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2017届新人教B版 等比数列及其前n项和 配餐作业


配餐作业(三十一)
一、选择题

等比数列及其前 n 项和

1 . (2016· 南昌模拟) 等比数列 x,3x +3,6x +6 ,…的第四项等于 ( ) A.-24 C.12 B.0 D.24

解析:由题意知(3x+3)2=x(6x+6),即 x2+4x+3=0,解得 x= -3 或 x=-1(舍去),

所以等比数列的前 3 项是-3,-6,-12,则 第四项为-24。 答案:A 2.(2016· 福州模拟)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=x· 3n-1- 1 6,则 x 的值为( 1 A.3 1 C.2 ) 1 B.-3 1 D.-2

1 解析:当 n=1 时,a1=S1=x-6 ①,
? n-1 1? ? n-2 1? 3 -6?-?x· 3 -6?=x· 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=?x· (3n-1-3n ? ? ? ?
-2

)=2x· 3n-2, 因为{an}是等比数列, 3 a 2 2 x· 所以 a1= q = 3
2-2

2x = 3 ②,

1 2x 1 由①②得 x-6= 3 ,解得 x=2。 答案:C 3.(2016· 昆明模拟)在等比数列{an}中,若 a3,a7 是方程 x2+4x +2=0 的两根,则 a5 的值是( A.-2 C.± 2
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) B.- 2 D. 2

解析:根据根与系数之间的关系得 a3+a7=-4, a3a7=2,由 a3+a7=-4<0,a3a7>0, 所以 a3<0,a7<0,即 a5<0, 由 a3a7=a2 5,所以 a5=- a3a7=- 2。 答案:B 5 5 4. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 a1+a3=2, a2+a4=4, Sn 则a =( n ) B.4n-1 D.2n-1 5 2 ? a + a q = 1 1 ? 2,① ∴? 5 3 ? a 1q+a1q = ,② ? 4

A.4n-1 C.2n-1 5 ? a + a = 1 3 ? 2, 解析:∵? 5 ? a 2+a4= , ? 4

1+q2 1 由①除以②可得 3=2,解得 q= , 2 q+q 代入①得 a1=2,
?1? 4 ∴an=2×?2?n-1=2n, ? ? ? ?1? ? 2×?1-?2?n? 1? ? ? ? ?? ?1- n?, ∴Sn= = 4 2? 1 ? 1-2

1? ? 4?1-2n? Sn ? ? ∴a = 4 =2n-1,选 D。
n

2n

答案:D 5.等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1 +log3a2+…+log3a10=( A.12 C.8
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) B.10 D.2+log35

解析:由题意可知 a5a6=a4a7, 又 a5a6+a4a7=18 得 a5a6=a4a7=9, 而 log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1· a2· …· a10)=log3(a5a6)5= log395=log3310=10。 答案:B 6.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a4 与 a14 的等比中项为 2 2,则 2a7+a11 的最小值为( A.16 C.2 2 ) B.8 D.4

解析:由题意知 a4>0,a14>0,a4· a14=8,a7>0,a11>0,则
?a7· a11=8, ? 2a7+a11≥2 2a7· a11=2 2a4· a14=2 16=8, 当且仅当? 即 ?2a7=a11, ?

a7=2,a11=4 时取等号,故 2a7+a11 的最小值为 8,故选 B。 答案:B 二、填空题 7.在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a2=1,a8=a6+2a4, 则 a6 的值是__________。 解析:设公比为 q,则由 a8=a6+2a4,得 a1q7=a1q5+2a1q3,q4 -q2-2=0,解得 q2=2(q2=-1 舍去),所以 a6=a2q4=4。 答案:4 8.等比数列{an}的各项均为正数,且 a1a5=4,则 log2a1+log2a2 +log2a3+log2a4+log2a5=__________。
2 解析:由等比数列的性质可知 a1a5=a2a4=a3 ,于是,由 a1a5=4

得 a3=2, 故 a1a2a3a4a5=32, 则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5 =log2(a1a2a3a4a5)=log232=5。 答案:5 9.(2016· 徐州模拟)若等比数列{an}满足:a2+a4=20,a3+a5= 40,则公比 q=______;前 n 项和 Sn=______。 解析:由 a2+a4=20,a3+a5=40,
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3 2 ? ? ?a1q+a1q =20, ?a1q?1+q ?=20, 得? 2 即? 2 4 2 ?a1q +a1q =40, ? ? ?a1q ?1+q ?=40,

解得 q=2,a1=2, a1?1-qn? 2?1-2n? n+1 所以 Sn= = =2 -2。 1-q 1-2 答案:2 2n+1-2 三、解答题 10.(2016· 河南八市质检)已知递增的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a6=64,且 a4,a5 的等差中项为 3a3。 (1)求数列{an}的通项公式; n (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn。 a2n-1 解析:(1)设等比数列{an}的公比为 q(q>0),
5 ? ?a1q =64 由题意,得? 3 4 2 , ?a1q +a1q =6a1q ?

?a1=2 ? 解得? , ? ?q=2或q=-3?舍?

所以 an=2n。 n n (2)因为 bn= = 2n-1, a2n-1 2 1 2 3 4 n 所以 Tn=2+23+25+27+…+ 2n-1, 2 n-1 1 1 2 3 n T n= 3+ 5+ 7+…+ 2n-1+ 2n+1, 4 2 2 2 2 2 1? 1? ?1- n? 4? 2? 3 1 1 1 1 1 n n 2 所以4Tn=2+23+25+27+…+ 2n-1- 2n+1= - 2n+1 = 1 3 2 2 2 1-4 - 4+3n , 3×22n+1

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8 16+12n 8 4+3n 故 Tn=9- = - 。 9×22n+1 9 9×22n-1 11 . (2016· 天津模拟 ) 已知等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ,若 40 S1,2S2,3S3 成等差数列,且 S4=27。 (1)求数列{an}的通项公式; 3 (2)求证:Sn<2。 解析:(1)设等比数列{an}的公比为 q。 因为 S1,2S2,3S3 成等差数列, 所以 4S2=S1+3S3, 即 4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3), 所以 a2=3a3, a3 1 所以 q=a =3。
2

a1?1-q4? 40 40 又 S4=27,即 =27, 1-q
?1? 解得 a1=1,所以 an=?3?n-1。 ? ? ?1?n ? ? 1 - a1?1-q ? ?3? (2)证明:由(1)得 Sn= = 1 = 1-q 1-3
n

?1? ? 3 3? ?1-? ?n?< 。 2? ?3? ? 2

12.(2016· 华中师大附中期中)已知数列{an}是等差数列,{bn}是 等比数列,且 a1=b1=2,b4=54,a1+a2+a3=b2+b3。 (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)数列{cn}满足 cn=anbn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn。 解析:(1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q, b4 54 由 b4=b1q3,得 q3=b = 2 =27,从而 q=3,bn=2· 3n-1。
1

又∵a1+a2+a3=3a2=b2+b3=6+18=24,
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∴a2=8,d=a2-a1=8-2=6, ∴an=a1+(n-1)d=2+6(n-1)=6n-4。 ∴an=6n-4,bn=2· 3n-1。 (2)cn=anbn=4(3n-2)· 3n-1。 令 Sn=4[1×30+4×31+7×32+…+(3n-5)×3n-2+(3n-2)×3n
-1

], 则 3Sn = 4[1×31 + 4×32 + 7×33 + …+ (3n - 5)×3n - 1 + (3n -

2)×3n]。 两式相减得- 2Sn = 4[1 + 3×31 + 3×32 +…+ 3×3n - 1 - (3n - 2)×3n], ∴-2Sn=[1+32+33+…+3n-(3n-2)×3n] =2[(7-6n)· 3n-7]。 ∴Sn=7+(6n-7)· 3n。

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