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高中数学 2.1《合情推理与演绎推理》课件(1) 新人教A版选修2-2


第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 合情推理

2.1.1

问题提出 1.推理是人们思维活动的过程, 1.推理是人们思维活动的过程,在日 推理是人们思维活动的过程 常活动和科学研究中, 常活动和科学研究中,我们必须要通过 推理来思考问题. 推理来思考问题. 2.推理是根据一个或几个已知的判断 2.推理是根据一个或几个已知的判断 来确定一个新的判断的思维过程,在一 来确定一个新的判断的思维过程, 定的条件和背景下,我们常通过推理提 定的条件和背景下, 出问题,发现结论,引出性质. 出问题,发现结论,引出性质.

3.推理必须是“合乎情理”的,并遵 推理必须是“合乎情理” 推理必须是 循一定的逻辑规律.因此,研究、 循一定的逻辑规律.因此,研究、总结推 理中合乎情理的逻辑规律, 理中合乎情理的逻辑规律,是一个需要 我们探讨的课题. 我们探讨的课题.

探究( ):归纳推理 探究(一):归纳推理 思考1 我们知道, 思考1:我们知道,三角形的内角和为 180° 四边形的内角和为360 360° 180°,四边形的内角和为360°,五边 形的内角和为540 540° 由此归纳猜想, 形的内角和为540°,…,由此归纳猜想, 边形的内角和为多少度? n边形的内角和为多少度?
V (r ) = 4 3 pr 3

(n-2)·180° (n-2)·180°

思考2:二百多年前,德国数学家哥德巴 思考2 二百多年前, 赫在研究自然数时偶然发现: 赫在研究自然数时偶然发现: 6=3+3, 8=3+5, 10=3+7, 10= 12=5+7,14=7+7, 16=5+11,…, 12= 14= 16= 11, 于是他提出了一个猜想,你认为他猜想 于是他提出了一个猜想, 出一个什么结论? 出一个什么结论? 任何一个不小于6 任何一个不小于6的偶数 都等于两个奇质数之和. 都等于两个奇质数之和.

思考3 在逻辑上,上述推理称为归纳推 思考3:在逻辑上,上述推理称为归纳推 简称归纳),那么归纳推理的含义 归纳), 理(简称归纳),那么归纳推理的含义 是什么? 是什么? 由某类事物的部分对象具有某些特 征,推出该类事物的全部对象都具有这 些特征的推理, 些特征的推理,或者由个别事实概括出 一般结论的推理. 一般结论的推理

思考4 思考4:归纳推理的思维过程大致分哪几 个步骤? 个步骤? 实验、观察 概括 概括、 实验、观察→概括、推广 →猜测一般结论 猜测一般结论. 猜测一般结论 思考5 一个口袋里装有许多球, 思考5:一个口袋里装有许多球,每次从 中取出一个球,先后取20次均为白球, 20次均为白球 中取出一个球,先后取20次均为白球, 由此能肯定袋中剩余的球都是白球吗? 由此能肯定袋中剩余的球都是白球吗?

思考6 对于等式:1·2+2·3+ 思考6:对于等式:1·2+2·3+3·4 n(n+1)= 3n+ n=1, +…+n(n+1)=3n2-3n+2,当n=1, 时等式成立吗? 2,3时等式成立吗?能否由此断定这个 等式对所有正整数n都成立? 等式对所有正整数n都成立? 思考7:应用归纳推理可以发现一般结 思考7 其不足之处是什么? 论,其不足之处是什么? 由归纳推理得出的结论不一定正确, 由归纳推理得出的结论不一定正确,其 真实性有待进一步证明. 真实性有待进一步证明.

探究( ):类比推理 探究(二):类比推理 思考1 思考1:据说我国古代工匠鲁班从带齿的 草叶和蝗虫的齿牙受到启发,发明了锯; 草叶和蝗虫的齿牙受到启发,发明了锯; 人们仿照鸟类的外形和它们在空中的飞 行原理,发明了飞机; 行原理,发明了飞机;仿照鱼类的外形 和它们在水中的沉浮原理, 和它们在水中的沉浮原理,发明了潜水 等等. 艇;等等.这种在发明创造活动中运用的 方法,称为类比推理 类比推理. 方法,称为类比推理.你还能列举出这样 的实例吗? 的实例吗?

v= 0

v= 0

思考2 思考2:科学家们发现火星具有一些与地 球类似的特征, 球类似的特征,如火星也是围绕太阳运 绕轴自转的行星,也有大气层, 行、绕轴自转的行星,也有大气层,在 一年中也有季节的变更, 一年中也有季节的变更,而且火星上大 部分时间的温度适合地球上某些已知生 物的生存,等等.运用类比推理, 物的生存,等等.运用类比推理,你有什 么猜想?其推理过程是怎样形成的? 么猜想?其推理过程是怎样形成的? 猜想:火星上也可能有生命存在. 猜想:火星上也可能有生命存在.

思考3:球与圆在形状和概念上都有类似 思考3 的地方,如二者都具有完美的对称性, 的地方,如二者都具有完美的对称性, 都是到定点的距离等于定长的点的集合. 都是到定点的距离等于定长的点的集合. 对于圆,圆有切线,切线与圆只有一个 对于圆,圆有切线, 公共点,圆心到切线的距离等于圆半径, 公共点,圆心到切线的距离等于圆半径, 平面内不共线的三个点确定一个圆.运用 平面内不共线的三个点确定一个圆. 类比,你能推测球可能有哪些类似的性 类比, 质? 球有切平面, 球有切平面,切平面与球只有一个公共 球心到切平面的距离等于球半径, 点,球心到切平面的距离等于球半径, 空间中不共面的四个点确定一个球. 空间中不共面的四个点确定一个球.

思考4:类比圆的特征,下表中球的相关 思考4 类比圆的特征, 特征分别是什么? 特征分别是什么?
圆的概念和性质 圆的周长 圆的面积 球的类似概念和性质 球的面积 球的体积

圆心与弦(非直径)中点 球心与截面(非大圆)圆心的 球心与截面(非大圆) 圆心与弦(非直径) 连线垂直于截面 的连线垂直于弦 与圆心距离相等的两弦相 等,与圆心距离不等的两 弦不等, 弦不等,距圆心较近的弦 较长. 较长. 圆的方程为(x- 圆的方程为(x-x0)2+ (x (y- (y-y0)2=r2 与球心距离相等的两截面积相 等,与球心距离不等的两截面 积不等, 积不等,距球心较近的截面积 较大. 较大 球的方程(x (x- (y- 球的方程(x-x0)2+(y-y0)2 +(z-z0)2=r2 (z-

思考5:上述推理都是类比推理,一般地, 思考5 上述推理都是类比推理,一般地, 类比推理的含义是什么? 类比推理的含义是什么? 由两类对象具有某些类似特征和其中一 类对象的某些已知特征, 类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理. 象也具有这些特征的推理. 思考6 思考6:类比推理的思维过程大致分哪几 个步骤? 个步骤?
观察、比较→联想、类推→猜测类似结论. 观察、比较→联想、类推→猜测类似结论.

思考7 归纳推理和类比推理统称为合情 思考7:归纳推理和类比推理统称为合情 推理,合情推理的过程大致是什么? 推理,合情推理的过程大致是什么? 从具体问题出发→观察、分析、比较、 从具体问题出发 观察、分析、比较、 观察 联想→归纳 类比→提出猜想 归纳、 提出猜想. 联想 归纳、类比 提出猜想

理论迁移 例1 已知数列{an}满足:a1=1, 已知数列{a 满足:

an 且an + 1 = (n∈N*),试推测数 n∈N*),试推测数 ), 1 + an
列{an}的通项公式,并判断其真实性. 的通项公式,并判断其真实性.

1 归纳:an = 归纳: n

.

例2 类比平面内直角三角形的勾股 定理,试给出空间中四面体性质的猜想, 定理,试给出空间中四面体性质的猜想, 并判断其真实性. 并判断其真实性. A
B B C A P C

定理: AC⊥BC, 定理:若AC⊥BC,则AC2+BC2=AB2; 类比: PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC, 类比:若PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC,则

S

2 DPAB

+S

2 DPBC

+S

2 DPAC

=S

2 DABC

小结作业 1.归纳推理是由部分到整体, 1.归纳推理是由部分到整体,由个别 归纳推理是由部分到整体 到一般的推理, 到一般的推理,应用归纳推理可以发现 某类事物的一般规律,获得新结论, 某类事物的一般规律,获得新结论,但 它不能作为数学证明的方法. 它不能作为数学证明的方法. 2.类比推理是由特殊到特殊的推理, 2.类比推理是由特殊到特殊的推理, 类比推理是由特殊到特殊的推理 它可以由已经解决的问题和获得的结论 出发, 出发,通过类比而提出新问题和作出新 发现,但它也不能作为数学证明的方法. . 发现,但它也不能作为数学证明的方法

3.由归纳推理和类比推理得到的结论 3.由归纳推理和类比推理得到的结论 只是一种猜想,所得的结论不一定正确, 只是一种猜想,所得的结论不一定正确, 但可以为我们的研究提供一种思路和方 向.

作业: 作业: 78练习 练习: P77~78练习:1,2,3.

归纳推理的应用(习题课) 归纳推理的应用(习题课)

知识回顾 1.归纳推理的含义: 1.归纳推理的含义: 归纳推理的含义 由某类事物的部分对象具有某些特 征,推出该类事物的全部对象都具有这 些特征的推理, 些特征的推理,或者由个别事实概括出 一般结论的推理. 一般结论的推理 2.归纳推理的思维过程 归纳推理的思维过程: 2.归纳推理的思维过程: 实验、观察 概括 概括、 实验、观察→概括、推广 →猜测一般结论 猜测一般结论. 猜测一般结论

如图所示, 例1 如图所示,有三根针和套在一根针 上的若干金属片,按下列规则, 上的若干金属片,按下列规则,把金属片 从一根针上全部移到另一根针上. 从一根针上全部移到另一根针上. 每次只能移动1个金属片; (1)每次只能移动1个金属片; (2)较大的金属片不能放在较小的金属 片上面. 片上面. 试推测: 个金属片从1 试推测:把n个金属片从1号针移到3号 个金属片从 号针移到3 最少需要移动多少次? 针,最少需要移动多少次?

2 n-1 次
2 1 3

平面上有n n∈N*,n≥2) 例2 平面上有n(n∈N ,n≥2)条直 其中任意两条都相交, 线,其中任意两条都相交,任意三条不 共点,试推测: 共点,试推测:这n条直线一共有多少个 交点. 交点.
n(n - 1) 2

例3

满足: 已知数列 {an}满足:

1 a1 = 2, an = 2 ? (n ≥ 2) ,试推测数 an?1
的通项公式. 列 {an}的通项公式.

n +1 an = n
an = n +1 n


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