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黑龙江省大庆实验中学2015-2016学年高三上学期期中考试数学(理)试题


大庆实验中学 2015—2016 学年度上学期高三期中考试

数 学 试 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1、已知全集 U ? R ,集合 A ? ?x | x≥2? , B ? {x | 0≤x<5} ,则集合 (? U A) ? B ? A. {x | 0<x<2}

r />2、复数 z

B. {x | 0<x≤2}

C. {x | 0≤x<2}

D. {x | 0≤x≤2}

?|

3 ?i ,则复数 z 的共轭复数为 | ?i ( i 为虚数单位) i
B. 2+i
x

A. 2 ? i

C. 4 ? i

D. 4 ? i

3、函数 y ? 2 的反函数为 A. y ? 2
?x

B. y ? x

2

C. y ? log x 2

D. y ? log 2 x

4、在等差数列 {an } 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? 80 ,则 a1 +a13 的值为 A.20 B.40 C.60 D.80

5、函数 f ( x) ? 9 ? 3x 的值域是 A. (0,3] B. [0,3] C. [0,3) D. (0,3)

6、f ( x) 是定义域为 R 的偶函数,f ?( x ) 为 f ( x) 的导函数, 当 x≤0 时, 恒有 f ( x)+xf ?( x)<0 , 设 g ( x) ? xf ( x) ,则满足 g (2 x ? 1)<g (3) 的实数 x 的取值范围是 A. (2, ??) B. (?1, 2) C. (??, ?2) ? (2, ??) D. ( ??, 2)

7、已知定义在 (??, ??) 上的函数 f ( x) 是奇函数,且 f (2 ? x) ? f ( x) ,则 f (2010) 值为 A.3 B .2 C.1 D.0

8、已知 |a |?| b |? 2 , a , b 夹角为 90 ? ,向量 d 满足 | d ? a ? b |? 1 ,则 |d | 的最大值为 A. 2 2+1 B. 2 2 ? 1 9、若 p ? log4 12 , q ? log5 15 , r ? log6 18 则 A. p<q<r 10、已知 f ( x) ? sin( B. p<r<q C.4 D. 2 2

?

?

?

?

? ?

? ? ? ?

? ?

C. p>q>r

D.q>p>r

1 ? x ? ) , g ( x) 的图像与 f ( x) 的图像关于 y 轴对称,将 g ( x) 图像上各 2 3 1 ? 点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变) ,再向左平移 个单位,那么所得图像的一条对称 2 3

轴方程为 A. x ?

?
6

B. x ?

?
2

C. x ? ?

?
6

D. x ? ??

11、给出下列 4 个命题: ①在△ ABC 中,“ cos A ? sin A ? cos B ? sin B ”是“ A ? B ”的充要条件; ② b ? ac 是 a , b , c 成等比数列的充要条件;
2

③若 loga 2 ? logb 2 ? 0 ,则 a> b ; ④若 f ( x) 是 定义在 [ - 1 , 1] 上的偶 函数,且在 [ - 1 , 0] 上是增函数 , ? ? (

? ?

, ) ,则 4 2

f ( sin ? ) ? f ( co s ?);
其中真命题的个数为 A.1 B .2 C.3 D.4

12 、 已 知 f ( x) 为 偶 函 数 , 且 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) , 在 区 间 [0, 2] 上 ,

? 3 0x≤ 1 1 ?4 ? x , ≤ , g ( x ) ? 2 ? | x | 则函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 零点的个数为 f ( x) ? ? 2 2 ?2 x ? 2? x ,1<x≤2 ?
A.4 B.5 C.6 D .8

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13、已知等比数列 ?an ? 中, a2 ? a5 ? 18 , a3 ? a4 ? 32. 若 an ? 128 ,则 n = .

???? ??? ? ??? ? ? ? ? ???? ??? ? AD BP =4, 14、 如图, 在平行四边形 ABCD 中, 已知 AB=8, AD=6,CP =3 PD ,AP · 则 AB ·

的值是________.
x ? 2 ?e , x ? 1 15、 已知函数 g ? x ? ? ? 则 ? g ( x)dx = 2 ?1 ? ? 1 ? x , ?1 ? x ? 1



16、已知

f ( x) ? ex , g ( x) ? mx ? n ,若对任意实数 x ,都有 f ( x)≥g ( x) ,则 mn 的最大值

为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、 (本小题满分 10 分)已知等差数列 an 中,且 a3 ? ?1 , a6 ? ?7 。 (Ⅰ)求 {an } 的通项 an ; (Ⅱ)求 {an } 前 n 项和 Sn 的最大值。

C 成等差数列, 18、 (本小题满分 12 分) 三角形 ABC 中, 三内角 A , BD ? ? BC(0<?< 1) , B,

??? ?

??? ?

???? ??? ? 1 | DC |? 2 , | AB |? 8 , cos ?ADC ? . 7 (Ⅰ)求 sin ?BAD ; ??? ? (Ⅱ)求 ? , | AC| .

19、 (本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? 2sin(? x ? (Ⅰ)求函数 y ? f ? x ? 的最值;

?

1 )sin ? x ? cos 2? x ,其中 ?>0 . 3 2

(Ⅱ)若 f ( x) 在区间 [?2? , ? ] 上为增函数,求 ? 的取值范围。

20、 (本小题满分 12 分)已知数列 ?bn ? 中,b1 ? 0 ,bn?1 ? 3bn ? 2(n ? N* ) ,数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 1=bn . (Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)求数列 ?

?

3n ? * ? 的前 n(n ? N ) 项的和. ? bn?1 ? bn?2 ?
1 2
n ?1

(Ⅲ)数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn ,求 Tn ? ( n ? ) ? 3



21、 (本小题满分 12 分)已知函数 h( x) ? ln x , m( x) ? ? ( x ? 1) . (Ⅰ)已知过原点的直线 l 与 h( x) ? ln x 相切,求直线 l 的斜率 k ; (Ⅱ)求函数 h( x) ? m( x) 的单调区间; (Ⅲ)当 x ? [1, ??) 时,有 m( x)≥

x h( x) ,则 ? 的取值范围是什么. x ?1

x 22、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a ? x ? e , f ( x) 的最小值为 0 .

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)设 n ? N ,比较
?

?k? ? ? ? 与 2 的大小. k ?1 ? n ?
n

n

参考答案
1、C;2、B;3、D;4、B;5、C;6、A;7、D;8、A;9、C;10、B;11、A;12、C;

13、8;14、40;15、

?
2

+e 2 ? e ;16、

17、解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知条件解出 a1 ? 3, d ? ?2 . 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? ?2n ? 5 . (Ⅱ) S n ? na1 ?

e 2

n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2)2 . 2

所以 n ? 2 时, Sn 取到最大值 4 . 18 、 解 : ( Ⅰ ) 在 ?ADC 中 , 因 为 cos ?ADC ?

1 4 3 , 所 以 sin ?ADC ? .所以 7 7

sin ?B A D? s i n ? (ADC ? ? B)
? sin ?ADC cos B ? cos ?ADC sin B ?

3 3 . 14

3 3 8? AB ? sin ?BAD 14 ? 3 ,所以 ? = 3 . ? (Ⅱ)在 ?ABD 中,由正弦定理得 BD ? 5 sin ?ADB 4 3 7


?ABC

















AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos B ? 82 ? 52 ? 2 ? 8 ? 5 ?
19、解: (Ⅰ) f ( x) ? (Ⅱ)由已知知,

1 ? 49 ,所以 AC ? 7 . 2

1 3 3 1 sin 2? x ? ,最值为 ? 2 2 2 2

T 1 ≥2? 即 0<?≤ 。 4 8

20 、 解 : ( Ⅰ ) bn?1 ? 3bn ? 2(n ? N* ) , 则 bn?1 ? 1 ? 3b (n ? 1n )? ( N* ? )

Sn ?1 ?3 .又 Sn

? S1 ? a1 ? 1 ,? 数列 ?Sn ? 是首项为1 ,公比为 3 的等比数列, Sn ? 3n?1 (n ? N* ) .当 n ≥ 2
时, an ? 2Sn?1 ? 2? 3n?2 (n ≥ 2) ,? an ? ? (Ⅱ)

?1,

n ? 1,

3n?2,n ≥ 2. ???

1 1 1 ( ? n ?1 ) ; 2 2 3 ?1

(Ⅲ) Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ,当 n ? 1 时, T1 ? 1 ;

当 n ≥ 2 时, Tn ? 1 ? 4 ? 30 ? 6 ? 31 ? ?? 2n ? 3n?2 ,????①

3Tn ? 3 ? 4 ? 31 ? 6 ? 32 ? ?? 2n ? 3n?1 ,?????????②
① ? ② 得: ?2Tn ? ?2 ? 4 ? 2(31 ? 32 ? ?? 3n?2 ) ? 2n ? 3n?1

3(1 ? 3n?2 ) 1 ? 1? ? 2 ? 2? ? 2n ? 3n ?1 ? ?1 ? (1 ? 2n) ? 3n?1 .?Tn ? ? ? n ? ? 3n?1 (n ≥ 2) . 1? 3 2 ? 2?
又?T1 ? a1 ? 1 也满足上式,?Tn ? 21、解: (Ⅰ) k ?

1 1 1 ? 1? ? ? n ? ? 3n ?1 (n ? N* ) . Tn ? ( n ? ) ? 3n ?1 = 2 2 2 ? 2?

1 e
1-ax ,若 a≤0,则 f′(0)>0,所以 f(x) x

(Ⅱ)设 f(x)= h( x) ? g ( x) ,定义域为(0,+∞),f′(x)= 在(0,+∞)上单调递增;

1 1 1 +?) 时,f′(x)<0,所以 f(x) 若 a>0,则由 f′(x)=0 得 x= ,当 x∈ (0, ) 时,f′(x)>0,当 x∈ ( , a a a +?) 上单调递减. 在 (0, ) 上单调递增,在 ( ,
所以当 a≤0 时,f(x)的单调递增区间是(0,+∞);当 a>0 时,f(x)的单调递增区间是 (0, ) ,单

1 a

1 a

1 a

+?) . 调递减区间是 ( ,
(Ⅲ) -2ax. 令 F(x)=g′(x)=ln x+1-2ax,则 F′(x)= 1-2ax . x

1 a

x x ln x ? a ( x 2 ? 1) h ( x ) ? m( x ) = ,令 g(x)=xln x-a(x2-1)(x≥1),则 g′(x)=ln x+1 x ?1 x ?1

① 若 a≤0,则 F′(x)>0,g′(x)在[1,+∞)上单调递增,g′(x)≥g′(1)=1-2a>0,所以 g(x)在[1, +∞)上单调递增,g(x)≥g(1)=0,从而

x h( x)≥m( x) ,不符合题意. x ?1

1 1 1 ) 时,F′(x)>0,所以 g′(x)在 (1, ) 上单调递增,从而 g′(x)>g′(1)=1 ② 若 0<a< ,当 x∈ (1, 2 2a 2a
-2a>0, 所以 g(x)在[1,+∞)上单调递增,g(x)≥g(1)=0,所以

x h( x)≥m( x) ,不符合题意. x ?1

1 ③若 a≥ ,则 F′(x)≤0 在[1,+∞)上恒成立.所以 g′(x)在[1,+∞)上单调递减,g′(x)≤g′(1)=1 2 -2a≤0,从而 g(x)在[1,+∞)上单调递减,所以 g(x)≤g(1)=0,即 意.综上所述,a 的取值范围是 [ , ??) . 22、解: (Ⅰ) ?1
n ? k? ? ? k ? ? k ?n? k ?n * n ≤ e (Ⅱ)由(1)得 1 ? x≤e ,即 ? ? = ?1+ ? ? ? e (k ? N ) ,所以 ? n ? ?n? ? ? ?
x

x h( x)≤m( x) ,符合题 x ?1

1 2

n

n

n

1 1? n k ?n n n ? ? ?k? k ?n ? ( n ?1) e < 1 ? e <2 . n ? ? ? e?1 ? 1 ? ? ? ? ≤? ? e ? ? ? e ? e 1 1 e ?1 k ?1 ? n ? k ?1 ? k ?1 ? 1? 1? e e
n n n


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