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第三轮考点过关(十四、导数 定积分)


十四、导数 定积分
考点 115 怎样求曲线的切线方程? ①曲线 C : y ? f (x) 在点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程为: y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ②曲线 C : y ? f (x) 经过点 P ( x0 , y0 ) 的切线方程,常要设切点坐标,写切线方程,然后 将点 P 的坐标代入确定切线的方程. 练习 119

曲线 y ? ln x ? x 2 ?
1 在点 M (1,0) 处的切线方程是 2? x

.

练习 120 过点 (1,0) 且与曲线 y ? 相切的直线方程是

1 x

考点 116 导数运算 ①常见函数的导数公式及求导法则:
C? ? 0(C为常数); (x m )? ? mx m-1 (m ? Q);
(e x )? ? e x ;

( a x )? ? a x ln a ;

(ln x)? ?

1 ; x

(log a x)? ?

1 ; x ln a

(sin x)? ? cos x ;

(cos x)? ? ? sin x

②四则运算的导数: (u ? v) ' ? u '? v ' ③复合函数的导数: y 'x ? y 'u ? u 'x 练习 121. 函数 y ? x ? e1? cos x 的导数为

(u ? v) '? u ? ' v ' (u v) ? ' u '? v

u? v ? u' v ?u? (v ? 0) u v' ? ? ? v2 ?v?

'

练习 122. 函数 y ? cos(2 x ? ) 的导数为
4

?

考点 117 导数的应用: (1)利用导数判断函数的单调性:设函数 y=f(x)在某个开区间内可导, 如果 f ?( x) ? 0, 那么 f(x)为增函数; 如果 f ?( x) ? 0, 那么 f(x)为减函数; 如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0, 那么 f(x)为常数; (2) 求可导函数极值的步骤: ①求导数 f ?(x) ; ②求方程 f ?(x) ? 0 的根; ③检验 f ?(x) 在方程 f ?(x) ? 0 根的左右的符号 ? (3) f ( x0 ) ? 0 与可导函数 y ? f (x) 在 x ? x0 处有极值的关系是什么? 可导函数 y ? f (x) 在 x ? x0 处有极值,则 f ?( x0 ) ? 0 ; 但满足 f ?( x0 ) ? 0 的点 x0 处不一定有极值, 还必须在 x0 处左右的单调性是“左增右减(极大) ”或“左减右增(极小) ”. (4)求可导函数 y ? f (x) 在闭区间 [a, b] 上最大值与最小值的步骤: ①求 y=f(x)在(a,b)内的极值; ②将 y=f(x)在各极值点的极值与 f(a) 、f(b)比较 4 3 练习 123. 函数 y ? x ? 4 x ? 1 的极值是 . 考点 118 定积分
-1-

基本的积分公式你记住了么?

? 0dx =C; ? x

m

dx =

1 1 x m ?1 +C(m∈Q, m≠-1) ; ? dx=ln x +C; x m ?1

x x x ? e dx = e +C; ? a dx =

ax +C; ? cos xdx =sinx+C; ? sin xdx =-cosx+C(表中 C 均 ln a

为常数) 有些无法利用公式的,想到用几何意义了么? (2)定积分的性质知道么? ① ② ③

? kf ( x)dx ? k ?
a

b

b

a

; f ( x)dx (k 为常数)
b b

?
?

b

a
b

f ( x) ? g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx ;
a a

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中 a<c<b ) 。
a c

c

b

过关题:计算定积分: ? 2? cos2 xdx ;(1) ? 2
? 2
0

?

?

2 cos2 x dx ;(2) ? ( 4 ? x 2 ? 2 x)dx 0 cos x ? sin x

练习答案:118. x ? 2 y ? 1 ? 0 121. y? ? ?2sin(2 x ? )
4

119. 4x ? y ? 4 ? 0
?

120. y? ? (1 ? x sin x)e1? cos x 123.
1 4

122.-26

-2-


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