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一次函数(3)(4)


一、创设情景,提出问题
1、复习: 你能画出y=2x和y=-x+3的图象吗? 2.反思:
你在作这两个函数图象时,分别描了 几个点? 可以有不同取法吗?

你能求出下图中直线的函数解 析式吗?
y

2 1

提示:根据函数图像你能得到什么 信息?
y=2x
x

/>
?1 0 1 ?1

2

原点 的一条 分析与思考:图象是经过____ 正比例 函数,可设它 直线,因此是_______ y=kx 将点_____ (1,2) 代入表 的表达式为______ k=2 ,从而确定该函数的表 达式得_____ y=2x 达式为_______

二、提出问题,形成思路
1.求下图中直线的函数解析式
3 y ? ? x?3 2

3.反思小结: 确定正比例函数的表达式需要 1 个条件 确定一次函数的表达式需要 2 个条件.

三、初步应用,感悟新知
例题:已知一次函数的图象经过点(3,5)与 (-4,-9).求这个一次函数的解析式. 解:设这个一次函数的解析式为y=kx+b. 把x=3,y=5;x=-4,y=-9分别 代入上式得: 3k+b=5 -4k+b=-9 解方程组得 k=2 b=-1 因为图象过(3, 5)与(-4,-9) 点,所以这两点 的坐标必适合解 析式

∴这个一次函数的解析式为y=2x-1

例题:已知一次函数的图象经过点 (3,5)与(-4,-9).求这个一次函 数的解析式. 象这样先设出函数解析式,再根据 条件确定解析式中未知的系数,从而 具体写出这个式子的方法,叫做待定 系数法. 你能归纳出待定系数法求函数解析 式的基本步骤吗?

你能归纳出待定系数法求函数解析 式的基本步骤吗? 解:设这个一次函数的解析式 y=kx+b 为 把x=3,y=5;x=-4,y=-9 分别代入上式得 3k+b=5 -4k+b=-9 k=2 解得 b=-1

设 列

?

?



一次函数的解析式为 y=2x-1



四、小试身手
1、 已知一次函数y ? kx ? 3的图象过点 解 :设这个一次函数的解析式为 :y=kx+b ( 2,?1), 求这个函数的解析式 . 和x=4,y=7.2代入,得: 根据题意,把x=0,y=6 解:? 一次函数的图象过点 ( 2,?1), b=6 ? ?1 ? 2 k ? 3,即k ? 1.故这个函数解 4k+b=7.2 析式为 y ? x ? 3 ,得 解这个方程组 k=0.3 2.已知直线 y=kx+b b=6 经过点(9,0)和 点(24,20),求k、b的值. 所以一次函数的解析式为:y=0.3x+6 解: 把x=9,y=0和 x=24,y=20分别代入y=kx+b得: 3: 已知弹簧长度 y(厘米)在一定限度内所挂 0=9k+b 重物质量 x(千克)的一次函数,现已测得不 4 20=24k+b 挂重物时弹簧的长度是 6厘米,挂 4千克质量 K= 3 的重物时,弹簧的长度是 7.2厘米,求这个一 解方程组得: b=-12 次函数的解析式。 4 y ? x ? 12 这个一次函数的解析式为

?

?

3

想一想: 整理归纳 满足条件的两个 定点除了上述表现方 式外,还有其他表现 从数到形 方式吗?如果有,我 们又该如何分析呢?
函数解析 式y=kx+b
选取 满足条件的两定点 画出

解出

( x1, y1 )与(x2 , y2 )

选取

一次函数的 图象直线 l

从形到数 数学的基本思想方法:

数形结合

1、 已知 y是 x的一次函数,当 x=-1时 y=3, 当 x =2 时 y=-3,求 y关于 x 的一次函数解析 式.

2、 已知一次函数 y ? kx ? b(k ? 0)的图象经过点 A( 3, 0), 与y轴交于点B, 若?AOB的面积为6, 试求一次函数的解析式 .
y
B

o

A

x

B'

解:? 直线y ? kx ? b经过点A( 3, 0), 与y轴 交于点B ? 点B的坐标为 (0,b ).? OA ? 3, 1 1 OB ? b , S ? OA ? OB ? ? 3 ? b ? 6 2 2 ? B点的坐标为 (0,4)或(0,?4). 当B点的坐标为 (0,4)时, 用坐标表示线段 0 ? 3k ? 4 4 长度时应用绝对 ?k ? ? 3 值符号。 4 此时一次函数的析式为y ? ? x ? 4. 3 同理, 当B点的坐标为 (0,?4)时, 4 一次函数的解析式为y ? x ? 4. 3 ? 符合条件的一次函数的解析式为 4 4 y ? ? x ? 4或y ? x ? 4. 3 3
?AOB

3、一次函数y=kx+b(k≠0)的自变量的取值范 围是-3≤x≤6,相应函数值的范围是-5≤y≤-2,求这 个函数的解析式.
解: 当k ? 0时, 把( ?3,?5), (6,?2)分别代入y ? kx ? b中, 1 ? ?? 5 ? ?3k ? b ?k ? 得:? 解得? 3 ? 一次函数解析式为 ? 2 ? 6 k ? b ? ? ?b ? ?4 1 y ? x?4 3 当k ? 0时, 把( ?3,?2), (6,?5)分别代入y ? kx ? b中,

由于此题中没有明确k的正负, 且一次函数y=kx+b(k≠0)只有 在k>0时,y随x的增大而增大, 1 ? b k ? ? ?? 2 ? ?3k ? ? 在解得 k<? 0时, 得:? 3y随x的增大而减小, ?? 5 ? 6 k ? b ? ?b ? ?3 k>0和k<0两种情 故此题要分 1 ? 一次函数解析式为 y ? ? x。 ?3 况进行讨论 3
综上所述, 一次函数的解析式为 y? 1 1 x ? 4或y ? ? x ? 3. 3 3

思考

下图所表示的函数是正比例函数吗?是 一次函数吗?你是怎样认为的?
s
16 12
8 4

O

2

4

6

t

例2 “黄金1号”玉米种子的价格为5元 /kg. 如果一次购买2kg以上的种子,超过2kg 部分的种子价格打8折. (1)填写下表.
购买量 0.5 /kg
付款金 额 /元
2.5

1
5

1.5
7.5

2
10

2.5

3

3.5
17.5

4
20




12.5 15

例5 “黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg. 如果一次 购买2kg以上的种子,超过2kg部分的种子价格打8折. 购买量 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 …
/kg

付款金额/ 2.5 元

5 7.5

10 12.5 15 17.5 20



(2)写出购买量关于付款金额的函数解析式,并画出函数 图象. 解:设购买量为x千克,付款金额为y元. y 当0≤x≤2时, y=4x+2(x>2) 14 y=5x; 分段函数 当x>2时, 10 解析式的书写形式为: y=4(x-2)+10=4x+2. 函数图象为: y=5x(0≤x≤2)

y = 4x+2(x>2)

?

5x(0≤x≤2)

0

1 2 3

x

某市为了鼓励居民节约用水,采用分段 计费的方法按月计算每个家庭的水费,月用 水量不超过20立方米时,按2元/立方米计费; 月用水量超过20立方米时,其中的20立方米 仍按2元/立方米收费,超过部分按2.6元/立 方米计费.设某个家庭用水量为x立方米时, 应交水费y元.
①分别求出0≤x≤20和x>20时,y与x的函数 解析式. ②小明家第二季度交纳水费的情况如下:
月份 交费金额 四月份 30元 五月份 34元 六月份 42.6元

小明家这个季度共用水多少立方米?

开始时引入图象所表示的是分段函数 吗?你能写出它的解析式吗?说说你的做 法.
s
16 12 8 4
0≤t≤2时, s=6t; 2<t≤4时, s=12; 4<t≤6时,

O

2

4

6

t
s=-6t+12.

课堂小结 (1)本节课,我们研究了什么,得到了哪些成 果? (2)用待定系数法求一次函数解析式的解题步 骤是 什么? (3)我们是如何建立一次函数模型解决实际问 题的? (4)书写分段函数的解析式时要注意什么?

春、秋季节,由于冷空气的 入侵,地面气温急剧下降到0℃以 下的天气现象称为“霜冻”.由 霜冻导致植物生长受到影响或破 坏的现象称为霜冻灾害. 某种植物在气温是0℃以下持 续时间超过3小时,即遭受霜冻灾 害,需采取预防措施.右图是气 象台某天发布的该地区气象信息, 预报了次日0时~8时气温随时间 变化情况,其中0时~5时,5时~ 8时的图象分别满足一次函数关 系.请你根据图中信息,针对这 种植物判断次日是否需要采取防 霜冻措施,并说明理由.

y/ oC

O

x/时

解:根据图象可知: 设0时~5时的一次函数关系式 为y1=k1x+b1, 经过点(0,3),(5,-3), b1=3, 5k1+b1=-3. 解得k1=-1.2, b1=3. ∴y1=-1.2x+3.
设5时~ 8时的一次函数关系式 为y2=k2x+b2, 经过点(5,-3),(8,5), 5k2+b2=-3 , 8k2+b2=5.
8 49 解得 k 2 ? 3 , b2 ? ? 3 . 8 49 y ? x ? ∴ 2 3 3 .

y/ oC

O

x/时

当y1、y2分别为0时,
5 49 , x2 ? . 2 8 29 而|x2-x1|= >3, 8 x1 ?

∴应采取防霜冻措施.

六、课堂小结

待定系数 法

1、通过这节课的学习,你知道利用什么方法确 定正比例函数或一次函数的解析式吗? 2、你还记得利用待定系数法确定函数解析式的 一般步骤吗?

3、体验了数形结合思想在 解决函数问题作用!

一设二列三 解四写


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