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2011-2012学年河南省洛阳市高二(上)期末数学试卷(文科)


2011-2012 学年河南省洛阳市高二(上)期末数学试卷(文科)
一、 选择题 (本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合要求的. ) 1. (5 分)“x>0”是“ >0”的( )

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. (5 分)

若抛物线的顶点为坐标原点,焦点为(0,1) ,则此抛物线的方程是( ) 2 2 2 A.y =2x B.y =4x C.x =2y D.x2=4y 2 3. (5 分)命题“?x>0,x ﹣x≤0”的否定是( ) A.?x>0,x2﹣x>0 B.?x≤0,x2﹣x>0 C.?x>0,x2﹣x>0 D.?x≤0,x2﹣x>0 4. (5 分)如果 log9(mn)=2(m>0,n>0) ,那么 m+n 的最小值是( ) A.18 B.9 C .4 D.4 5. (5 分)在△ ABC 中,已知∠ B=45°,c=2 A.15° B.75° ,b= ,则∠ A 的值是( C.105° ) D.75°或 15° )

6. (5 分) (2006?天津)设{an}是等差数列,a1+a3+a5=9,a6=9.则这个数列的前 6 项和等于( A.12 B.24 C.36 D.48 7. (5 分)△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a ﹣b = A. B. C. ﹣
2 2

bc, =2

,则 cosA=( D. ﹣



8. (5 分)若椭圆 A.

的离心率为 ,则 m 的值等于( B. C.

) D.

9. (5 分)已知函数 f(x)定义域为 R,f′ (x)存在,且 f(﹣x)=f(x) ,则 f′ (0)=( ) A .2 B.1 C .0 D.﹣1 10. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f′ (x)>3 恒成立,又 f(﹣1)=3,则 f(x)<3x+6 的解集是( A.(﹣1,1) B.(﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣1) D.(﹣∞,+∞)
2 2



11. (5 分)已知命题 p:“?x∈[1,2],x ﹣a≥0”,命题 q:“方程 x +2ax+2﹣a=0 有实数根”,若命题“¬p∨ ¬q”是假 命题,则实数 a 的取值范围是( ) A.a≤﹣2 或 a=1 B.a≤﹣2 或 1≤a≤2 C.a≥1 D.﹣2≤a≤1 12. (5 分) (2011?长春二模) 设 F1、 F2 分别是双曲线 x ﹣ 则| + |=( ) C. D.2
2

=1 的左、 右焦点. 若点 P 在双曲线上, 且

?

=0,

A. B.2 二、填空题:本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分 13. (5 分)已知{an}是公比为 的等比例,则

的值为 _________ . _________ .

14. (5 分)曲线 在点(1,1)处的切线方程为 15. (5 分)下列命题: (1)存在实数 x 使得 sinx+cosx=2;

(2)f(x)=x+ (x>0)的最小值为 4; (3)若 a∥ α,b∥ a,则 b∥ α. 其中正确命题的序号是 _________ . 16. (5 分)已知椭圆 +y =1 的焦点为 F1,F2,P 是椭圆上的点,当△ F1PF2 的面积为 1 时,
2

?

的值为

_________ . 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (10 分)已知△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a+b=5,c= (1)求 a,b; (2)求△ ABC 的面积. 18. (12 分)已知命题 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0(a>0) ,命题 q:实数 x 满足 x ﹣6x+8>0,若 p 是 q 的充 分不必要条件,求 a 的取值范围.
2 2 2 2

,C= .

19. (12 分)已知双曲线 C 与双曲线

﹣y =1 有相同的渐近线,且经过点(﹣3,2) .

(1)求双曲线 C 的方程; (2)求直线 y=x+ 被双曲线 C 所截得的弦长.

20. (12 分)已知数列{

}为等差数列,且 a1=1,a2= .

(1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= ?an,求数列{ }的前 n 项和 Sn.

21. (12 分)已知 A(1,0) ,B(﹣1,0) ,P 是平面上的一个动点,且满足| (1)求点 P 的轨迹方程; (2)若直线 y=x+m(m≠0)与点 P 的轨迹交于 M,N 两点,且

| ?|

|=

?



⊥ ,求 m.

22. (12 分)已知函数 f(x)= x +
2

3

x +(a ﹣3a)x﹣2a.

2

2

(1)若对任意的 x∈[1,2],f′ (x)>a 恒成立,求 a 的取值范围; 3 3 3 (2)设函数 f(x)的两个极值点分别为 x1,x2,求 g(a)=x1 +x2 +a 的最小值.

2

2011-2012 学年河南省洛阳市高二(上)期末数学 试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、 选择题 (本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合要求的. ) 1. (5 分)“x>0”是“ >0”的( A.充分不必要条件 C. 充要条件 ) B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 由 x>0 能得到 ,由 能得到 x>0,所以根据充要条件的概念知道:x>0 是
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的充要条件.

解答:

解:若 x>0,则一定有 ∴ x>0 是 >0 的充分条件; 若 ,则一定有 x>0; 的必要条件; 的充要条件.



∴ x>0 是 ∴ x>0 是

故选:C. 点评: 考查充分条件,必要条件,充要条件的概念. 2. (5 分)若抛物线的顶点为坐标原点,焦点为(0,1) ,则此抛物线的方程是( A.y2=2x B.y2=4x C.x2=2y 考点: 专题: 分析: 解答: ) D.x2=4y

抛物线的标准方程. 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 先根据抛物线的顶点在坐标原点,焦点为(0,1) ,求得抛物线方程中的 p,抛物线方程可得. 解:根据顶点在坐标原点,焦点为(0,1) , 2 求得抛物线 x =2py 中参数 p,p=2 2 ∴ 抛物线的方程是 x =4y. 故选:D. 点评: 本题主要考查了抛物线的标准方程.解答的关键在于考生对圆锥曲线的基础知识的把握.
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3. (5 分)命题“?x>0,x ﹣x≤0”的否定是( ) A.?x>0,x2﹣x>0 B.?x≤0,x2﹣x>0

2

C.?x>0,x2﹣x>0

D.?x≤0,x2﹣x>0

考点: 命题的否定. 专题: 阅读型. 分析: 根据命题“?x>0,x2﹣x≤0”是特称命题,其否定为全称命题,即?x>0,x2﹣x>0.从而得到答案.
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3

2 解答: 解:∵ 命题“?x>0,x ﹣x≤0”是特称命题 2 ∴ 否定命题为:?x>0,x ﹣x>0. 故选 C. 点评: 本题主要考查全称命题与特称命题的转化,属基础题.

4. (5 分)如果 log9(mn)=2(m>0,n>0) ,那么 m+n 的最小值是( A.18 B.9 C .4 考点: 专题: 分析: 解答: 基本不等式. 不等式的解法及应用. 利用对数的运算性质和基本不等式即可得出.
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) D.4

解:∵ log9(mn)=2,得 mn=81. ∵ m>0,n>0,∴ m+n≥2 =2 =18,当且仅当 m=n=9 时取等号. 故选:A. 点评: 熟练掌握对数的运算性质和基本不等式是解题的关键.

5. (5 分)在△ ABC 中,已知∠ B=45°,c=2 A.15° B.75°

,b=

,则∠ A 的值是( C.105°

) D.75°或 15°

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由 B 的度数求出 sinB 的值,再由 b 与 c 的值,利用余弦定理求出 a 的值,再由 a,sinB,以及 b 的值,利 用正弦定理求出 sinA 的值,即可确定出 A 的度数. 解答: 解:∵ 在△ ABC 中,∠ B=45°,c=2 ,b= ,
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∴ 由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB,即 解得:a=2+ 由正弦定理 或 a=2﹣ = , =

2

2

2

=a +8﹣4a,

2

得:sinA=

或 ,



∵ sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°= sin15°=sin(45°﹣30°)=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=



∴ ∠ A=75°或 15°. 故选 D 点评: 此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 6. (5 分) (2006?天津)设{an}是等差数列,a1+a3+a5=9,a6=9.则这个数列的前 6 项和等于( A.12 B.24 C.36 D.48 )

考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 利用等差数列的通项公式,结合已知条件列出关于 a1,d 的方程组,求出 a1、d,进而代入等差数列的前 n 项和公式,求出 s6. 解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d,由等差数列的通项公式可得 a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=3a1+6d=9,即 a1+2d=3;a6=a1+5d=9.
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4

∴ d=2,a1=﹣1, 则这个数列的前 6 项和 s6=6×(﹣1)+ ×2=24,

故选 B. 点评: 本题综合考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式,是高考的一大热点. 7. (5 分)△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a ﹣b = A. B. C. ﹣
2 2

bc, =2

,则 cosA=( D. ﹣



考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 将已知第二个等式变形后代入第一个等式表示出 a 与 c,利用余弦定理列出关系式,将表示出的 a 与 c 代入 计算即可求出值. 解答: 2 2 2 2 2 解:把 =2 ,即 c=2 b 代入 a ﹣b = bc,得:a ﹣b =6b ,即 a= b,
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∴ cosA=

=

=



故选:B. 点评: 此题考查了余弦定理,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.

8. (5 分)若椭圆 A.

的离心率为 ,则 m 的值等于( B. C.

) D.

考点: 专题: 分析: 解答:

椭圆的简单性质. 计算题. 先看当焦点在 y 轴和 x 轴时,根据方程分别求得 a 和 c,进而根据离心率求得 m. 解:当 m+9>9,即 m>0 时,焦点 y 轴
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c= e=

= = 求得 m=3

当 m+9<9 时,即 m<0 时, c= e= = ,求得 m=﹣

故选 C 点评: 本题主要考查了椭圆的简单性质.注意讨论椭圆焦点在 y 轴和在 x 轴两种情况. 9. (5 分)已知函数 f(x)定义域为 R,f′ (x)存在,且 f(﹣x)=f(x) ,则 f′ (0)=( ) A .2 B.1 C .0 D.﹣1 考点: 导数的运算;函数奇偶性的性质.

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5

专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据导数的定义求导即可. 解答: 解:∵ 函数 f(x)定义域为 R,f′ (x)存在,且 f(﹣x)=f(x) , ∴ f′ (0)= = =0,

故选:C 点评: 本题主要考查了利用函数导数的定义求导,属于基础题 10. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f′ (x)>3 恒成立,又 f(﹣1)=3,则 f(x)<3x+6 的解集是( A.(﹣1,1) B.(﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣1) D.(﹣∞,+∞) )

考点: 导数的运算;函数单调性的性质;函数恒成立问题. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 构造函数设 F(x)=f(x)﹣3x﹣3.根据 f′ (x)>3 恒成立,得到 F(x)在 R 是增函数,再根据 f(﹣1) =3,求得 F(﹣1)=3,得到不等式,解得即可. 解答: 解:设 F(x)=f(x)﹣3x﹣3,则:F'(x)=f'(x)﹣3>0, ∵ f′ (x)>3 恒成立, ∴ F(x)在 R 是增函数, ∵ f(﹣1)=3 ∴ F(﹣1)=f(1)﹣3×(﹣1)﹣3=3, ∵ f(x)<3x+6, ∴ f(x)﹣3x﹣3<3, 即 F(x)<3=F(﹣1) ∴ x<﹣1; ∴ f(x)<3x+6 的解集是(﹣∞,﹣1) 故选:C. 点评: 本题考查了用导数判定函数的调性的应用,并用构造函数法来解答问题,是基础题.
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11. (5 分)已知命题 p:“?x∈[1,2],x ﹣a≥0”,命题 q:“方程 x +2ax+2﹣a=0 有实数根”,若命题“¬p∨ ¬q”是假 命题,则实数 a 的取值范围是( ) A.a≤﹣2 或 a=1 B.a≤﹣2 或 1≤a≤2 C.a≥1 D.﹣2≤a≤1 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 先求出命题 p,q 下的 a 的取值:由命题 p 得,a≤x2,所以只要让 a 小于等于 x2 的最小值即可;由命题 q 得, △ ≥0,这样即可求得命题 p,q 下的 a 的取值.根据¬p∨ ¬q 是假命题,得到 p,q 都是真命题,所以对在命 题 p,q 下求得的 a 的取值求交集即可. 2 解答: 解:命题 p:?x∈[1,2],x ﹣a≥0; 2 ∴ a≤x ; 2 ∵ x 在[1,2]上的最小值为 1; ∴ a≤1; 2 命题 q:方程 x +2ax+2﹣a=0 有实数根; 2 ∴ △ =4a ﹣4(2﹣a)≥0,解得 a≤﹣2,或 a≥1; ∵ ¬p∨ ¬q 是假命题; ∴ ¬p,¬q 都是假命题; ∴ p,q 都是真命题; ∴ a 的取值范围是{a|a≤﹣2,或 a=1}; 故选 A. 点评: 本题考查二次函数在一闭区间上的最值的求法,一元二次方程的根和判别式的关系,以及逻辑连接词¬和∨
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2

2

6

的定义,及由这两个逻辑连接词连接的命题的真假情况.

12. (5 分) (2011?长春二模) 设 F1、 F2 分别是双曲线 x ﹣ 则| A. + |=( ) B.2

2

=1 的左、 右焦点. 若点 P 在双曲线上, 且

?

=0,

C.

D.2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由点 P 在双曲线上,且
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?

=0 可知|

+

|=2|

|=|

|.由此可以求出|

+

|的值.

解答: 解:根据题意,F1、F2 分别是双曲线 x ﹣ ∵ 点 P 在双曲线上,且 ∴ | + |=2| |=| ? |=2 =0, .
2

=1 的左、右焦点.

故选 B. 点评: 把| + |转化为|| |是正确解题的关键步骤.

二、填空题:本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分 13. (5 分)已知{an}是公比为 的等比例,则 的值为 2 .

考点: 专题: 分析: 解答:

等比数列的性质. 计算题;等差数列与等比数列.
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运用等比数列的通项公式:an=a1q ,化简即可求值. 解:由于{an}是公比为 的等比数列, 2 则 a1+a2+a3=a1(1+q+q )=a1(1+ +2)=(3+ )a1, 2 3 4 a3+a4+a5=a1(q +q +q )=a1(2+2 +4)=(6+2 )a1, 故 = =2.

n﹣1

故答案为:2. 点评: 本题考查等比数列的通项公式,考查基本的运算能力,属于基础题. 14. (5 分)曲线 在点(1,1)处的切线方程为 x﹣2y+1=0 .

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求出函数 的导函数,然后求出 在 x=1 时的导数值,则曲线 可求,利用直线方程的点斜式可得直线方程,最后化为一般式.
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在点(1,1)处的切线的斜率

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解答: 解:由 = ,得: ,

∴ ∴ 曲线

. 在点(1,1)处的切线方程为 ,即 x﹣2y+1=0.

故答案为 x﹣2y+1=0. 点评: 本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程,解答此类问题的关键是注意题目的问法,求曲线在某点 处的切线方程,说明该点是切点,若是求曲线过某点的切线方程,则该点不见得是切点,解答时需要设出 切点坐标,此题是中档题. 15. (5 分)下列命题: (1)存在实数 x 使得 sinx+cosx=2; (2)f(x)=x+ (x>0)的最小值为 4; (3)若 a∥ α,b∥ a,则 b∥ α. 其中正确命题的序号是 (2) . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用;空间位置关系与距离. 分析: (1)由两角和的正弦,可得 sinx+cosx= sin(x
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,即可判断;

(2)运用基本不等式,即可求出最小值,注意等号成立的条件; (3)由线面平行的性质,即可判断 b 与 α 的位置关系. 解答: 解: (1)由于 sinx+cosx= sin(x ) ,故不存在实数 x 使得 sinx+cosx=2.故(1)错;

(2)f(x)=x+ (x>0)≥2

=4,当且仅当 x=2 取最小值 4.故(2)对;

(3)若 a∥ α,b∥ a,则 b∥ α 或 b?α,故(3)错. 故答案为: (2) 点评: 本题考查函数的最值,考查运用三角函数的有界性和基本不等式求最值,注意等号成立的条件,同时考查 线面平行的性质,属于基础题.
2

16. (5 分) 已知椭圆

+y =1 的焦点为 F1, F2, P 是椭圆上的点, 当△ F1PF2 的面积为 1 时,

?

的值为 0



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用△ F1PF2 的面积为 1,求出 P 的坐标,即可求出
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?

的值.

2 解答: 解:由题意,a2=4,b2=1,∴ c =3,∴ c= ∴ |F1F2|=2c=2

设 P(x,y) (x>0,y>0) ,则 ∴ y= ,

=1,

8

∴ P( ∴ ?



) , ﹣ ,﹣ )?( ﹣ ,﹣ )=0

=(﹣

故答案为:0 点评: 本题考查 ? 的值,考查三角形面积的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (10 分)已知△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a+b=5,c= (1)求 a,b; (2)求△ ABC 的面积. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)由余弦定理列出关系式,将 c,cosC 的值代入利用完全平方公式变形,把 a+b 的值代入求出 ab 的值, 联立即可求出 a 与 b 的值; (2)由 ab,sinC 的值,利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 面积. 2 2 2 解答: 解: (1)由余弦定理得:a +b ﹣c =2abcosC,
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,C= .

将 c=

,cosC= 代入得:a +b ﹣7=ab,即(a+b) ﹣7=3ab,

2

2

2

把 a+b=5 代入得:ab=6, 联立得: ,

解得:a=2,b=3;a=3,b=2; (2)∵ ab=6,sinC= ∴ S△ABC= absinC= , .

点评: 此题考查了余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 18. (12 分)已知命题 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0(a>0) ,命题 q:实数 x 满足 x ﹣6x+8>0,若 p 是 q 的充 分不必要条件,求 a 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 2 2 2 分析: 构造集合 A={x|x ﹣4ax+3a <0(a>0)}={x|a<x<3a},B={x|x ﹣6x+8>0}={x|x>4,或 x<2},由题意可 得 A 是 B 的真子集,建立关于 a 的不等式组可得. 解答: 解:设集合 A={x|x2﹣4ax+3a2<0(a>0)}={x|a<x<3a}, 2 B={x|x ﹣6x+8>0}={x|x>4,或 x<2}, ∵ p 是 q 的充分不必要条件,∴ A 是 B 的真子集,
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2

2

2



,或

,解得 a≥4,或 0<a≤

故 a 的取值范围是:a≥4,或 0<a≤ 点评: 本题考查充要条件的判断,划归为集合的包含关系是解决问题的关键,属基础题.

9

19. (12 分)已知双曲线 C 与双曲线

﹣y =1 有相同的渐近线,且经过点(﹣3,2) .

2

(1)求双曲线 C 的方程; (2)求直线 y=x+ 被双曲线 C 所截得的弦长. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;双曲线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 2 2 (1)设出与双曲线 ﹣y =1﹣y =1 有相同的渐近线的方程,代入点(﹣3,2) ,即可求出曲线 C 的方程
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(2)求出直线方程,代入双曲线方程,利用韦达定理,即可求出|AB|. 解答: 解: : (1)设双曲线 C 的方程为线 将点(﹣3,2)代入,可得 λ= , ∴ 双曲线 C 的方程为 x ﹣2y =1; (2)设 A(x1,x2) ,B(x2,y2)把直线 y=x+ , ∴ |AB|= ,x1x2=7, =4 ,
2 2 2 2

﹣y =λ

2

与双曲线 C 的方程为 x ﹣2y =1 联立消去 y 得;

故直线 y=x+ 被双曲线 C 所截得的弦长为 . 点评: 本题考查双曲线的方程,考查直线与双曲线的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.

20. (12 分)已知数列{

}为等差数列,且 a1=1,a2= .

(1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= ?an,求数列{ }的前 n 项和 Sn.

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知结合等差数列定义求出数列{
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}的公差,然后代入等差数列的通项公式得答案;

(2)把(1)中求得的数列{an}的通项公式代入 bn= 的前 n 项和 Sn. 解答: 解: (1)由已知可得,数列{ }的公差为 ,

?an,整理后利用裂项相消法求数列{

}







10

(2)由(1)得,







∴ = = .

点评: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了裂项相消法求数列的和,是中档题.

21. (12 分)已知 A(1,0) ,B(﹣1,0) ,P 是平面上的一个动点,且满足| (1)求点 P 的轨迹方程; (2)若直线 y=x+m(m≠0)与点 P 的轨迹交于 M,N 两点,且 考点: 轨迹方程;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用向量的数量积公式,即可求点 P 的轨迹方程;
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| ?|

|=

?



⊥ ,求 m.

(2)直线 y=x+m 代入抛物线方程,利用 解答: 解: (1)设 P(x,y) ,则 ∵ A(1,0) ,B(﹣1,0) ,| ∴ 2 |?| |=
2

⊥ ,可得 x1x2+y1y2=0,即可求 m.

?



=2(x+1) ,即 y =4x;

(2)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 2 2 2 则直线 y=x+m 代入抛物线方程可得 x +(2m﹣4)x+m =0,则 x1+x2=4﹣2m,x1x2=m , ∵ △ >0,∴ m<1, ∵ ⊥ , ∴ x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m) (x2+m)=m +4m=0, ∴ m=0 或﹣4, ∵ m<1 且 m≠0, ∴ m=﹣4. 点评: 本题考查抛物线方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查向量知识的运用,属于中档题.
3 2 2 2

22. (12 分)已知函数 f(x)= x +
2

x +(a ﹣3a)x﹣2a.

(1)若对任意的 x∈[1,2],f′ (x)>a 恒成立,求 a 的取值范围; 3 3 3 (2)设函数 f(x)的两个极值点分别为 x1,x2,求 g(a)=x1 +x2 +a 的最小值. 考点: 函数恒成立问题;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)先求导,再分离参数,再根据 x 的取值范围,求得 a 的范围, 2 2 3 2 (2)x1,x2 是 x +(a﹣3)x+a ﹣3a=0 的两个根,利用立方和公式化简 g(a)=3a ﹣9a +27,再根据导数 求出 g(a)的最值,继而得到最小值.
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解答:

解: (1)∵ f(x)= x +
2 2

3

x +(a ﹣3a)x﹣2a.

2

2

∴ f′ (x)=x +(a﹣3)x+a ﹣3a. 2 ∵ f′ (x)>a 恒成立, 2 ∴ x +(a﹣3)x﹣3a>0,在 x∈[1,2]时恒成立, 2 即(x﹣3)a+x ﹣3x>0,在 x∈[1,2]时恒成立, ∵ x﹣3<0, ∴ a< =﹣x,

又﹣x∈[﹣2,﹣1], ∴ a<﹣2, 故 a 的取值范围是(﹣∞,﹣2) 2 2 (2)∵ x1,x2 是 x +(a﹣3)x+a ﹣3a=0 的两个根, 2 又△ >0,得 a∈(﹣1,3)且 x1+x2=3﹣a,x1?x2=a ﹣3a, 3 3 3 2 2 3 3 2 ∴ g(a)=x1 +x2 +a =(x1+x2) (x1 +x2 ﹣x1?x2)+a =3a ﹣9a +27, 2 ∴ g′ (a)=9a ﹣18a=9a(a﹣2) 当 a∈(2,3)时,g′ (a)>0,g(a)单调递增, 当 a∈(0,2)时,g′ (a)<0,g(a)单调递减, 当 a∈(﹣1,0)时,g′ (a)>0,g(a)单调递增, 而 g(2)=15,g(﹣1)=15, ∴ g(a)在(﹣1,3)上的最小值为 15. 点评: 本题主要考查了导数与函数的最值得关系,以及恒成立的问题,属于中档题.

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参与本试卷答题和审题的老师有:wkl197822;刘长柏;minqi5;qiss;sllwyn;jj2008;zhwsd;whgcn;zlzhan;双 曲线;sxs123;lincy;张玲(排名不分先后)
菁优网 2014 年 12 月 20 日

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