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2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.6正弦定理余弦定理试题理


第四章 三角函数、解三角形 4.6 正弦定理、余弦定理试题 理 北师 大版

1.正弦定理、余弦定理 在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,R 为△ABC 外接圆半径,则 定理 正弦定理 余弦定理

a2=b2+c2-2bccos A;
内容 = = =2R sin A sin B sin C (1)a=2Rsin A,

a

b

c

b2=c2+a2-2cacos B; c2=a2+b2-2abcos C

b=2Rsin B, c=2Rsin C; a b c
变形 cos A=

b2+c2-a2 ; 2bc

(2)sin A= ,sin B= ,sin C= ; c2+a2-b2 2R 2R 2R cos B= ; 2ac (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; a2+b2-c2 cos C = (4)asin B=bsin A, 2ab

bsin C=csin B, asin C=csin A

2.在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况如下:

A 为锐角
图形 关系式 解的个数

A 为钝角或直角

a=bsin A
一解

bsin A<a<b
两解

a≥b
一解

a>b
一解

1

3.三角形常用面积公式 1 (1)S= a?ha(ha 表示边 a 上的高); 2 1 1 1 (2)S= absin C= acsin B= bcsin A; 2 2 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为三角形内切圆半径). 2 【知识拓展】 1.三角形内角和定理 在△ABC 中,A+B+C=π ; 变形:

A+B π
2

= - . 2 2

C

2.三角形中的三角函数关系 (1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C; (3)sin

A+B
2

=cos ;(4)cos 2

C

A+B
2

=sin . 2

C

3.三角形中的射影定理 在△ABC 中,a=bcos C+ccos B;

b=acos C+ccos A; c=bcos A+acos B.

【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( ? ) (2)在△ABC 中,若 sin A>sin B,则 A>B.( √ ) (3)在△ABC 的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( ? (4)当 b +c -a >0 时,三角形 ABC 为锐角三角形.( ? )
2 2 2

)

a a+b-c (5)在△ABC 中, = .( √ ) sin A sin A+sin B-sin C
(6)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积.( √ )

1.(2016?天津)在△ABC 中,若 AB= 13,BC=3,C=120°,则 AC 等于( A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A

)

2

解析 由余弦定理得 AB =AC +BC -2AC?BC?cos C,即 13=AC +9-2AC?3?cos 120°, 化简得 AC +3AC-4=0,解得 AC=1 或 AC=-4(舍去).故选 A. 2.(教材改编)在△ABC 中,A=60°,B=75°,a=10,则 c 等于( A.5 2 C. 10 6 3 B.10 2 D.5 6 )
2

2

2

2

2

答案 C 解析 由 A+B+C=180°,知 C=45°,

a c 10 c 由正弦定理得 = ,即 = , sin A sin C 3 2 2 2
10 6 ∴c= . 3 3.(2016?江西吉安一中质检)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 <cos A, 则△ABC 为( A.钝角三角形 C.锐角三角形 答案 A ) B.直角三角形 D.等边三角形

c b

c sin C 解析 因为 <cos A,由正弦定理得 <cos A, b sin B
因为 B∈(0,π ),所以 sin B>0, 所以 sin C<sin Bcos A, 又 C=π -(A+B),可得 sin(A+B)<sin Bcos A, π 即 sin Acos B<0,则 cos B<0,所以 B∈( ,π ), 2 即△ABC 为钝角三角形,故选 A. 4. (2016?辽宁五校联考)设△ABC 的内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c, 若 b+c=2a,3sin

A=5sin B,则角 C=
答案 2π 3

.

解析 因为 3sin A=5sin B, 所以由正弦定理可得 3a=5b. 3 7 因为 b+c=2a,所以 c=2a- a= a. 5 5 令 a=5,b=3,c=7,

3

则由余弦定理 c =a +b -2abcos C, 得 49=25+9-2?3?5cos C, 1 2π 解得 cos C=- ,所以 C= . 2 3 1 5.(2016?济南模拟)在△ABC 中,a=3 2,b=2 3,cos C= ,则△ABC 的面积为 3 答案 4 3 1 2 2 解析 ∵cos C= ,0<C<π ,∴sin C= , 3 3 1 1 2 2 ∴S△ABC= absin C= ?3 2?2 3? =4 3. 2 2 3 .

2

2

2

题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形 1 例 1 (1)(2015?广东)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a= 3,sin B= , 2

C= ,则 b=
答案 1

π 6

.

1 解析 因为 sin B= 且 B∈(0,π ), 2 π 5π 所以 B= 或 B= . 6 6 π 又 C= ,B+C<π , 6 π 2π 所以 B= ,A=π -B-C= . 6 3

a b 3 b 又 a= 3,由正弦定理得 = ,即 = , sin A sin B 2π 1 sin 3 2
解得 b=1. cos A cos B sin C (2)(2016?四川)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 + = .

a

b

c

①证明:sin Asin B=sin C; 6 2 2 2 ②若 b +c -a = bc,求 tan B. 5 ①证明 根据正弦定理,可设
4

=k(k>0), sin A sin B sin C = = 则 a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C, cos A cos B sin C 代入 + = 中,有

a

b

c

a

b

c

cos A cos B sin C + = ,变形可得 ksin A ksin B ksin C sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B). 在△ABC 中,由 A+B+C=π , 有 sin(A+B)=sin(π -C)=sin C. 所以 sin Asin B=sin C. 6 2 2 2 ②解 由已知,b +c -a = bc,根据余弦定理,有 5

b2+c2-a2 3 cos A= = , 2bc 5
4 2 所以 sin A= 1-cos A= . 5 由(1)知,sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B, 4 4 3 所以 sin B= cos B+ sin B. 5 5 5 sin B 故 tan B= =4. cos B 思维升华 应用正弦、余弦定理的解题技巧 (1)求边:利用公式 a=

bsin A asin B asin C ,b= ,c= 或其他相应变形公式求解. sin B sin A sin A asin B bsin A csin A , sin B= , sin C= b a a

(2)求角: 先求出正弦值, 再求角, 即利用公式 sin A= 或其他相应变形公式求解.

(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解. (4)灵活利用式子的特点转化:如出现 a +b -c =λ ab 形式用余弦定理,等式两边是关于边 或角的正弦的齐次式用正弦定理. (1)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,asin Asin B+bcos A = 2a,则 等于( A.2 3 C. 3
2 2 2 2

b a

) B.2 2 D. 2
2 2

(2)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,已知 a -c =b,且 sin(A-C)=2cos
5

Asin C,则 b 等于(
A.6 C.2 答案 (1)D (2)C 解析 (1)(边化角)

) B.4 D.1

由 asin Asin B+bcos A= 2a 及正弦定理,得 sin Asin Asin B+sin Bcos A= 2sin A,
2

2

b sin B 即 sin B= 2sin A,所以 = = 2.故选 D. a sin A
(2)(角化边) 由题意,得 sin Acos C-cos Asin C=2cos Asin C, 即 sin Acos C=3cos Asin C, 由正弦、余弦定理,得

a2+b2-c2 b2+c2-a2 a? =3c? , 2ab 2bc
整理得 2(a -c )=b ,① 又 a -c =b,② 联立①②得 b=2,故选 C. 题型二 和三角形面积有关的问题 例 2 (2016?浙江)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 b+c=2acos B. (1)证明:A=2B; (2)若△ABC 的面积 S= ,求角 A 的大小. 4 (1)证明 由正弦定理得 sin B+sin C=2sin Acos B,故 2sin Acos B=sin B+sin(A+B) =sin B+sin Acos B+cos Asin B, 于是 sin B=sin(A-B). 又 A,B∈(0,π ),故 0<A-B<π ,所以 B=π -(A-B)或 B=A-B, 因此 A=π (舍去)或 A=2B,所以 A=2B. 1 a (2)解 由 S= ,得 absin C= , 4 2 4 1 1 故有 sin Bsin C= sin A= sin 2B=sin Bcos B, 2 2 由 sin B≠0,得 sin C=cos B. 又 B,C∈(0,π ),所以 C= π ±B. 2
2 2 2 2 2

a2

a2

2

6

π π 当 B+C= 时,A= ; 2 2 π π 当 C-B= 时,A= . 2 4 π π 综上,A= 或 A= . 2 4 1 1 1 思维升华 (1)对于面积公式 S= absin C= acsin B= bcsin A,一般是已知哪一个角就使 2 2 2 用哪一个公式. (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 c =(a-b) +6,C= 则△ABC 的面积是( A.3 C. 3 3 2 ) B. 9 3 2
2 2

π , 3

D.3 3

答案 C 解析 ∵c =(a-b) +6, ∴c =a +b -2ab+6.① π ∵C= , 3 ∴c =a +b -2abcos
2 2 2 2 2 2 2 2

π 2 2 =a +b -ab.② 3

由①②得-ab+6=0,即 ab=6. 1 1 3 3 3 ∴S△ABC= absin C= ?6? = . 2 2 2 2 题型三 正弦定理、余弦定理的简单应用 命题点 1 判断三角形的形状 例 3 (1)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 <cos A,则△ABC 为( A.钝角三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.等边三角形

c b

)

(2)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为( ) B.直角三角形 D.不确定
7

A.锐角三角形 C.钝角三角形

答案 (1)A (2)B

c sin C 解析 (1)由 <cos A,得 <cos A, b sin B
所以 sin C<sin Bcos A, 即 sin(A+B)<sin Bcos A, 所以 sin Acos B<0, 因为在三角形中 sin A>0,所以 cos B<0, 即 B 为钝角,所以△ABC 为钝角三角形. (2)由正弦定理得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin A, ∴sin(B+C)=sin A, 即 sin(π -A)=sin A,sin A=sin A. ∵A∈(0,π ),∴sin A>0,∴sin A=1, π 即 A= ,∴△ABC 为直角三角形. 2 引申探究 1.例 3(2)中,若将条件变为 2sin Acos B=sin C,判断△ABC 的形状. 解 ∵2sin Acos B=sin C=sin(A+B), ∴2sin Acos B=sin Acos B+cos Bsin A, ∴sin(A-B)=0,又 A,B 为△ABC 的内角. ∴A=B,∴△ABC 为等腰三角形. 2.例 3(2)中,若将条件变为 a +b -c =ab,且 2cos Asin B=sin C,判断△ABC 的形状. 解 ∵a +b -c =ab,∴cos C= π 又 0<C<π ,∴C= , 3 又由 2cos Asin B=sin C 得 sin(B-A)=0,∴A=B, 故△ABC 为等边三角形. 命题点 2 求解几何计算问题 例 4 (2015?课标全国Ⅱ)如图,在△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 面积是 △ADC 面积的 2 倍.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a2+b2-c2 1 = , 2ab 2

sin B (1)求 ; sin C

8

(2)若 AD=1,DC=

2 ,求 BD 和 AC 的长. 2

1 解 (1)S△ABD= AB?ADsin∠BAD, 2

S△ADC= AC?ADsin∠CAD.
因为 S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD, 所以 AB=2AC. sin B AC 1 由正弦定理可得 = = . sin C AB 2 (2)因为 S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以 BD= 2. 在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理,知

1 2

AB2=AD2+BD2-2AD?BDcos∠ADB, AC2=AD2+DC2-2AD?DCcos∠ADC.
故 AB +2AC =3AD +BD +2DC =6, 又由(1)知 AB=2AC,所以解得 AC=1. 思维升华 (1)判断三角形形状的方法 ①化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状. ②化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用 A +B+C=π 这个结论. (2)求解几何计算问题要注意 ①根据已知的边角画出图形并在图中标示; ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理. (1)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c,若 c-acos B=(2a -b)cos A,则△ABC 的形状为( A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 ) B.直角三角形 D.等腰或直角三角形
2 2 2 2 2

(2)(2015?课标全国Ⅰ)在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则 AB 的取值 范围是 .

答案 (1)D (2)( 6- 2, 6+ 2) 解析 (1)∵c-acos B=(2a-b)cos A,

C=π -(A+B),
∴由正弦定理得 sin C-sin Acos B =2sin Acos A-sin Bcos A, ∴sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B
9

=2sin Acos A-sin Bcos A, ∴cos A(sin B-sin A)=0, ∴cos A=0 或 sin B=sin A, π ∴A= 或 B=A 或 B=π -A(舍去), 2 ∴△ABC 为等腰或直角三角形. (2)如图所示,延长 BA 与 CD 相交于点 E,过点 C 作 CF∥AD 交 AB 于点 F,则 BF<AB<BE.

在等腰三角形 CBF 中,∠FCB=30°,CF=BC=2, ∴BF= 2 +2 -2?2?2cos 30°= 6- 2. 在等腰三角形 ECB 中,∠CEB=30°,∠ECB=75°,
2 2

BE=CE,BC=2,

BE

sin 75°



2 , sin 30°

2 6+ 2 ∴BE= ? = 6+ 2. 1 4 2 ∴ 6- 2<AB< 6+ 2.

二审结论会转换

典例 (12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a-c= = 6sin C. (1)求 cos A 的值; π? ? (2)求 cos?2A- ?的值. 6? ?

6 b,sin B 6

(1) 求cos A
已有a -c = 6 b

根据余弦定理 ― ― ― ― ― → 求三边a,b,c的长或长度问题

6 ????? ? 利用正弦定理将sin B= 6sin C化为b= 6c

10

π? 第?1?问已求 ? (2) 求cos?2A- ? ― → 求cos 2A,sin 2A ― → 求sin A,cos A ― ― ― ― ― → 出 cos A 6? ? 根据同角关系求sin A

规范解答 解 (1)在△ABC 中,由 = 及 sin B= 6sin C, sin B sin C 可得 b= 6c,[2 分] 又由 a-c= 6 b,有 a=2c,[4 分] 6

b

c

所以 cos A=

b2+c2-a2 6c2+c2-4c2 6 = = .[7 分] 2 2bc 4 2 6c
6 10 ,可得 sin A= .[8 分] 4 4

(2)在△ABC 中,由 cos A=

1 2 于是,cos 2A=2cos A-1=- ,[9 分] 4 sin 2A=2sin A?cos A= 15 .[10 分] 4

π? π π ? 所以 cos?2A- ?=cos 2Acos +sin 2Asin 6? 6 6 ? 3 15 1 15- 3 ? 1? =?- ?? + ? = .[12 分] 4 4 2 8 ? ? 2

1.在△ABC 中,C=60°,AB= 3,BC= 2,那么 A 等于( A.135° C.45° 答案 C B.105° D.75°

)

BC AB 2 3 解析 由正弦定理知 = ,即 = , sin A sin C sin A sin 60°
所以 sin A= 2 ,又由题知,BC<AB,∴A=45°. 2

2.(2016?全国乙卷)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a= 5,c=2,cos

A= ,则 b 等于(

2 3

)

11

A. 2

B. 3

C.2 D.3

答案 D 2 2 2 解析 由余弦定理,得 5=b +2 -2?b?2? , 3 1 ? ? 解得 b=3?b=- 舍去?,故选 D. 3 ? ? 3.(2016?西安模拟)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B =asin A,且 sin B=sin C,则△ABC 的形状为( A.等腰三角形 C.直角三角形 答案 D 解析 由 bcos C+ccos B=asin A, 得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin A, ∴sin(B+C)=sin A, 即 sin A=sin A,在三角形中 sin A≠0, ∴sin A=1,∴A=90°, 由 sin B=sin C,知 b=c, 综上可知△ABC 为等腰直角三角形. 4. (2016?陕西西安一中模拟)在△ABC 中, A=60°, BC= 10, D 是 AB 边上的一点, CD= 2, △BCD 的面积为 1,则 AC 的长为( A.2 3 答案 D 解析 ∵BC= 10,CD= 2,△CBD 的面积为 1, 1 ∴S△CBD= ? 2? 10sin ∠DCB=1, 2 ∴sin ∠DCB= 5 2 5 ,cos ∠DCB= . 5 5 B. 3 C. 3 3 2 3 D. 3 )
2 2 2 2 2 2 2

)

B.锐角三角形 D.等腰直角三角形

由余弦定理,得

BD2=CB2+CD2-2CD?CBcos ∠DCB=4,
解得 BD=2. 在△CBD 中,由余弦定理,得 cos ∠BDC=- ∴∠BDC=135°,∠ADC=45°, 2 , 2

12

在△ADC 中,由正弦定理,得 2 3 ∴AC= ,故选 D. 3

AC 2 = , sin 45° sin 60°

5. 已知△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 A. π 6 π B. 4 π C. 3 3π D. 4

c-b sin A = , 则 B 等于( c-a sin C+sin B

)

答案 C 解析 根据正弦定理 = = =2R, sin A sin B sin C 得

a

b

c

c-b sin A a = = , c-a sin C+sin B c+b
2 2 2

a2+c2-b2 1 即 a +c -b =ac,得 cos B= = , 2ac 2
π 故 B= ,故选 C. 3 6.在△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2 3,则△ABC 的面积为 答案 2 3 .

13

2 3 4 解析 如图所示, 在△ABC 中, 由正弦定理得 = , 解得 sin B=1, 所以 B=90°, sin 60° sin B

1 1 2 2 所以 S△ABC= ?AB?2 3= ? 4 -?2 3? ?2 3=2 3. 2 2 4 5 7.(2016?全国甲卷)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A= ,cos C= , 5 13

a=1,则 b=
答案 21 13

.

4 5 3 12 解析 在△ABC 中,由 cos A= ,cos C= ,可得 sin A= ,sin C= ,sin B=sin(A+ 5 13 5 13

C)=sin Acos C+cos A?sin C= ,由正弦定理得 b=

63 65

asin B 21 = . sin A 13
2 2 2

8.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若(a +c -b )tan B= 3ac,则角 B 的 值为 答案 . π 2π 或 3 3

解析 由余弦定理,得

a2+c2-b2 =cos B, 2ac
3 , 2

结合已知等式得 cos B?tan B= ∴sin B= 3 π 2π ,∴B= 或 . 2 3 3

9.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知△ABC 的面积为 3 15,b-c 1 =2,cos A=- ,则 a 的值为 4 答案 8 1 15 解析 ∵cos A=- ,0<A<π ,∴sin A= , 4 4 .

S△ABC= bcsin A= bc?
2

1 2

1 2

15 =3 15,∴bc=24, 4
2 2 2

又 b-c=2,∴b -2bc+c =4,b +c =52, 由余弦定理得 a =b +c -2bccos A
2 2 2

14

? 1? =52-2?24??- ?=64, ? 4?
∴a=8. 10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 asin B= 3bcos A.若 a= 4,则△ABC 周长的最大值为 答案 12 解析 由正弦定理 = , sin A sin B 可将 asin B= 3bcos A 转化为 sin Asin B= 3sin Bcos A. 又在△ABC 中,sin B>0,∴sin A= 3cos A, 即 tan A= 3. π ∵0<A<π ,∴A= . 3 由余弦定理得 a =16=b +c -2bccos A =(b+c) -3bc≥(b+c) -3(
2 2 2 2 2 2



a

b

b+c
2

),

2

则(b+c) ≤64,即 b+c≤8(当且仅当 b=c=4 时等号成立), ∴△ABC 周长=a+b+c=4+b+c≤12,即最大值为 12. 11.(2016?陕西千阳中学模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足

csin A=acos C.
(1)求角 C 的大小. π (2)求 3sin A-cos(B+ )的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的大小. 4 解 (1)由正弦定理,得 sin Csin A=sin Acos C, 因为 0<A<π ,所以 sin A>0, 从而 sin C=cos C, π 又 cos C≠0,所以 tan C=1,即 C= . 4 3π (2)由(1)知,B= -A, 4 π 于是 3sin A-cos(B+ ) 4 = 3sin A+cos A π =2sin(A+ ). 6

15

3π π π 11π 因为 0<A< ,所以 <A+ < . 4 6 6 12 π π π 从而当 A+ = ,即 A= 时, 6 2 3 π 2sin(A+ )取得最大值 2. 6 π 综上, 3sin A-cos(B+ )的最大值为 2, 4 π 5π 此时 A= ,B= . 3 12 12.(2015?陕西)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.向量 m=(a, 3b)与 n= (cos A,sin B)平行. (1)求 A; (2)若 a= 7,b=2,求△ABC 的面积. 解 (1)因为 m∥n,所以 asin B- 3bcos A=0, 由正弦定理,得 sin Asin B- 3sin Bcos A=0, 又 sin B≠0,从而 tan A= 3, π 由于 0<A<π ,所以 A= . 3 (2)方法一 由余弦定理,得 a =b +c -2bccos A, π 而由 a= 7,b=2,A= , 3 得 7=4+c -2c,即 c -2c-3=0, 因为 c>0,所以 c=3, 1 3 3 故△ABC 的面积为 S= bcsin A= . 2 2 方法二 由正弦定理,得 7 2 = , π sin B sin 3
2 2 2 2 2

从而 sin B=

21 , 7

2 7 又由 a>b,知 A>B,所以 cos B= , 7

? π? 故 sin C=sin(A+B)=sin?B+ ? 3? ?
=sin Bcos π π 3 21 +cos Bsin = . 3 3 14

16

1 3 3 所以△ABC 的面积为 S= absin C= . 2 2 13.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a -(b-c) =(2- 3)bc,sin Asin
2 2

C B=cos2 ,BC 边上的中线 AM 的长为 7.
2 (1)求角 A 和角 B 的大小; (2)求△ABC 的面积. 解 (1)由 a -(b-c) =(2- 3)bc, 得 a -b -c =- 3bc, ∴cos A=
2 2 2 2 2

b2+c2-a2 3 = , 2bc 2

π 又 0<A<π ,∴A= . 6 由 sin Asin B=cos
2

C
2



1 1+cos C 得 sin B= , 2 2 即 sin B=1+cos C, 则 cos C<0,即 C 为钝角, 5π ∴B 为锐角,且 B+C= , 6 5π π 则 sin( -C)=1+cos C,化简得 cos(C+ )=-1, 6 3 2π π 解得 C= ,∴B= . 3 6 (2)由(1)知,a=b,由余弦定理得 AM =b +( ) -2b? ?cos C=b + + =( 7) ,解得 2 2 4 2
2 2

a

2

a

2

b2 b2

2

b=2,
1 1 3 故 S△ABC= absin C= ?2?2? = 3. 2 2 2

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