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4.2.1直线与圆的位置关系.ppt


4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系

问题提出
1、点到直线的距离公式,圆的标准方 程和一般方程分别是什么?

d?

| Ax0 ? By0 ? C | A ?B
2 2

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2
2 2

2

x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0( D ? E ? 4F ? 0)
2 2

2.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气 象台的台风预报:台风中心位于轮船正西70 km处, 受影响的范围是半径长为30km的圆形区域. 已知 港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不 改变航线,那么它是否会受到台风的影响?

港口

台风

轮船

知识探究(一):直线与圆的位置关系的判定 思考1:在平面几何中,直线与圆的位置关 系有几种? 思考2:在平面几何中,我们怎样判断直线 与圆的位置关系? d r r

d
r

d

d <r

D =r

d >r

思考3:如何根据直线与圆的公共点个数判断直线 与圆的位置关系?

两个公共点

一个公共点

没有公共点

思考4:在平面直角坐标系中,我们用方程表 示直线和圆,如何根据直线与圆的方程判断 它们之间的位置关系?
直线l:Ax+By+C=0 圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)

方法一:根据直线与圆的联立方程组的 公共解个数判断;

方法二:根据圆心到直线的距离与圆半径 的大小关系判断.

思考5:上述两种判断方法的操作步骤分别如何?
代数法 1.将直线方程与圆方程联立成方程组; 2.通过消元,得到一个一元二次方程; 3.求出其判别式△的值; 4.比较△与0的大小关系: 若△>0,则直线与圆相交;若△=0,则直线 与圆相切;若△<0,则直线与圆相离. 利用直线与圆的公共点的个数进行判断:
? Ax ? By ? C ? 0 设方程组? 的解的个数为 n 2 2 2 ?( x ? a) ? ( y ? b) ? r

△<0 △=0 △>0

n=0 n=1 n=2

直线与圆相离 直线与圆相切

直线与圆相交

几何法:
1.把直线方程化为一般式,并求出圆心坐标和半径r; 2.利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d;

d?

aA ? bB ? C A ?B
2 2

3.利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断:

d>r
d=r

直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交

d<r

知识探究(二):圆的切线方程 思考1:过圆上一点、圆外一点作圆的切 线,分别可作多少条?

M
M

思考2:设点M(x0,y0)为圆x2+y2=r2上一点,如何 求过点M的圆的切线方程?

y

M
o x

x0x+y0y=r2

思考3:设点M(x0,y0)为圆 x2+y2=r2外一点,如何 求过点M的圆的切线方程? M y

o

x

例1.已知⊙C:(x-1)2+(y-2) 2=2,P(2,-1),过P作⊙C的 切线,切点为A、B。 求切线直线PA、PB的方程;
2 1 -1 O -1
y

C?

A
x
?

B 1 2

P

解:由题知切线斜率存在则设方程为:y ? 1 ? k ( x ? 2)

即 kx ? y ? 2k ? 1 ? 0. 由已知圆C的圆心为(1,2),半径为 2
则 ?k ?3 1? k
2

? 2

? k ? 6k ? 7 ? 0 解得 k ? 7 或 k ? ?1.
2

故所求切线方程为: y ? 1 ? 7( x ? 2) 或 y ? 1 ? ?( x ? 2)

即 7x ? y ? 15 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 .

典型例题
3x ? y ? 6 ? 0 和圆心为C的 例2 如图,已知直线l: 2 2 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 ,判断直线 l 与圆的位置关系;如 圆
果相交,求它们交点的坐标. 分析:方法一,判断直线l与圆的位置关系,就是看由 它们的方程组成的方程组有无实数解; 方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系, 判断直线与圆的位置关系.

典型例题
3x ? y ? 6 ? 0 和圆心为C的 例1 如图,已知直线l: 2 2 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 ,判断直线 l 与圆的位置关系;如 圆
果相交,求它们交点的坐标. 解法一:由直线 l 与圆的方程,得:

?3x ? y ? 6 ? 0, ? 2 2 ? x ? y ? 2 y ? 4 ? 0.
消去y,得:

x 2 ? 3x ? 2 ? 0
因为: ? ? (?3) 2 ? 4 ? 1? 2 =1>0 所以,直线 l 与圆相交,有两个公共点.

3x ? y ? 6 ? 0 和圆心为C的 例1 如图,已知直线l: 2 2 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 ,判断直线 l 与圆的位置关系;如 圆
果相交,求它们交点的坐标. 解法二:圆 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0可化为 x ? ( y ?1) ? 5.
2 2

2

2

其圆心C的坐标为(0,1),半径长为 直线 l 的距离

5,点C (0,1)到

d?

| 3? 0 ?1? 6 | 32 ? 12

5 ? ? 5 10

所以,直线 l 与圆相交,有两个公共点.

典型例题
3x ? y ? 6 ? 0 和圆心为C的 例1 如图,已知直线l: 2 2 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 ,判断直线 l 与圆的位置关系;如 圆
果相交,求它们交点的坐标. 解: 由 x 2

? 3x ? 2 ? 0 ,解得:

x1 ? 2, x2 ? 1


y1 ? 0 x1 ? 2,代入方程①,得 x2 ? 1



x1 ? 把 2, x2 ? 1代入方程① ,得 y2 ? 3.
所以,直线 l 与圆有两个交点,它们的坐标分别是:

A(2,0),B(1,3)

例3 已知过点 M (?3,?3) 的直线被圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 4 5 ,求直线的方程. 解:将圆的方程写成标准形式,得:x 2
2

? ( y ? 2) 2 ? 25

如图,因为直线l 被圆所截得的弦长是 4 5 ,所以弦心距为

4 5 2 5 ?( ) ? 5 即圆心到所求直线的距离为 5 . 2 因为直线l 过点 M (?3,, ?3)
所以可设所求直线l 的方程为:y ? 3 ? k ( x ? 3)

kx ? y ? 3k ? 3 ? 0

根据点到直线的距离公式,得到圆心到直线l 的距离:

d?

| 2 ? 3k ? 3 |

因此:

k2 ?1 | 2 ? 3k ? 3 | ? 5 2 k ?1

例3 已知过点 M (?3,?3) 的直线被圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 4 5 ,求直线的方程.

解:即: | 3k ? 1 |?

5 ? 5k 2
2

两边平方,并整理得到: 2k ? 3k ? 2 ? 0

1 解得: k ? ? ,或k ? 2 2
所以,所求直线l有两条,它们的方程 分别为: 1 y ? 3 ? ? ( x ? 3) 或 y ? 3 ? 2( x ? 3) 2

即:

x ? 2 y ? 9 ? 0,或2x ? y ? 3 ? 0

思考题:求过点P(2,1),圆心在 直线2x+y=0上,且与直线x-y-1=0 相切的圆方程.
y

2x+y=0
P
o X

知识小结
有无交点,有几个.

判断直线与圆 的位置关系

直线l与圆C的方程组成的方 程组是否有解,有几个解.

判断圆C的圆心到直线l的距 离d与圆的半径r的关系(大 于、小于、等于).

作业:P132习题4.2A组:2,3,5.

思考4:设点M(x0,y0)为圆x2+y2=r2外一点,过点M作圆 的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程如何?
解:设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
则l AP : x1 x ? y1 y ? r 2 , lBP : x2 x ? y2 y ? r 2
2 ? x x ? y y ? r (1) ? 1 0 1 0 ?? 2 ? x x ? y y ? r (2) 2 0 ? 2 0

A

y

M

o

B

x

由(1)说明点( x1, y1 )在直线x0 x ? y0 y ? r 2上 由(2)说明点 ( x2 , y2 )在直线x0 x ? y0 y ? r 2上

? l AB : x0 x ? y0 y ? r

2

x0x+y0y=r2


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