当前位置:首页 >> 数学 >>

广东省湛江第一中学2015届高三“临门一脚”数学(理)试题及答案


绝密★启用前

试卷类型:A

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷.模拟3)

理科数学
命题人:吴华棠、汤斌 、左克虎、 黄京城 统稿人:吴华棠 2015.5. 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 1 2 2 2 2 参考公式:一组数据的方差: s ? [( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ......? ( xn ? x) ] n

第Ⅰ卷

选择题(共 40 分)

一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设 C 表示复数集, A ? {x ? C | x ? 1 ? 0} ,则集合 A 的子集个数是
2

A. 0

B. 1

C. 3

D. 4

2.已知双曲线的中心在平面直角坐标系的原点,实轴长为 4 ,一个焦点是 F (0,3) ,则双曲线 的方程是 A.

x2 y2 ? ?1 4 5

B.

y2 x2 ? ?1 5 4

C.

y2 x2 ? ?1 16 7

D.

y2 x2 ? ?1 4 5

?x ? y ? 1 ? 0 ? 3.已知实数 x , y 满足约束条件: ? y ? ? x ? 3 ,设 z ? y ? 2 x ,则 z ?y ? 0 ?
A.有最大值 0 B.最大值 2 C.最小值 0 D.最小值 ? 6
0 4.如 图 空 间 四 边 形 A B C D 中 , AB ? BC , ?DAB ? 60 , DA ? BC ? ?

1 ,且 2

| DA |? | AB |?| BC |? 1,则 | DC |?
A. 2 C. 2 B.3 D. 3

5. 某单位有 840 名职工 , 现采用系统抽样方法 , 抽取 42 人做问卷调查 , 将 840 人按 1, 2,...... , 840 随机编号, 则抽取的 42 人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 A.11 B.12 C.13 D.14 6.已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图像不可能 是 ...

A.

B.

C.

D.

7.已知棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E、 F 分别是 AB 、

AD 的 中 点 , 点 P, Q 分 别 在 棱 A1B1 、 A1D1 上 , 且
A1P ? A1Q ? x ( 0 ? x ? 1 ) ,设平面 MEF ? 平面 MPQ ? l ,则下
列结论中错误 的是 .. A. l // 平面 ABCD C.存在 x0 ? (0,1) ,使平面 MEF 与平面 MPQ 垂直 8.如图一个倒三角形数表: B. l ? AC D.当 x 变化时, l 是定直线

101 ) 行的 它的排列规则是:第 i (i ? 2,...,
102? i) 个数 ai , j ? 第 j ( j ? 1,2,......,
现设 a1, j ? x A. 2 ? 1
j ?1

ai ?1, j ? ai ?1, j ?1 2



( j ? 1,2,......, 101 ) ,其中 x ? 0 ,若 a101,1 ?
B. 1 ?

1 ,则 x ? 2 50
D.

2 2

C.

1 2

2 2

第Ⅱ卷

非选择题(共 110 分)

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-13 题) 9.不等式 | x ? 3 |? 9? | x | 的解集是____________________. 10.函数 f ( x) ? ln x ? ax 有大于 1的极值点,则 a 的取值范围是_____________. 11.已知等比数列 {an } 为递增数列, a1 ? ?2 ,且 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,则公比 q ? ____ . 12.在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖,将这 8 张奖券分配给 4 个人,每 人 2 张,不同的获奖情况有________种(用数字作答).

13.如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 67 , 30 ,此时气球的高 是 46m ,则河流的宽度 BC 约等于

m.

(用四舍五入法将结果精确到个位。参考数据:

sin 67 ? 0.92 ,cos 67 ? 0.39 ,sin 37 ? 0.60 , cos37 ? 0.80 , 3 ? 1.73 )
(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一 题。 )

? x ? sin ? 14.(坐标系与参数方程选做题)曲线 ? ( ? 为参数)与直线 y ? x ? a 有两个公共点, 2 ? y ? sin ?
则 a 的取值范围是________. 15. (几何证明选讲选做题) 如图, 圆 O 的半径为 1, A, B, C 圆周上的三点, ?ABC ? 30 ,过点 A 做圆 O 的切线与
?



OC 的延长线交于点 P ,则 PA ? _____ .
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 且c o s (1) 求 cos B 的值; (2)若 b ? 2 2 ,求 ac 的最大值.

A?C 3 . ? 2 3

17.(本小题满分 12 分)A,B 两名学生在 5 次英语口语测试中的成绩统计如茎叶图所示(十位作 为茎). (1)现要从中选派一人参加英语口语竞赛,从两位同学的平均分 和方差分析,选派谁参加更合适?说明理由. (2)若将频率视为概率,对(1)中选派的学生在今后的三次英语口语竞 赛成绩进行预测, 记这三次成绩中高于 80 分的次数为 ? , 求? ? 2 的 概率.

18.(本小题满分 14 分)如图,在圆锥 PO 中,已知 PO ?

2 ,⊙ O 的直径 AB ? 2 ,AB 上
P

D

C

的点 C 平分该弧. (1)证明:平面 POD ? 平面 PAC ; (2)求二面角 B ? PA ? C 的余弦值.

19.在数列 {an } 中,已知 an ? 2, a1 ? 2, an ?1 ? an ? 2 ?

1 ,n? N * an?1 ? an .

(1)求 a 2 的值及数列 {an } 的通项公式; (2)设 k ? N , k ?

1 1 1 ? ? ......? ? k ? 1 ,求 k 的值. a1 ? 1 a2 ? 1 a100 ? 1

, 0) ,点 B 是定直线 l : x ? ?1 上的动点,∠ BOA 20. (本小题满分 14 分)如图,已知定点 A(1
的角平分线交 AB 于 C . (1)求点 C 的轨迹方程; (2)若 E ( ?2, 0), F (2, 0), G( ?1, ), (1)中轨迹上 是否存在一点 Q ,直线 EQ、FQ 与 y轴交点分别为M、N , 使得∠ MGN 是直角?如果存在,求点 Q 坐标;如果不存在,请 说明理由。

1 2

21.已知函数 f ( x) ? ( x ?
2

2 1 x ? )e ax (a ? ? 0). a a

(1)若 a ? 1, 求函数 f ( x) 在点 A(0, f (0)) 处的切线方程; (2)讨论函数 f ( x) 的单调性; (3)是否存在实数 a ? (1,2), 使 f ( x ) ? 在,请说明理由.

2 在 x ? (0,1) 上恒成立?若存在,求出实数 a;若不存 a2

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷.模拟3)

理科数学答案
一、选择题 题号 答案 1 D 2 D 3 A 4 C 5 B 6 C 7 C 8 A

二、填空题: 9.

[?3,6] 10. (?1,0)

11.

1 2

12.60

? 1 ? 13. 60 14. ? ? , 0 ? ? 4 ?

15.

3

三、解答题 16.解:(1)在 ?ABC 中, A ? B ? C ? ? ,....................................1 分

cos

A?C ? ?B B ? cos ? sin .............................................3 分 2 2 2

? sin

B 3 ............................................................4 分 ? 2 3
B 1 ? ...................................................6 分 2 3
2 2 2

cos B ? 1 ? 2 sin 2

(2)由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ....................................7 分

b ? 2 2 及 cos B ?
得8 ? a ? c ?
2 2

1 3

2 ac .......................................................8 分 3

由 a ? c ? 2ac ..........................................................9 分
2 2

2 4 ? 8 ? 2ac ? ac ? ac ? ac ? 6 ...........................................11 分 3 3
当 a ? c ? 6 时, ac 的最大值为 6 ..........................................12 分 17.解:(1) x A ?

1 (75 ? 85 ? 87 ? 90 ? 93) ? 86 .................................1 分 5

1 xB ? (77 ? 83 ? 86 ? 87 ? 97 ) ? 86 ..........................................2 分 5 1 188 2 sA ? [( ?11) 2 ? (?1) 2 ? 12 ? 4 2 ? 7 2 ] ? ,..................................3 分 5 5 1 212 2 sB ? [( ?9) 2 ? (?3) 2 ? 0 2 ? 12 ? 112 ] ? ....................................4 分 5 5
因 xA ? xB ,
2 2 ,所以选派 A 去更合适。..................................6 分 sA ? sB

4 4 ,从而每次成绩高于 80 分的概率 p ? ...............7 分 5 5 4 ? 可取值 0,1,2,3 ,由题知 ? ~ B(3, ) .........................................9 分 5 4 4 112 3 4 3 P(? ? 2) ? P(? ? 3) ? C32 ( ) 2 ( )1 ? C3 ( ) ? .............................11 分 5 5 5 125 112 所以 ? ? 2 的概率是 .....................................................12 分 125
(2)A 高于 80 分的频率是 18.解法一:(1)连结 OD,因为 OA=OC,D 是 AC 的中点, ? AC⊥OD. ............................................................................................................................1 分 又 PO⊥底面⊙O,AC?底面⊙O,? AC⊥PO. ..................................................................2 分 ? OD,PO 是平面 POD 内的两条相交直线, ? AC⊥平面 POD,.................................................................................................................3 分 又? AC?平面 PAC, .......................................................................................4 分 ? 平面 POD⊥平面 PAC. (2)在平面 POD 中,过 O 作 OH⊥PD 于 H, 由(1)知,平面 POD⊥平面 PAC,所以 OH⊥平面 PAC......................................................6 分 又 PA?面 PAC,所以 PA⊥OH. 在平面 PAO 中,过 O 作 OG⊥PA 于 G,连结 HG,则有 PA⊥平面 OGH. 从而 PA⊥HG,.......................................................................................................................8 分 故∠OGH 为二面角 B-PA-C 的平面角.............................................................................9 分 在 Rt△ODA 中, OD ? OA sin 45 ? 1 ?
?

2 2 . ? 2 2

在 Rt△POD 中, OH ?

PO ? OD PO ? OD
2 2

?

2?

2 2
2

? 2?
?

?

2

? 2? ? ?? ? 2 ? ? ?

10 . 5

在 Rt△POA 中, OG ?

PO ? OA
2 2

2 ?1 PO ? OA OH 10 3 15 在 Rt△OHG 中, sin ?OGH ? ....................................12 分 ? ? ? OG 5 5 6
? cos∠OGH= 1-sin2∠OGH= 5 .
10 10

?

2 ?1

6 ............................................11 分 3

.....................................................13 分

? 二面角 B-PA-C 的余弦值为 5 . .......................................14 分
解法二:(1)同解法一 (1) . (2)如图所示,以 O 为坐标原点,OB, OP 所在直线分别为 x 轴, z 轴,过 O 与 AB 垂直的直线为 y 轴,建立空间直角坐标系. ------------------------------------------------------------------------------5 分 则 O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0, 1,0),P(0,0, 2),D ? ?

? 1 1 ? , ,0 ? . ---------6 分 ? 2 2 ?

→ → 设 m=(x,y,z)是平面 PAC 的一个法向量,则由 m·AC=0,m·AP=0,得

? ?x ? y ? 0 2? ?. 取 x ? 1 ,得 m= ?1,?1, ? ? ? 2 2 z ? x ? 0 ? ? ?
n·m 设向量 n2 和 n3 的夹角为θ ,则 cosθ = = |n|·|m|

---------8 分

因为 y 轴⊥平面 PAB,所以平面 PAB 的一个法向量为 n=(0,1,0).------10 分

?1 5 ?1 2

??

10 , ---------13 分 5
10 . 5 ---------14 分

又二面角 B-PA-C 为锐二面角, 故二面角 B-PA-C 的余弦值为 由 an ?1 ? an ? 2 ?

1 2 2 ,得 an ?1 ? an ? 2an?1 ? 2an ? 1........................1 分 an ?1 ? an

即 (an?1 ?1) 2 ? (an ?1) 2 ? 1...................................................3 分

a1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ,所以 {(an ?1)2 } 是以 1 为首项公差为 1 的等差数列,............4 分

(an ?1)2 ? 1 ? (n ?1) ? n ,...................................................5 分
又 an ? 2, ? an ?1 ? 1 ,?an ?1 ? n ,即 an ? n ?1 ( n ? N )................6 分
*

解法 2:数学归纳法(略) (2)由(1)当 n ? 1

1 1 2 2 ? ? ? ? 2( n ? n ? 1) an ? 1 n n? n n ? n ?1

..........................................................................7 分

1 1 2 2 ? ? ? ? 2( n ? 1 ? n ) an ? 1 n n? n n ? n ?1
..........................................................................8 分

S100 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ......? ? ? ? ......? a1 ? 1 a2 ? 1 a100 ? 1 1 2 100

? 1 ? 2[( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ......? ( 100 ? 99)] ? 19
.........................................................................10 分 且

1 1 1 1 1 1 ? ? ......? ? ? ? ......? a1 ? 1 a2 ? 1 a100 ? 1 1 2 100

? 1 ? 2[( 3 ? 2 ) ? ( 4 ? 3) ? ......? ( 101? 100)] ? 1 ? 2( 101? 2 )
.........................................................................11 分 而 1 ? 2( 101 ? 2 ) ? 1 ? 2( 100 ? ) ? 18 所以 18 ? S100 ? 19 .........................................................13 分

3 2

? k ? 18 ..................................................................14 分
20.解: (1)设 B(?1, b) ,直线 OA 和 OB 的方程分别为

b y ? 0与y ? ?bx ,直线 AB 的方程为: y ? ? ( x ? 1) 。 2
设 C ( x, y ) ,则 0 ? x ? 1 , C 到直线 OA 和 OB 的距离相等。 ∴

y? bx 1 ? b2

? y ,①

.......................................................………2 分

又 C 在直线 AB 上,所以: y ? ? b (x ? 1) ,即 b ?

2

2y ,代入①得: 1? x

y 2 [1 ?

4 y2 2 xy 2 ] ? [y? ] ,整理得: y 2 ( y 2 ? x) ? 0 …….................................…4 分 2 ( x ? 1) 1? x
.......................................………5 分

若 y≠0,则 y 2 ? x(0 ? x ? 1) ;

若 y=0,则 b=0,∠AOB=π ,点 C 为(0,0),满足上式...............................…6 分 综上,点 C 的轨迹方程为: y 2 ? x(0 ? x ? 1) 。…..............................................…….7 分 (2 设点 Q( x0 , y0 ) ,则直线 EQ、FQ 的方程分别为:

y?

y0 y ( x ? 2), y ? 0 ( x-2), x0 ? 2 x0 -2 2 y0 ?2 y0 2 y0 ?2 y0 , y? ,∴ M (0, )、N(0, ) .............……….9 分 x0 ? 2 x0 -2 x0 ? 2 x0 ? 2

令x ? 0得 y ?

∴直线 MG、NG 的斜率分别为: k1 ?

2 y0 ?2 y0 1 1 ? , k2 ? ? , x0 ? 2 2 x0 ? 2 2

若∠ MGN 是直角,则 k1 ? k2 ? ( 整理得 ?4 y0 ? 4 y0 ? 5 ?
2

2 y0 1 ?2 y0 1 ? )( ? ) ? ?1 x0 ? 2 2 x0 ? 2 2
............................………..…11 分

5 2 x0 ③ 4

∵ y0 ? x0 (0 ? x0 ? 1) ,∴ ?1 ? y0 ? 1 ,
2

∴ ?4 y0 ? 4 y0 ? ?(2 y0 ?1) ? 1 ? 1 , 5 ?
2 2

5 2 5 15 x0 ? 5 ? ? ? 1 4 4 4

∴ ③ 式 无 解 , 从 而 ∠ MGN 不 可 能 是 直 角 , (1)中轨迹上不存在点 Q 满足题

设 .

………………...................................…………………………14 分

21.解:(1)因为 a ? 1 ,所以 f ( x) ? ( x2 ? 2 x ? 1)e x ,

? f ' ( x) ? (2x ? 1)e x ? ( x2 ? 2x ? 1)e x ? ( x2 ? 1)ex , .....................................................…1 分
? f ' (0) ? ?1 ..........................................................................................................................…2 分
又 f (0) ? 1, 故函数 f ( x) 在点 A 处的切线方程为 y ? 1 ? ? x 即 x ? y ? 1 ? 0 ................…3 分 (2) f ' ( x) ? (2 x ?

2 ax 2 1 a ? 2 ax )e ? a( x 2 ? x ? )e ax ? (ax 2 ? )e 且 eax ? 0, a ? ?0 a a a a
a?2 ? 0, 则 f ' ( x) ? 0, 则 f ( x) 在 R 上为增函数....................…5 分 a

.................................................................................................................................................…4 分
2 ①当 a ? 2 时, ax ?

②当 0 ? a ? 2 时,令 f ' ( x) ? 0, 解得 x1 ? ? 在 x??

2?a 2?a a , x2 ? a
在?

2?a 2?a a 或 x ? a 时 , f ' ( x) ? 0

2?a 2?a a ? x ? a 时,

f ' ( x) ? 0 ..............................................................................................................................…6 分
③当 a ? 0 时, x1 ? ? 在 x?

2?a 2?a a ? 0, x2 ? a ? 0


2?a 2?a 或 x?? a 时 , f ' ( x) ? 0 a

2?a 2?a a ?x?? a 时,

f ' ( x) ? 0 ...........................................................................................................................…7 分
综上所述:当 a ? 2 时, f ( x) 的增区间为 R,无减区间; 当 0 ? a ? 2 时 , f ( x) 的 增 区 间 为 (??,?

2?a 2?a a ) 和 ( a ,??), 减 区 间 为

(?

2?a 2?a a , a ) 2?a 2?a 2?a a ,? a ), 减 区 间 为 (??, a ) 和

当 a ? 0 时 , f ( x) 的 增 区 间 为 (

(?

2?a a ,??) ...................................................................................................................…8 分
2 2 在 x ? (0,1) 上恒成立,即 2 ? f ( x) min .................................................…9 分 2 a a

(3) f ( x ) ?

当 a ? (1,2) 时,

2?a 2?a 2?a a ? (0,1), 由(2)知 f ( x) 在 (0, a ) 上单减,在 ( a ,1) 上单增
2?a 2 ) ? 2 (1 ? 2 ? a )e a a
2? a
2?a

所以当 x ? (0,1) 时, f ( x) min ? f (

...........................…10 分

?

2 (1 ? 2 ? a )e a2

2?a

?

2 ,即 (1 ? 2 ? a )e a2

? 1 .............................................…11 分

令t ?

2 ? a , ?1 ? a ? 2, ? 0 ? t ? 1, 设 g (t ) ? (1 ? t )et (0 ? t ? 1) .

则 g ' (t ) ? ?et ? et ? tet ? ?tet ? 0, 所以 g (t ) 在 (0,1) 上单调递减,..............................12 分 于是 g (1) ? g (t ) ? g (0), 即 0 ? g (t ) ? 1, 这与 (1 ? 2 ? a )e
2?a

? 1 矛盾,...................13 分

因此,符合条件的实数 a 不存在..........................................................................................14 分

版权所有:高考资源网(www.ks5u.com)


相关文章:
广东省湛江第一中学2015届高三“临门一脚”文科综合试卷
广东省湛江第一中学2015届高三临门一脚”文科综合试卷_政史地_高中教育_教育专区。2015 届高三临门一脚文科综合试题一、选择题:本大题共 35 小题,每小题 4 ...
6月湛江第一中学2015届高三“临门一脚”文科综合
6月湛江第一中学2015届高三临门一脚”文科综合_高三政史地_政史地_高中教育_教育专区。6月最新的模拟卷。2015 届高三临门一脚文科综合试题一、选择题:本大题共...
更多相关标签: