或单调函数,则 f (? ) 也是随机变量.也就是说,随机变量的某些函数也是随机变量.
设离散型随机变量 ξ 可能取的值为: x 1 , x 2 , ? , x i , ? ξ 取每一个值 x 1 (i ? 1,2, ?) 的概率 P(? ? x i ) ? p i ,则表称为随机变量 ξ 的概率分布,简称 ξ 的分布列.

?
P

x1 p1

x2 p2

… …

xi pi

… …

有性质① p 1 ? 0, i ? 1,2, ? ;

② p1 ? p 2 ? ? ? p i ? ? ? 1 .

注意:若随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的变量叫做连续型随机变量.例如: ? ? [0,5] 即 ? 可以 取 0~5 之间的一切数,包括整数、小数、无理数. 3. ? 二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是: P(ξ ? k) ?C k p k q n ? k [其中 k ? 0,1, ? , n, q ? 1 ? p ] n 于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下:我们称这样的随机变量 ξ 服从二项分布,记作 ? ~B(n· ,其中 n, p) p 为参数,并记 Ck pk qn ? k ? b(k;n ? p) . n ? 二项分布的判断与应用. ① 二项分布,实际是对 n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复,且每次试验只有两 种结果,如果不满足此两条件,随机变量就不服从二项分布. ② 当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小,而每次抽取时又只有两种试验结果, 此时可以把它看作独立重复试验,利用二项分布求其分布列. 4. 几何分布:― ? ? k ‖表示在第 k 次独立重复试验时,事件第一次发生,如果把 k 次试验时事件 A 发生记 为 A k ,事 A 不发生记为 A k , P (Ak ) ? q ,那么 P(ξ ? k) ? P(A1 A 2 ? A k ?1 A k ) .根据相互独立事件的概率乘 法分式: P(ξ ? k) ? P(A1 )P(A 2 ) ? P(A k ?1 )P(Ak ) ?q k ?1p (k ? 1,2,3, ?) 于是得到随机变量 ξ 的概率分布列.

?
P

1 q

2 qp
k?1

3


2

k
q
k ?1


p

q p





我们称 ξ 服从几何分布,并记 g(k,p) ?q

p ,其中 q ? 1 ? p. k ? 1,2,3?

5. ? 超几何分布:一批产品共有 N 件,其中有 M(M<N)件次品,今抽取 n(1 ? n ? N ) 件,则其中的次

36

品数 ξ 是一离散型随机变量,分布列为 P (ξ ? k) ?

k k C M ?C Nn??M n CN

? (0 ? k ? M,0 ? n ? k ? N ? M) .〔分子是从 M

r 件次品中取 k 件,从 N-M 件正品中取 n-k 件的取法数,如果规定 m < r 时 C m ? 0 ,则 k 的范围可以写为

k=0,1,…,n.〕 ? 超几何分布的另一种形式:一批产品由 a 件次品、b 件正品组成,今抽取 n 件(1≤n≤a+b) ,则次品数 ξ 的分布列为 P (ξ ? k) ?

C k ?C n ? k a b C a ?n b

k ? 0,1,? , n. .

? 超几何分布与二项分布的关系. 设一批产品由 a 件次品、b 件正品组成,不放回抽取 n 件时,其中次品数 ξ 服从超几何分布.若放回式抽取, 则其中次品数 ? 的分布列可如下求得: a ? b 个产品编号, 把 则抽取 n 次共有 (a ? b) n 个可能结果, 等可能:

(η ? k) 含 C k a k b n ? k 个 结 果 , 故 P (η ? k) ? n

C k a k b n ?k n (a ? b) n

?C k ( n

a k a n ?k ) (1 ? ) , k ? 0 ,1 ,2 , , n , 即 ? ~ ? a?b a?b

a ) .[我们先为 k 个次品选定位置,共 C k 种选法;然后每个次品位置有 a 种选法,每个正品位置有 n a?b b 种选法] 可以证明:当产品总数很大而抽取个数不多时, P (ξ ? k) ? P (η ? k) ,因此二项分布可作为超几 B(n ?
何分布的近似,无放回抽样可近似看作放回抽样. 三、数学期望与方差. 1. 期望的含义:一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为

?
P

x1 p1

x2 p2

… …

xi pi

… …

则称 E? ? x 1 p 1 ? x 2 p 2 ? ? ? x n p n ? ? 为 ξ 的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映 了离散型随机变量取值的平均水平. 2. ? 随机变量 ? ? a? ? b 的数学期望: E? ? E (a? ? b) ? aE? ? b ① a ? 0 时, E (b) ? b ,即常数的数学期望就是这个常数本身. 当 ② a ? 1 时, E (? ? b) ? E? ? b ,即随机变量 ξ 与常数之和的期望等于 ξ 的期望与这个常数的和. 当 ③ b ? 0 时, E (a? ) ? aE? ,即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积. 当 ? 单点分布: E? ? c ?1 ? c 其分布列为: P(? ? 1) ? c . ? 两点分布: E? ? 0 ? q ? 1? p ? p ,其分布列为: + q = 1) (p ? 二项分布: E? ? ξ P 0 q 1 p

? k ? k!(n ? k )! p
n!

k

?q n ? k ? np 其分布列为

? ~ B(n, p) .(P 为发生 ? 的概率)
? 几何分布: E? ?

1 p

其分布列为 ? ~ q(k , p) .(P 为发生 ? 的概率)

3. 方 差 、 标 准 差 的 定 义 : 当 已 知 随 机 变 量 ξ 的 分 布 列 为 P(? ? x k ) ? p k (k ? 1,2, ?) 时 , 则 称 故 D? ? ( x1 ?E? ) 2 p1 ?( x 2 ?E? ) 2 p 2 ? ? ? ( x n ?E? ) 2 p n ? ? 为 ξ 的方差. 显然 D? ? 0 , ?? ?

D? . ?? 为 ξ 的根方差

或标准差.随机变量 ξ 的方差与标准差都反映了随机变量 ξ 取值的稳定与波动, 集中与离散的程度. D ? 越小, .. . 稳定性越高,波动越小. . .......... 4.方差的性质. 37

? 随机变量 ? ? a? ? b 的方差 D(? ) ? D(a? ? b) ?a 2 D? .(a、b 均为常数) ? 单点分布: D? ? 0 其分布列为 P(? ? 1) ? p ? 两点分布: D? ? pq 其分布列为: + q = 1) (p ? 二项分布: D? ? npq ? 几何分布: D? ? ξ P 0 q 1 p

q p2

5. 期望与方差的关系. ? 如果 E? 和 E? 都存在,则 E (? ? ? ) ? E? ? E? ? ξ 和 ? 是互相独立的两个随机变量,则 E (?? ) ? E? ? E? , D(? ? ? ) ? D? ? D? 设 ? 期望与方差的转化:D? ? E? 2?( E? ) 2 四、正态分布.(基本不列入考试范围) 1.密度曲线与密度函数:对于连续型随机变量 ξ,位于 x 轴上方,ξ 落在任一区间 [a, b) 内的概率等于它与 x 轴.直线 x ? a 与直线 x ? b 所围成的曲边梯形的面积 (如图阴影部分)的曲线叫 ξ 的密度曲线,以其作为 图像的函数 f (x) 叫做 ξ 的密度函数,由于― x ? (??,??) ‖ 是必然事件,故密度曲线与 x 轴所夹部分面积等于 1.
a b
( x?? )2 2? 2


? E (? ? E? ) ? E (? ) ? E ( E? )(因为 E? 为一常数) ? E? ? E? ? 0 .

y y=f(x)

x

2. ? 正态分布与正态曲线:如果随机变量 ξ 的概率密度为: f ( x) ?

1 2? ?

?

e

. ( x ? R, ? , ? 为常数,

且? ? 0) ,称 ξ 服从参数为 ?, ? 的正态分布,用 ? ~ N (?,? 2) 表示. f (x) 的表达式可简记为 N (?,? 2) , 它的密度曲线简称为正态曲线. ? 正态分布的期望与方差:若 ? ~ N (?,? 2) ,则 ξ 的期望与方差分别为: E? ? ? , D? ?? 2 . ? 正态曲线的性质. ① 曲线在 x 轴上方,与 x 轴不相交. ② 曲线关于直线 x ? ? 对称. ③ x ? ? 时曲线处于最高点,当 x 向左、向右远离时,曲线不断地降低,呈现出―中间高、两边低‖的钟形 当 曲线. ④ x < ? 时,曲线上升;当 x > ? 时,曲线下降,并且当曲线向左、向右两边无限延伸时,以 x 轴为渐 当 近线,向 x 轴无限的靠近. ⑤ ? 一定时, 当 曲线的形状由 ? 确定,? 越大, 曲线越―矮胖‖.表示总体的分布越分散;? 越小, 曲线越―瘦 高‖,表示总体的分布越集中. 3. ? 标准正态分布:如果随机变量 ξ 的概率函数为 ? ( x) ?

1 2?

e

?

x2 2

(?? ? x ? ??) ,则称 ξ 服从标准正态

分 布 . 即 ? ~ N (0,1) 有 ? ( x) ? P(? ? x) , ? ( x) ? 1 ? ? (? x) 求 出 , 而 P ( a < ξ ≤b ) 的 计 算 则 是

P(a ? ? ? b) ? ? (b) ? ? (a) .
注意:当标准正态分布的 ?(x) 的 X 取 0 时,有 ? ( x ) ? 0.5 当 ?(x) 的 X 取大于 0 的数时,有 ?( x) ? 0.5 . 比如 ?(

0.5 ? ?

?

) ? 0.0793? 0.5 则

0.5 ? ?

?

必然小于 0,如图.
2



y S

? 正态分布与标准正态分布间的关系:若 ? ~ N (?,? ) 则 ξ 的分布函数通
x

38

a 标准正态分布曲线 S阴=0.5 Sa=0.5+S

常用 F (x) 表示,且有 P(ξ ? x) ? F(x) ? ? ( 4.? ? ‖原则. ―3

x ?μ ). σ

假设检验是就正态总体而言的,进行假设检验可归结为如下三步:① 提出统计假设,统计假设里的变量服 从 正 态 分 布 N (?,? 2) .②确 定 一 次 试 验 中 的 取 值 a 是 否 落 入 范 围 ( ? ? 3? , ? ? 3? ) .③做 出 判 断 : 如 果

a ? ( ? ? 3? , ? ? 3? ) ,接受统计假设. 如果 a ? ( ? ? 3? , ? ? 3? ) ,由于这是小概率事件,就拒绝统计假设.
? ? ‖原则的应用: ―3 若随机变量 ξ 服从正态分布 N (?,? 2) 则 ξ 落在 ( ? ? 3? , ? ? 3? ) 内的概率为 99.7% 亦 即落在 ( ? ? 3? , ? ? 3? ) 之外的概率为 0.3%,此为小概率事件,如果此事件发生了,就说明此种产品不合 格(即 ξ 不服从正态分布).

§12. 极 限 知识要点
1. ?第一数学归纳法:①证明当 n 取第一个 n0 时结论正确;②假设当 n ? k ( k ? N ? , k ? n0 )时,结论 正确,证明当 n ? k ? 1 时,结论成立. ?第二数学归纳法:设 P(n) 是一个与正整数 n 有关的命题,如果 ①当 n ? n 0 ( n0 ? N ? )时, P(n) 成立; ②假设当 n ? k ( k ? N ? , k ? n0 )时, P(n) 成立,推得 n ? k ? 1 时, P(n) 也成立. 那么,根据①②对一切自然数 n ? n 0 时, P(n) 都成立. 2. ?数列极限的表示方法: ① lim an ? a
n??

②当 n ? ? 时, a n ? a . ?几个常用极限: ① lim C ? C ( C 为常数)
n??

② lim
n??

1 nk

? 0 (k ? N , k是常数)

③对于任意实常数,
n 当 | a |? 1 时, lim a ? 0 n??

n n n 当 a ? 1 时,若 a = 1,则 lim a ? 1 ;若 a ? ?1,则 lim a ? lim ( ?1) 不存在 n?? n ?? n ??

n 当 a ? 1 时, lim a 不存在 n ??

?数列极限的四则运算法则: 如果 lima n ? a, limb b ? b ,那么
n?? n??

① lim(a n ?b n ) ? a ? b
n??

39

② lim(a n ?b n ) ? a ? b
n??

③ lim

n ??

an a ? (b ? 0) bn b

特别地,如果 C 是常数,那么
n??

lim(C ?a n ) ? lim C ? lima n ? Ca .
n?? n??

?数列极限的应用: 求无穷数列的各项和,特别地,当 q ? 1 时,无穷等比数列的各项和为 S ? (化循环小数为分数方法同上式) 注:并不是每一个无穷数列都有极限. 3. 函数极限; ?当自变量 x 无限趋近于常数 x 0 (但不等于 x 0 )时,如果函数 f (x) 无限趋进于一个常数 a ,就是说当 x 趋近于 x 0 时,函数 f (x) 的极限为 a .记作 lim f ( x) ? a 或当 x ? x 0 时, f ( x) ? a .
x ? x0

a1 ( q ? 1) . 1? q

注:当 x ? x 0 时, f (x) 是否存在极限与 f (x) 在 x 0 处是否定义无关,因为 x ? x 0 并不要求 x ? x 0 .(当 然,f (x) 在 x 0 是否有定义也与 f (x) 在 x 0 处是否存在极限无关. ? 函数 f (x) 在 x 0 有定义是 lim f ( x) 存
x? x0

在的既不充分又不必要条件.) 如 P( x) ? ?

?x ? 1 x ? 1 在 x ? 1 处无定义,但 lim P( x) 存在,因为在 x ? 1 处左右极限均等于零. x?1 ?? x ? 1 x ? 1

?函数极限的四则运算法则: 如果 lim f ( x) ? a, lim g ( x) ? b ,那么
x ? x0 x ? x0

① lim ( f ( x) ? g ( x)) ? a ? b
x ? x0

② lim ( f ( x) ? g ( x)) ? a ? b
x? x0

③ lim

x ? x0

f ( x) a ? (b ? 0) g ( x) b

特别地,如果 C 是常数,那么
x ? x0

lim (C ? f ( x)) ? C lim f ( x) .
x ? x0

x ? x0

lim [ f ( x)] n ? [ lim f ( x)] n ( n ? N ? )
x ? x0

注:①各个函数的极限都应存在. ②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况,但不能推广到无限个情况. ?几个常用极限: ① lim
n??

1 ?0 x
x ? ??

x ② lim a ? 0 (0< a <1) m ; il x ? ??

a x ? 0 ( a >1)

40

③ lim
x ?0

sin x x ? 1 ? lim ?1 x?0 sin x x 1 x
1 x ?0

④ lim(1 ? ) x ? e , lim(1 ? x) x ? e ( e ? 2.71828183 )
x??

4. 函数的连续性: ?如果函数(x)g x) f , 在某一点 x ? x 0 连续, ( 那么函数 f ( x ) ? g ( x ), f ( x ) ? g ( x ), 处都连续. ?函数 f(x)在点 x ? x 0 处连续必须满足三个条件: ①函数 f(x)在点 x ? x 0 处有定义;② lim f ( x) 存在;③函数 f(x)在点 x ? x 0 处的极限值等于该点的
x? x 0

f ( x) ( g ( x) ? 0) 在点 x ? x 0 g ( x)

函数值,即 lim f ( x) ? f ( x 0 ) .
x? x0

?函数 f(x)在点 x ? x 0 处不连续(间断)的判定: 如果函数 f(x)在点 x ? x 0 处有下列三种情况之一时,则称 x 0 为函数 f(x)的不连续点. ① f ( x ) 在 点 x ? x 0 处 没 有 定 义 , 即 f ( x 0 ) 不 存 在 ; ② l i m f ( x) 不 存 在 ; ③ l i m f ( x) 存 在 , 但
x? x 0 x? x 0

x? x0

l i m f ( x) ? f ( x 0 ) .

5. 零点定理,介值定理,夹逼定理: ?零点定理:设函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续,且 f (a ) ? f (b) ? 0 .那么在开区间 ( a, b) 内至少有函数

f (x) 的一个零点,即至少有一点 ? ( a < ? < b )使 f (? ) ? 0 .
?介值定理:设函数 f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续,且在这区间的端点取不同函数值, f (a) ? A, f (b) ? B , 那么对于 A, B 之间任意的一个数 C ,在开区间 ( a, b) 内至少有一点 ? ,使得 f (? ) ? C ( a < ? < b ). ?夹逼定理:设当 0 ?| x ? x 0 |? ? 时,有 g (x) ≤ f (x) ≤ h(x ) ,且 lim g ( x) ? lim h( x) ? A ,则必有
x? x0 x? x0

x ? x0

lim f ( x) ? A.

注: | x ? x 0 | :表示以 x 0 为的极限,则 | x ? x 0 | 就无限趋近于零.( ? 为最小整数) 6. 几个常用极限:
n ① lim q ? 0, q ? 1 n ? ??

② lim

n ? ??

an ? 0( a ? 0) n!

③ lim

nk an

n ? ??

? 0(a ? 1, k 为常数)

④ lim ⑤ lim

n???

ln n ?0 n
(ln n) k n? ? 0(? ? 0, k 为常数)

n ? ??

§ 导 数 知 识 要点 13.
1. 导数(导函数的简称)的定义:设 x 0 是函数 y ? f (x) 定义域的一点,如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x , 41

则 函 数 值 y 也 引 起 相 应 的 增 量 ?y ? f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) ; 比 值

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 称为函数 ? ?x ?x

y ? f (x) 在点 x 0 到 x 0 ? ?x 之间的平均变化率;如果极限 lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y 存在,则 ? lim ?x?0 ?x ?x?0 ?x

称函数 y ? f (x) 在点 x 0 处可导,并把这个极限叫做 y ? f (x) 在 x 0 处的导数,记作 f ' ( x0 ) 或 y ' | x ? x , 0 即 f ' ( x0 ) = lim

?x?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y . ? lim ?x?0 ?x ?x

注:① ?x 是增量,我们也称为―改变量‖,因为 ?x 可正,可负,但不为零. ②以知函数 y ? f (x) 定义域为 A , y ? f ' ( x) 的定义域为 B ,则 A 与 B 关系为 A ? B . 2. 函数 y ? f (x) 在点 x 0 处连续与点 x 0 处可导的关系: ? 函数 y ? f (x) 在点 x 0 处连续是 y ? f (x) 在点 x 0 处可导的必要不充分条件. 可以证明,如果 y ? f (x) 在点 x 0 处可导,那么 y ? f (x) 点 x 0 处连续. 事实上,令 x ? x 0 ? ?x ,则 x ? x 0 相当于 ?x ? 0 . 于是 lim f ( x ) ? lim f ( x 0 ? ?x) ? lim [ f ( x ? x 0 ) ? f ( x 0 ) ? f ( x 0 )]
x ? x0 ?x ?0 ?x ? 0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ?x ? f ( x0 )] ? lim ? lim ? lim f ( x0 ) ? f ' ( x0 ) ? 0 ? f ( x0 ) ? f ( x0 ). ?x?0 ?x?0 ?x?0 ?x ?x ? 如果 y ? f (x) 点 x 0 处连续,那么 y ? f (x) 在点 x 0 处可导,是不成立的. ? lim[
?x?0

例: f ( x) ?| x | 在点 x 0 ? 0 处连续,但在点 x 0 ? 0 处不可导,因为 当 ?x <0 时,

?y | ?x | ?y ,当 ?x >0 时, ? ?1; ?x ?x ?x

?y ?y 不存在. ? ?1 ,故 lim ?x ?0 ?x ?x

注:①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义: 函数 y ? f (x) 在点 x 0 处的导数的几何意义就是曲线 y ? f (x) 在点 ( x 0 , f ( x)) 处的切线的斜率, 也就是说, 曲线 y ? f (x) 在点 P ( x 0 , f ( x)) 处的切线的斜率是 f ' ( x0 ) ,切线方程为 y ? y 0 ? f ' ( x)( x ? x 0 ). 4. 求导数的四则运算法则:

(u ? v) ' ? u ' ? v ' ? y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? ... ? f n ( x) ? y ' ? f1' ( x) ? f 2' ( x) ? ... ? f n' ( x) (uv) ' ? vu ' ? v ' u ? (cv) ' ? c ' v ? cv ' ? cv ' ( c 为常数)
' ' ? u ? vu ? v u (v ? 0) ? ? ? v2 ?v? '

注:①u, v 必须是可导函数. ② 若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一 定不可导. 42

例如: f ( x) ? 2 sin x ? 设

2 2 , ( x) ? cos x ? , f ( x), g ( x) 在 x ? 0 处均不可导, 则 但它们和 f ( x) ? g ( x) ? g x x

sin x ? cos x 在 x ? 0 处均可导.
5. 复合函数的求导法则: f x (? ( x)) ? f ' (u)? ' ( x) 或 y ' x ? y ' u ? u ' x
'

复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性: ? 函数单调性的判定方法:设函数 y ? f (x) 在某个区间内可导,如果 f ' ( x) >0,则 y ? f (x) 为增函数; 如果 f ' ( x) <0,则 y ? f (x) 为减函数. ? 常数的判定方法; 如果函数 y ? f (x) 在区间 I 内恒有 f ' ( x) =0,则 y ? f (x) 为常数. 注: f ( x) ? 0 是 (x) ① f 递增的充分条件, 但不是必要条件, y ? 2x 3 在 (??,??) 上并不是都有 f ( x) ? 0 , 如 有一个点例外即 x=0 时 f(x) = 0,同样 f ( x) ? 0 是 f(x)递减的充分非必要条件. ② 一般地,如果 f(x)在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负) ,那么 f(x)在该区间上仍 旧是单调增加(或单调减少)的. 7. 极值的判别方法: (极值是在 x 0 附近所有的点,都有 f (x) < f ( x 0 ) ,则 f ( x 0 ) 是函数 f (x) 的极大值, 极小值同理) 当函数 f (x) 在点 x 0 处连续时, ① 如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) >0,右侧 f ' ( x) <0,那么 f ( x 0 ) 是极大值; ② 如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) <0,右侧 f ' ( x) >0,那么 f ( x 0 ) 是极小值. 也就是说 x 0 是极值点的充分条件是 x 0 点两侧导数异号,而不是 f ' ( x) =0 . 此外,函数不可导的点也可


能是函数的极值点 . 当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小 值小(函数在某一点附近的点不同). 注①: 若点 x 0 是可导函数 f (x) 的极值点,则 f ' ( x) =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数,其一点 x 0 是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零. 例如:函数 y ? f ( x) ? x 3 , x ? 0 使 f ' ( x) =0,但 x ? 0 不是极值点. ②例如:函数 y ? f ( x) ?| x | ,在点 x ? 0 处不可导,但点 x ? 0 是函数的极小值点. 8. 极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较. 注:函数的极值点一定有意义.



9. 几种常见的函数导数:

43

' I. C ? 0 ( C 为常数)

(sin x) ' ? cos x

(arcsin x) ' ?

1 1? x 2 1 1? x 2

( x n ) ' ? nxn?1 ( n? R )

(cos x) ' ? ? sin x

(arccos x) ' ? ?

II. (ln x) ' ?

1 x

(loga x) ' ?

1 loga e x

(arctan x) ' ?

1 x ?1
2

(e x ) ' ? e x
III. 求导的常见方法: ①常用结论: (ln | x |) ' ?

(a x ) ' ? a x ln a

(arccot x) ' ? ?

1 x ?1
2

1 . x
( x ? a1 )( x ? a 2 )...( x ? a n ) 两边同取自然对数,可转化求代数 ( x ? b1 )( x ? b2 )...( x ? bn )

②形如 y ? ( x ? a1 )( x ? a 2 )...( x ? a n ) 或 y ? 和形式.

③无理函数或形如 y ? x x 这类函数,如 y ? x x 取自然对数之后可变形为 ln y ? x ln x ,对两边求导可得

y' 1 ? ln x ? x ? ? y ' ? y ln x ? y ? y ' ? x x ln x ? x x . y x

§ 复 数 知 识 要点 14.
2 1. ?复数的单位为 i,它的平方等于-1,即 i ? ?1 .

?复数及其相关概念: ① 复数—形如 a + bi 的数(其中 a,b ? R ) ; ② 实数—当 b = 0 时的复数 a + bi,即 a; ③ 虚数—当 b ? 0 时的复数 a + bi; ④ 纯虚数—当 a = 0 且 b ? 0 时的复数 a + bi,即 bi. ⑤ 复数 a + bi 的实部与虚部—a 叫做复数的实部,b 叫做虚部(注意 a,b 都是实数) ⑥ 复数集 C—全体复数的集合,一般用字母 C 表示. ?两个复数相等的定义:

a ? bi ? c ? di ? a ? c且b ? d(其中,a,b,c,d, R)特别地a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0 . ?
?两个复数,如果不全是实数,就不能比较大小. 注:①若 z1 , z 2 为复数,则 1 若 z1 ? z 2 ? 0 ,则 z1 ? ? z 2 .(×)[ z1 , z 2 为复数,而不是实数]
?

2 ? 若 z1 ? z 2 ,则 z1 ? z 2 ? 0 .(√)
②若 a, b, c ? C ,则 (a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a) ? 0 是 a ? b ? c 的必要不充分条件.(当 (a ? b) ? i ,
2 2 2 2 2

(b ? c) 2 ? 1, (c ? a) 2 ? 0 时,上式成立)
2. ?复平面内的两点间距离公式: d ? z 1 ? z 2 . 44

其中 z 1 ,z 2 是复平面内的两点 z 1 和z 2 所对应的复数, d表示z 1 和z 2 间的距离. 由上可得:复平面内以 z 0 为圆心, r 为半径的圆的复数方程: z ? z 0 ? r(r ? 0) . ?曲线方程的复数形式: ① z ? z 0 ? r表示以z 0 为圆心,r 为半径的圆的方程. ② z ? z 1 ? z ? z 2 表示线段 z 1 z 2 的垂直平分线的方程. ③ z ? z 1 ? z ? z 2 ? 2a(a ? 0且2a ? z 1 z 2 )表示以Z 1,Z 2 为焦点,长半轴长为 a 的椭圆的方程(若

2a ? z 1 z 2 ,此方程表示线段 Z 1,Z 2 ).
④ z ? z 1 ? z ? z 2 ? 2a( ? 2a ? z 1 z 2 ), 表示以 Z 1,Z 2 为焦点,实半轴长为 a 的双曲线方程(若 0

2a ? z 1 z 2 ,此方程表示两条射线).
?绝对值不等式: 设 z 1 ,z 2 是不等于零的复数,则 ① z1 ? z 2 ? z1? z 2 ? z1 ? z 2 . 左边取等号的条件是 z 2 ? ?z 1 (? ? R,且? ? 0) ,右边取等号的条件是 z 2 ? ?z 1 (? ? R,? ? 0) . ② z1 ? z 2 ? z1?z 2 ? z1 ? z 2 . 左边取等号的条件是 z 2 ? ?z 1 (? ? R,? ? 0) ,右边取等号的条件是 z 2 ? ?z 1 (? ? R,? ? 0) . 注: A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ?? An?1 An ? A1 An . 3. 共轭复数的性质:

z?z
z ? z ? 2a , z ? z ? 2bi ( z ? a + bi)

z1 ? z 2 ? z 1 ? z 2
z ? z ?| z | 2 ?| z | 2 z1 ?z 2 ? z1 ? z 2

z1 ? z 2 ? z 1 ? z 2

? z1 ? ? z2 ?

? z1 ?? ( z2? 0 ) ? z 2 ?

z n ? ( z) n

注:两个共轭复数之差是纯虚数. (×)[之差可能为零,此时两个复数是相等的]

z ?? z... ? 4. ?①复数的乘方: z ? ?z??z (n ? N ) ?
n n

?

②对任何 z , z1 , z 2 ? C 及 m, n ? N ? 有 ③ z ?z ? z
m n m? n

, ( z m ) n ? z m?n , ( z1?z 2 ) n ? z n ?z n 1 2

45

2 4 注 : ① 以 上 结 论 不 能 拓 展 到 分 数 指 数 幂 的 形 式 , 否 则 会 得 到 荒 谬 的 结 果 , 如 i ? ?1,i ? 1 若 由

1

1

i 2 ? (i 4 ) 2 ?1 2 ? 1就会得到 ?1 ? 1 的错误结论.
②在实数集成立的 | x |? x 2 . 当 x 为虚数时, | x |? x 2 ,所以复数集内解方程不能采用两边平方法. ?常用的结论:

i 2 ? ?1,i 4n?1 ? i,i 4n? 2 ? ?1,i 4n?3 ? ?i,i 4n ? 1

i n ?i n?1 ?i n?2 ?i n?3 ? 0, (n ? Z )

(1 ? i) 2 ? ?2i,

1? i 1? i ? i, ? ?i 1? i 1? i

若 ? 是 1 的立方虚数根,即 ? ? ? 5.

1 3 ? i ,则 ? 3? 1,? 2 ? ?, ? ? 1 ,1 ? ? ?? 2 ? 0,? n ?? n?1?? n?2 ? 0(n ? Z ) . 2 2 ?

?复数 z 是实数及纯虚数的充要条件:

① z?R ? z ? z . ②若 z ? 0 , z 是纯虚数 ? z ? z ? 0 . ?模相等且方向相同的向量,不管它的起点在哪里,都认为是相等的,而相等的向量表示同一复数. 特例: 零向量的方向是任意的,其模为零. 注: | z |?| z | . 6. ?复数的三角形式: z ? r (cos? ? i sin? ) . 辐角主值: ? 适合于 0≤ ? < 2? 的值,记作 arg z . 注:① z 为零时, arg z 可取 [0,2? ) 内任意值. ②辐角是多值的,都相差 2 ? 的整数倍.
? ③设 a ? R , 则 arg a ? 0, arg(?a) ? ? , arg ai ?

?

3 , arg(?ai) ? ? . 2 2 a b , sin? ? . r r

?复数的代数形式与三角形式的互化:

a ? bi ? r (cos? ? i sin? ) , r ? a 2 ? b 2 , cos? ?
?几类三角式的标准形式:

r (cos? ? i sin? ) ? r[cos(?? ) ? i sin(?? )] ?r (cos? ? i sin? ) ? r[cos( ? ? ) ? i sin( ? ? )] ? ? r (? cos? ? i sin? ) ? r[cos( ? ? ) ? i sin( ? ? )] ? ?

r (sin? ? i cos? ) ? r[cos( ? ? ) ? i sin( ? ? )] 2 2
7. 复数集中解一元二次方程: 在复数集内解关于 x 的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 时,应注意下述问题:
2

?

?

①当 a, b, c ? R 时, ? >0, 若 则有二不等实数根 x1, 2 ? 若 ? <0,则有二相等复数根 x1, 2 ?

?b? ? b ; ? =0, 若 则有二相等实数根 x1,2 ? ? ; 2a 2a

? b ? | ? |i 2a

( x1, 2 为共轭复数). 46

②当 a , b, c 不全为实数时,不能用 ? 方程根的情况. ③不论 a , b, c 为何复数,都可用求根公式求根,并且韦达定理也成立. 8. 复数的三角形式运算:

r1 (cos? 1 ? i sin? 2 ) ? r2 (cos? 2 ? i sin? 2 ) ? r1 r2 [cos( 1 ? ? 2 ) ? i sin( 1 ? ? 2 )] ? ?
r1 (cos? 1 ? i sin? 2 ) r1 ? [cos( 1 ? ? 2 ) ? i sin( 1 ? ? 2 )] ? ? r2 (cos? 2 ? i sin? 2 ) r2
棣莫弗定理: [r (cos? ? i sin? )]n ? r n (cos n? ? i sin n? ) .

47


相关文章:
三校生高考数学常用公式
三校生高考数学常用公式_数学_高中教育_教育专区。数学常用公式 一. 代数 1. 集合,函数 1. 元素与集合的关系 x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ?...
【强烈推荐】高考数学常用的100个基础公式
【强烈推荐】高考数学常用的100个基础公式_数学_高中教育_教育专区。高考数学知识点总结 高考数学常用公式 1.德摩根公式 CU ( A ? B) ? CU A ? CU B; CU...
高考数学常用公式及结论203条
高考数学常用公式及结论203条_数学_高中教育_教育专区。高考数学常用公式及结论 ...(3) 12.真值表 p真真假假q真假真假非p 假假真真 恒成立的充条件是 p...
2017高考 高中数学常用公式及结论 理科
2017高考 高中数学常用公式及结论 理科_数学_高中教育_教育专区。高考数学必备公式 高中数学常用公式及结论 1 元素与集合的关系: x ? A ? x ? CU A , x ?...
高中数学常用计算公式
高中数学常用计算公式_数学_高中教育_教育专区。常用...内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p ; ...高考压轴题:函数(绝对解... 8页 5下载券 放缩...
高考文理科必备数学公式全
高考文理科必备数学公式全_数学_高中教育_教育专区。高中数学知识点归纳新课标...以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础 ...
高考数学常用公式及结论200条
高考数学常用公式及结论 200 条湖北省黄石二中 杨志明 1. 元素与集合的关系 x...q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙...
高中数学所有公式(非常有用)
高中数学所有公式(非常有用)_数学_高中教育_教育专区。高中数学常用公式及常用...0 ( t 为参数)恒成立的充 条件是 f ( x, t ) min ? 0( x ? L...
高考理科数学常用公式大全
高考理科数学常用公式大全_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考理科数学常用公式大全高考理科常用数学公式总结 1.德摩根公式 CU ( A ? B) ? CU A ? CU B...
高考数学(文科)常用公式
高考数学(文科)常用公式_数学_高中教育_教育专区。高考数学(文科)公式大全 及重要...x 2 , y ? 1 1 的图象,了解它们的变化情况. x g?x? = x2 f?x? ...
更多相关标签: