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三角形的中高角平分线


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标题 教学目标 重点、难点









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考点精析 知识点一: 三角形的角平分线、中线、高

线是三角形中的三种重要线段. (1)三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间 的线段叫做三角形的角平分线. 注意: ①三角形的角平分线是一条线段,可以度量。而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射 线. ②三角形有三条角平分线且相交于一点。这一点一定在三角形的内部. ③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同,可以用量角器画,也可通过尺规作图来画。 (2)三角形的中线:在一个三角形中,连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线. 注意: ①三角形有三条中线,且它们相交三角形内部一点. ②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可. (3)三角形的高线:从三角形一个顶点向它的对边作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高 线,简称三角形的高. 注意: ① 三角形的三条高是线段 ② 锐角三角形三条高线的交点在三角形内部,直角三角形的三条高线的交点在直角顶点上, 钝角三角形三条高线的交点在三角形外部。 ③ 画三角形的高时,只需要向对边或对边的延长线作垂线,连结顶点与垂足的线段就是该边 上的高. 典型例题 例 1..对下面每个三角形,过顶点 A 画出中线,角平分线和高.

A

A

A

B (1)

C

C (2)

B

B (3)

C

2

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例 2.下列说法错误的是(

).

A.三角形的三条高一定在三角形内部交于一点 B.三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点 C.三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点 D.三角形的三条高可能相交于外部一点 例 3.下列四个图形中,线段 BE 是△ABC 的高的图形是(
B B B E E A A C A E C B
2题图

)

B

A C

C

E D

A

C

变式 1:如图 3,在△ABC 中,点 D 在 BC 上,且 AD=BD=CD,AE 是 BC 边上的高,若沿 AE 所在直线折 叠,点 C 恰好落在点 D 处,则∠B 等于( A.25° B.30° C.45° D.60° 变式题 2:如图 4,已知 AB=AC=BD,那么∠1 和∠2 之间的关系是( A.∠1=2∠2 B. 2∠1+∠2=180° C. ∠1+3∠2=180° ) D. 3∠1-∠2=180° )

例 4.如图 7,在△ABC 中,已知点 D,E,F 分别为边 BC,AD,CE 的中点,且 S ? ABC = 4 c m 2 , 则 S 阴 影 等于( A.2 c m 2 C. 3
1 cm 2 2

) B. 1cm 2 D. 2.5 c m 2 AE

例 5.如图 7,BD=DE=EF=FC,那么, 是 _____ 的中线。

A

A E

A
A A

F
B
D C B F D E C 一切为了孩子 ,6-1 题

B D E F C
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B

D
6题图

C

B

D
7题图

C

5题图

5,变 1 题

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1 变式 1:如图 6,BD= B C ,则 BC 边上的中线为 ______, S ? ABD =__________。 2

例 6.如图 1,在△ABC 中,∠BAC=600,∠B=450,AD 是△ABC 的一条角平分线, 则∠DAC=
0

,∠ADB=

0

变式 1:如图 2,在△ABC 中,AE 是中线,AD 是角平分线,AF 是高,则根据图形填空: ⑴BE= =
1 2

;⑵∠BAD=

=

1 2

⑶∠AFB=

=900; )

变式 2:如图在△ABC 中,∠ACB=900,CD 是边 AB 上的高。那么图中与∠A 相等的角是( A、 ∠B B、 ∠ACD C、 ∠BCD D、 ∠BDC

变式 3:在△ABC 中,∠A=

1 1 ∠C= ∠ABC, BD 是角平分线,求∠A 及∠BDC 的度数( ) 2 2
A
A B

C

_ A
D
E

E _
D

A

D

B

B

C

C

B _

D _

C _

(变 2)

(变 3)

(变 4)

(变 5)

变式 4:已知,如图,AB∥CD,AE 平分∠BAC,CE 平分∠ACD,求∠E 的度数

4

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变式 5:如图,在△ABC 中,D,E 分别是 BC,AD 的中点, S ? ABC =4 c m 2 ,求 S ? ABE .

当堂练习 1.如图,在 ?ABC 中画出高线 AD、中线 BE、角平分线 CF. A

B

C

2.如图,(1)(2)和(3)中的三个三角形有什么不同?画出这三个 ?ABC 三边上的高 AD、 BE、 ,
CF 并指出三条高线在各自三角形的什么位置?
A A A

B
(1)

C

B
(2)

C

B
(3)

C

3.填空: (1)如图(1), AD、BE、CF 是 ?ABC 的三条中线,则 AB ? 2 ______ ? 2 _________,
BD ? _____, AE ? ________ ? 1 ______. 2

(2)如图(2), AD、BE、CF 是 ?ABC 的三条角平分线,则 ?1 ?
?3 ? 1 2
5 www.gedu.org F

,
A

, ?ACB ? 2
A E D

?2
F

.
A

1 2
E 4 D E

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B

C

B

3

D

C

C

B

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4.如上图, ?ABC 中, ?ACB ? 90 , AB ? 6, CD 为中线, CE 平分 ?ACB ,则 DB ?
?ACE ? _______________ .

,

5.对于下列每个三角形,过顶点 A 画出中线 AD 、角平分线 AE 和高 AF .
A A

A

B

D E

F

C

B( F )

E

D

C

F

B

ED

C
A

6.如图, ?ABC 中, AE 是中线, AD 是角平分线, AF 是高,填空: (1) BE ? ________ ? 1 __________;
2

(2) ?BAD ? ________ ? 1 _________;
2
B E D F

C

(3) ?AFB ? _________ ? 90 ; (4) S?ABC ? _________________. 7.如图,在 ?ABC 中, AC ? 2cm, BC ? 3cm , ?ABC 的高 AD 与 BE 的比是多少? (友情提示:利用三角形的面积公式)
B D A E

C

8.如图, AD 是 ?ABC 的角平分线,DE∥AC,DE 交 AB 于 E,DF∥AB,DF 交 AC 于 F,图中∠1 与∠2 有什么 关系?为什么?
E A 4 3

1 2
B D

F

C

9.如图(1)用钉子把三根木条钉成一个三角形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?如图(2)用钉子 把四根木条钉成一个四边形木架呢?如图(3)在四边形的木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接 起来,然后扭动它,它的形状会改变吗?
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(1)

(2)

(3)

一、课堂练习: 1.如图,在 ?ABC 中画出高线 AD、中线 BE、角平分线 CF. 解:如图, AD 为高线, BE 为中线,
CF 为角平分线.
F D B A E

C

2.如图,(1)(2)和(3)中的三个三角形有什么不同?画出这三个 ?ABC 三边上的高 AD、 BE、 ,
CF 并指出三条高线在各自三角形的什么位置?
A F E
(F )

A E

A E

B
(1)

D

C

B( D )
(2)

C

D

B
(3)

C
F

答:图(1)(2)(3)中的三角形分别是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形; 当 ?ABC 是锐角三角形时,三边上的高都在三角形内; 当 ?ABC 是直角三角形时,三边上的高有两条是它的直角边,有一条在三角形内; 当 ?ABC 是钝角三角形时,三边上的高有两条在三角形外,有一条在三角形内 3.填空: (1)如图(1), AD、BE、CF 是 ?ABC 的三条中线,则 AB ? 2 ???? AF ???? ? 2 ????BF ???? ,
BD ? ????CD???? , AE ? ????CE???? ? 1 ???? AC???? . 2

(2)如图(2), AD、BE、CF 是 ?ABC 的三条角平分线,则 ?1 ?
?3 ? 1 ∠ABC 2
F www.gedu.org B D
(1)

∠2
A

,

, ?ACB ? 2
A E

∠4

?2

∠ACF
A F

.

1 2
E 4 D E
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C

B

3

D

C

(2)

C

B
第4题

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4.如上图, ?ABC 中, ?ACB ? 90 , AB ? 6, CD 为中线, CE 平分 ?ACB ,则 DB ?
?ACE ? ?????45???? .

3

,

5.对于下列每个三角形,过顶点 A 画出中线 AD 、角平分线 AE 和高 AF .
A A

A

B

D E

F

C

B( F )

E

D

C

F

B

ED

C

6.如图, ?ABC 中, AE 是中线, AD 是角平分线, AF 是高,填空: (1) BE ? ????CE???? ? 1 ????BC???? ;
2
A

(2) ?BAD ? ?????CAD???? ? 1 ?????BAC???? ;
2

(3) ?AFB ? ?????AFC???? ? 90 ; (4) S?ABC ? ???? 1 BC ? AF ???? .
2

B

E D

F

C

7.如图,在 ?ABC 中, AC ? 2cm, BC ? 3cm , ?ABC 的高 AD 与 BE 的比是多少? (友情提示:利用三角形的面积公式) 解:∵ S?ABC ? 1 AC ? BE ? 1 BC ? AD
2 2

∴ AC ? BE ? BC ? AD ∵ AC ? 2, BC ? 3 ∴ 2 ? BE ? 3 ? AD ∴ AD : BE ? 2 : 3
B

A E

D

C

8.如图, AD 是 ?ABC 的角平分线,DE∥AC,DE 交 AB 于 E,DF∥AB,DF 交 AC 于 F,图中∠1 与∠2 有什么
A
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E

4 3

1 2
B D

F

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C

中国教育领军品牌 关系?为什么? 解: ?1 ? ?2 理由:∵DE∥AC ∴ ?1 ? ? 3 ∵DF∥AB ∴ ?2 ? ?4 三、新课预习: 9.如图(1)用钉子把三根木条钉成一个三角形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?如图(2)用钉子 把四根木条钉成一个四边形木架呢?如图(3)在四边形的木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连 接起来,然后扭动它,它的形状会改变吗? 答:图(1)(3)形状不会改变; 图(2)形状会改变. ∵AD 是∠BAC 的角平分线 ∴ ?3 ? ?4 ∴ ?1 ? ?2

(1)

(2)

(3)

9

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